SopromatGafarov

НОРМАЛЬНЫЕ

НАПРЯЖЕНИЯ

Кривизна оси балки

1/ ρ = Mx /(EIx).

Распределение

E y

Mx

нормальных

σ =

ρ

=

y

напряжений

Ix

Условия прочности:

• для хрупких материалов

σmax = (M max / I x )yр = M max /Wр ≤[σр] ,

σ

min

= (M

max

/ I

x

)y

c

= M

max

/W

≤[σ

] ,

c

c

где Wр = I x / yр и Wc

= I x / yc

– моменты сопротивления соот-

ветственно растянутых и сжатых волокон ;

• для пластичных материалов

σнаиб = (Mmax / Ix)yнаиб = Мmax /Wx ≤[σ] ,

где Wx = Ix / yнаиб – осевой момент сопротивления.

h

x	I x = bh3 /12
b	Wx = bh2 / 6

d

x I x = πd 4 / 64 Wx = πd 3 / 32

	КАСАТЕЛЬНЫЕ		НАПРЯЖЕНИЯ
	Формула Журавского		τ = QSxотс /(bI x )
x	τ	3 Q	x τ	4 Q
	τmax =	2 A	τmax =	3 A

135

Q

Условие прочности τmax = kQ / A ≤ [τ],

		Mx	где k – коэффициент формы, равный:
Н.с. C			3/2 – для прямоугольника,
	σ		4/3 – для круга.
B		τ

A

ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ

B τσ	σ	1	σ3
	σ1,3 = 0,5[σ ± σ2 + 4τ2 ]		B

7.2. Определение перемещений и расчет на жесткость

	Перемещения:
	•	линейные	прогиб v,
			смещение w << v ,
	•	угловое	θ = dv / dz.
		(угол поворота)

	z		F= 0
		θ w	К
			v
	Упругая	К1
			F >0
	линия
	l	θ

y

Основное дифференциальное уравнение упругой линии балки

		v′′ = ±M x	(EI x )
y	v′′ = +	M x	0	z	M x
Mx			Mx	v′′ = −
0	z	EI x	y		EI x

136

МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ

θ0

M >0

F >0

q > 0

Mх(z)

Θ(z)= Θ −

1 z M

d z,

0 а

К

z

0

EIx 0∫

x

v0

b c

z

z

v(z)

1

d

= v0 +Θ0z − EI

∫

z

∫Mxdz dz,

y

x

0

0

Θ(z)

= Θ0

+

1

"Л"

M (z − a)

+

F (z −b)2

(z −c)3

− q

(z − d )3

EI х

∑

1!

2!

+ q

3!

3!

,

v (z)= v0 +Θ0 z +

1

"Л"

M

(z −a)2

+

F(z −b)3

(z −c)4

−q

(z −d)4

EIx

∑

2!

3!

+ q

4!

4!

.

Значок «Л» над символом суммы обозначает, что суммируются только

те величины, которые относятся к части балки, расположенной слева

от того сечения, где ищутся перемещения.

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ

МЕТОД

Интеграл Мора

Правило Верещагина

Формула Симпсона

K

I = ∫МF Мdz = ωF c

Mл

Mср

Mп MF

vк

MF

ωF

1

Mср

MF

Mл

K

1

M

MC=c

0,5l

0,5l

Mп M

M

I = l (M

лМл + 4MсрМср + MпМп )

