SopromatGafarov

Как следует из рис. 6.8, в крайних точках (A и A′) имеет место линейное напряженное состояние, в точке C – чистый сдвиг, а в точке B – общий случай плоского напряженного состояния. Таким образом, при поперечном изгибе возникает неоднородное плоское напряженное состояние.

В ряде случаев бывает важно знать не только величины главных напряжений, но также их направления во всех точках балки. В частности, это необходимо при конструировании железобетонных балок.

На рис. 6.9, а показаны примерные кривые направлений главных напряжений в балке, называемые траекториями главных напряжений (траектории сжимающих напряжений проведены пунктиром, а растягивающих – сплошными линиями).

В железобетонных балках арматура должна быть расположена в направлении наибольших растягивающих напряжений (рис. 6.9, б). Отсюда становится понятным назначение отгибов в железобетонных балках

– воспринять главные растягивающие напряжения.

Рис. 6.9

6.2.4. Расчет балок на прочность. Полный расчет балок на прочность сводится к одновременному выполнению трех условий:

1)	по нормальным напряжениям	σmax ≤[σ] ,
2)	по касательным напряжениям	τmax ≤ [ τ] ,
3)	по главным напряжениям	σэкв ≤[σ].

105

Расчет на прочность по нормальным напряжениям является основным и в подавляющем большинстве случаев покрывает два других. Он выполняется для наиболее удаленных от нейтральной оси точек того сечения, где возникает наибольший изгибающий момент.

Необходимость в расчете по касательным напряжениям возникает для коротких балок, испытывающих действие значительной поперечной нагрузки, а также для деревянных балок. Опасные точки расположены в нейтральном слое сечения с наибольшей поперечной силой.

Для балок тонкостенного профиля (двутавр, швеллер) опасной может оказаться точка, расположенная в месте соединения стенки с полкой. Это имеет место в тех случаях, когда к балке приложена значительная поперечная нагрузка, причем есть сечения, где M и Q одновременно велики. Следовательно, σ и τ достигают больших значений,

иэто вынуждает делать расчет по главным напряжениям.

6.3.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

ИРАСЧЕТ НА ЖЕСТКОСТЬ

6.3.1.Дифференциальное уравнение упругой линии балки. При

изгибе	произвольное сече-
ние K балки (рис.		6.10) по-
лучает	три перемещения:
вертикальный		про-

гиб v , горизонтальное смещение w , угол поворота θ. Ось деформированной балки называется упругой линией.

Рис. 6.10

106

В реальных конструкциях		w << v,
vmax ≤ l / 200 ,	θmax ≤1°(0,0174 рад),

поэтому в расчетах можно пренебречь смещением w, а для углов поворота использовать приближенную формулу θ≈ tgθ= dv / dz . Таким образом, для определения линейных и угловых перемещений балки необходимо знать уравнение упругой линии v(z).

Кривизна оси балки связана с изгибающим моментом выраже-

нием

k =1/ ρ= M x /(EI x ) .

Из курса математики известна следующая формула для кривизны линии:

k = ±v′′/[1 + (v′)2 ]3 / 2 ,

где

v′ = dv / dz ,

v′′ = d 2v / dz2 .

Подставляя это значение k в предыдущее выражение, получим точное дифференциальное уравнение упругой линии балки:

v	′′	′	2	]	3 / 2	= ± M x /(EI x ) .	(6.11)
		/[1 + (v )

Пренебрегая (v′)2 по сравнению с единицей, заменяем его приближенным уравнением

v′′ = ± M x /(EI x ) ,

(6.12)

которое называется основным дифференциальным уравнением упругой линии балки.

Выбор знака определяется принятой системой координат (рис. 6.11). Если ось y направлена вверх, то знаки момента Mx и кривизны v″ совпадают, поэтому в уравнении (6.12) берется знак “плюс”. При обратном направлении оси y знаки Mx и v″ противоположны, следовательно, в этом случае следует использовать уравнение вида v′′ = −M x /(EI x ) , которое и рассматривается в дальнейшем.

107

v′′ = M x /(EIx )		v′′ = −M x /(EIx )
	Рис. 6.11

6.3.2. Метод начальных параметров. Последова-

тельно интегрируя уравнение (6.12), получим сначала выражение для углов поворота

θ(z) = θ0 −			1			z	M x (z)dz ,		(а)
			EI			∫
				x 0
а затем для прогибов
	+ θ0 z −		1	z z
v(z) = v0				∫					(б)
							∫M x (z)dz dz
		EI x 0					0

Для вычисления интегралов, входящих в формулы (а) и (б), запишем выражение изгибающего момента Mx(z) от типичных нагрузок

(рис. 6.12):

	q	(z − c)	2	−	q	2
M x (z) = − M + F(z − b)+	2				2	(z − d )	.

Рис. 6.12

Рис. 6.13

108

Подставляя Mx в формулы (а) и (б) и учитывая, что в общем случае на балку действует несколько моментов, сосредоточенных сил и погонных нагрузок, после интегрирования получим окончательно

1

Л M (z − a)

F(z − b)2

q(z − c)3

q(z − d )3

θ(z) =θ0

+

∑

+

+

−

,

(6.13)

EI

1!

2!

3!

3!

x

1

Л M(z −a)2

F(z −b)3

q(z −c)4

q(z −d)4

v(z) = v0 +θ0 z +

∑

+

+

−

.

(6.14)

EI

2!

3!

4!

4!

x

Здесь θ0 и v0 – угол поворота и прогиб в начале координат, называемые начальными параметрами и определяемые из условия опирания балки (рис. 6.13). Значок “Л” над символом суммы обозначает, что суммируются только те величины, которые относятся к части балки, расположенной слева от того сечения, где ищут перемещения. Все нагрузки, приведенные на рис. 6.12, считаются положитель-

ными.

6.3.3.Э н е р г е т и ч е с к и й м е т о д . Энергия дефор-

мации при изгибе. Выделим из балки бесконечно малый элемент (рис. 6.14) и составим для него уравнение баланса энергии

dU = dW,

где dU – потенциальная энергия упругой деформации, dW – работа внешних сил. Как известно, работа пары сил Mx равна произведению момента на угол поворота. Однако, учитывая статический характер нагружения и линейную зависимость между уси-

лиями и перемещениями, в нашем случае

Рис. 6.14

dW = (1/ 2)M xdθ.

109

Рис. 6.15

Но dθ= dz / ρ= M xdz /(EI x ),	поэтому	dU = M x2dz /(2EIx ).
Полная энергия, накапливаемая во всей балке,
U = ∫M x2dz /(2EIx ).		(6.15)
l

Полученная формула, строго говоря, справедлива только при чистом изгибе. При поперечном изгибе она является двучленной

U = ∫M x2dz /(2EIx )+ ∫kyQy2dz /(2GA),		(6.16)
l	l

здесь ky – коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения. Например, для прямоугольного сечения ky = 1,2. Второе слагаемое не превышает, как правило, 2-3 % от всей энергии деформации, поэтому в большинстве практических расчетов им пренебрегают.

Теоремы о взаимности работ и перемещений. Эти теоремы относятся к числу общих теорем сопротивления материалов. Они прямо вытекают из принципа независимости действия сил и применимы ко всем системам, для которых соблюдается этот принцип.

Рассмотрим упругое тело (рис. 6.15), к которому приложены силы F1 в точке A и F2 в

точке B. Определим работу, которую совершают эти силы при различном порядке их приложения. Пусть сначала прикладывается сила F1, а затем F2. Тогда сумма работ равна

W1 = (1/ 2)F1δA1 + (1/ 2)F2δB2 + F1δA2 ,

где δA1 – перемещение точки A по направлению силы F1, вызванное силой F1; δB2 – перемещение точки B по направлению силы F2, вызванное силой F2; δA2 – перемещение точки A по направлению силы F1 под действием силы F2, приложенной в точке B. В последнем слагаемом множитель ½ отсутствует, так как на пути δA2 сила F1 остается неизменной.

110

Рис. 6.16

Рис. 6.17

Во втором случае сначала прикладывается сила F2 , а затем F1 и выражение работы будет следующим:

W2 = (1/ 2)F2δB2 + (1/ 2)F1δA1 + F2δB1.

Приравнивая работы, находим

F1δA2 = F2δB1

.

(6.17)

Полученный результат выражает теорему о взаимности работ (тео-

рему Бетти): работа первой силы на перемещении точки ее приложения под действием второй силы равна работе второй силы на перемещении точки ее приложения под действием первой силы.

В частности, если F1 = F2 = F, то выражение (6.17) принимает

вид
δA2 = δB1	(6.18)

В этом и заключается теорема о взаимности перемещений (теорема Мак-

свелла): перемещение точки A под действием силы, приложенной в точке B, равно перемещению точки B под действием той же силы, приложенной в точке A (рис. 6.16).

Теорема Кастилиано. Частная производная от потенциальной энергии системы по силе равна перемещению точки приложения силы по направлению этой силы.

Рассмотрим упругое тело (рис. 6.17), нагруженное произвольной системой сил. Потенциальная энергия деформации, накопленная в теле в результате работы внешних сил, равна U и выражается через силы U =U (F1, F2 ,..., Fn ). Дадим одной из сил, например, силе Fn, при-

111

ращение dFn. Тогда потенциальная энергия получит приращение (∂U / ∂Fn ) dFn и примет вид

U + (∂U / ∂Fn ) dFn . (а)

Изменим порядок приложения сил. Приложим сначала силу dFn, а затем всю систему. Тогда выражение потенциальной энергии полу-

чим в виде
U + dFnδn + (1/ 2)dFn dδn ,	(б)

где dFnδn есть приращение энергии, связанное с работой силы dFn

на перемещении δn, вызванном всей системой внешних сил; перед произведением множитель ½ не ставится, поскольку на перемещении δn сила dFn остается неизменной. Третье слагаемое, равное работе силы dFn на вызванном ею перемещении dδn, является величиной высшего порядка малости, поэтому его можно отбросить.

Приравнивая выражения (а) и (б), находим

δn = ∂U / ∂Fn ,

что и требовалось доказать.

П Р И М Е Р 6.1. Определить наибольший прогиб консоли, нагруженной на конце силой F.

Р е ш е н и е . Изгибающий момент в произвольном сечении K балки равен

M x (z)= −Fz .

Потенциальная энергия упругой деформации

(6.19)

f= Fl3 /(3EIx )

Рис. 6.18

l	l
U = ∫M x2dz /(2EI x )= (F 2 / 2EI x )∫z2dz = F 2l3 /(6EI x ).
0	0

112

По формуле (6.18) находим искомое перемещение f = vB = ∂U / ∂F = Fl3 /(3EI x ).

	Интеграл Мора. Пусть требует-
	ся определить прогиб некоторого сече-
	ния K балки (рис. 6.19). Приложим в
	точке K фиктивную силу Ф и вычис-
	лим изгибающий момент в произволь-	Рис. 6.19
	ном сечении балки
	M x (z) = M F (z) + M Ф(z) ,

где MF – момент от заданной системы внешних сил, MФ – дополнительный момент, вызванный силой Ф. Момент MФ пропорционален силе Ф, поэтому его можно представить как произведение M Ф = MФ.

Здесь M есть изгибающий момент от единичной силы, приложенной в рассматриваемой точке K.

Потенциальная энергия системы с учетом силы Ф

l

U = ∫(M F + MФ)2 dz /(2EI x ) .

0

Дифференцируя это выражение по Ф, и полагая после этого Ф=0, находим перемещение точки K:

l
K = vK = ∂U / ∂Ф|Ф=0 = ∫M F	M	dz /(EI x ) .	(6.20)
0

Это и есть интеграл Мора.

П Р И М Е Р 6.2. Определить максимальный прогиб в двухопорной балке, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q (рис. 6.20).

Р е ш е н и е . Находим изгибающие моменты:

• от заданной нагрузки M	F	= R	A	z	−qz2	/ 2 = q(lz	− z2 ) / 2 ,
				1	1	1	1

113

• от единичной силы, приложен-

ной в точке C, где ищется прогиб

= z1 / 2 .

M

По формуле

(6.20)

вычисляем

наибольший прогиб, который возникает

в среднем сечении балки

2

l / 2

vC = f =

∫

M F

dz =

M

EI

x

Рис. 6.20

0

q

l / 2

− z2 )z dz =

ql 4

1

1

1

1

5ql4

=

∫

(lz

−

=

.

2EI

x

1

1

1

1

2EI

x

3

8

4

16

384EI

x

0

Некоторые способы вычисления интеграла Мора. Наиболь-

шее распространение в инженерной практике получили правило Верещагина и формула Симпсона.

Правило Верещагина. Оно заключается в замене операции интегрирования перемножением площади эпюры моментов от внешней нагрузки на ординату линейной эпюры от единичной силы, расположенную под центром тяжести первой эпюры.

l

Действительно, I = ∫M F Mdz , причем M = kz +b . Поэтому

		0
l	l	l	l
I = k∫zM F dz + b∫M F dz . Но ∫zM F dz = ωF zC ,			∫M F dz = ωF .
0	0	0	0

Рис. 6.21

Рис. 6.22

114