EI V =

∫

M

Mdz

l

x

К

F

6

l

Фи-

Треугольник

Квадратная парабола

гу-

h

h

h

l/2

l/2

ра

l/3

2l/3

3l/4

5l/8

h

ω

hl/2

hl/3

2hl/3

2hl/3

137

8. СИЛОВЫЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ

НЕКОТОРЫХ БАЛОК

Схемы балок

Изгибающий

Прогиб

Угол

момент

поворота

А

В M

V = Ml 2

ΘВ = Ml

l

M

= M = const

у

x

В

2EI

EI

А

F

В

Fl 3

Fl 2

l

MA = −Fl

VВ =

ΘВ =

3EI

2EI

у

q

ql 4

ql 3

А

В

МА = −ql

2

/ 2

VВ =

ΘВ =

l

8EI

6EI

у

А

M

С

M

В

M x

= M = const

VC =

Ml2

ΘА =

Ml

у

l/2

l/2

8EI

2EI

А

l/2

С F

l/2

В

M

C

= Fl / 4

V

=

Fl3

Θ

=

Fl 2

у

C

48EI

А

16EI

q

4

ΘC = 0 ,

А

С l/2

В

MC = ql 2 /8

VC

=

5

ql

l/2

Θ

=

ql3

у

384 EI

А

24EI

А

С F

В

M

A

= −Fl /8

VC

=

Fl

3

ΘA =ΘC = 0

l/2

l/2

у

MC = Fl /8

192EI

q

M A = −ql 2 /12

ql 4

А

l/2

С

l/2

В

VC

=

ΘA = ΘC = 0

M C = ql

2

/ 24

384EI

у

138

9. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ

	Конструкцию, усилия в которой не	Заданная система
	могут быть определены только при помощи
		i	j	k	F
	уравнений статики, называют статически
	неопределимой. С точки зрения расчета ее
	удобно рассматривать как некоторую стати-			l
	чески определимую систему, именуемую в	Основная система
	последующем основной системой, на кото-				F
	рую наложены дополнительные связи.	i	j	k
	Статически неопределимые системы	Хi	Хj
	(в отличие от статически определимых) об-
	ладают следующими особенностями:			MF
	1) распределение усилий в них зависит не				F
	только от внешних сил, но и от соотно-
	шения жесткостей отдельных элементов,
	а именно: чем больше жесткость элемен-
	та, тем больше усилие, на него приходящее-		Xi =1	Mi
	ся;
	2) при смещении опор, неточном изготовле-
	нии элементов, колебаниях температуры			Xj =1 Mj
	возникают дополнительные усилия.

Одним из важнейших методов расчета статически неопределимых систем является метод сил, в котором за основные неизвестные принимают обобщенные реактивные силы в отброшенных дополнительных связях системы. Расчет ведется в такой последовательности:

1.Определяется степень статической неопределимости (по числу дополнительных связей).

2.Выбирается основная система, которая получается из заданной после удаления дополнительных связей. Действие отброшенных

связей заменяется неизвестными силовыми факторами Х1, Х2 ,..., Хn.

3. Составляются канонические уравнения метода сил, математически выражающие условие эквивалентности основной и заданной систем:

	n					(i = 1, 2 ,..., n),
	∑δij X j + iF = 0,
	j=1
где	EIδij = ∫		i		jdz, EI	iF = ∫		i		F dz.
		M		M			M		M
	1					1

Из решения этих уравнений находят значения Х1 , Х2 ...,Хn.

4.Строятся эпюры внутренних силовых факторов.

5.Выполняется проверка решения, включающая в себя статическую проверку (проверяется равновесие системы и ее отдельных частей) и кинематическую (проверяется отсутствие перемещений по направлению наложенных на систему связей).

139

10. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
10.1. Косой изгиб	m ϕ		Cечение А			σ
						max
					m 1		n
			Mу	Mи
x	α	0		ϕ	x	α	σmin
	Mx			Mх	β
							2
					n
	My		y	m		y	m

Уравнение силовой линии

y = k1x, где k1 = tgα.

Уравнение нейтральной линии y0 = k2 x0 , k2 = tgβ = −(1/ k1 )(Ix / I y ).

Связь между угловыми коэффициентами

k1k2 = −I x / I y

Распределение нормальных напряжений

M x

y +

M y

x

cos ϕ

sin ϕ

σ =

или

y +

Ix

I y

σ = M и

I y

x .

I x

Условия прочности:

- для балок произвольного сечения из хрупких материалов

σmax = (M x / I x )y1 + (M y / I y )x1 ≤[σp ] ,

σmin = (M x / I x )y2 + (M y / I y )x2 ≤[σc ];

- для балок прямоугольного сечения из пластичных материалов

			σmax = M x /Wx + M y /Wy ≤ [σ].
x	0	u	Полное перемещение	f = u + v,
	v	γ	f = u2 + v2 , tgγ = v/u.
		f
	y
			Условие жесткости	fmax ≤ [ f ].
	Примечание.		При плоском косом изгибе	f nn.
140

10.2. Изгиб с кручением

10.2.1. Стержень круглого сечения Условие прочности

σэкв =Mэкв/Wx ≤[σ],

	2		2		2	− по 3 - й гипотезе прочности,
	M x	+ M y		+ M z
M экв =	M	2	+ M	2	+ 0,75М2	− по 4 - й гипотезе прочности.
		x		y	z

x Mx

Mz z

10.2.2. Стержень прямоугольного сечения

b

σи1

σэкв

= σи

= Мx /Wx + M y /Wy ,

1

1

1

σ2

+ 4τ

2

,

σ

=

2

h

экв2

и2

к

2

τк2

τк2 = M z /(βb

3

),

1

3

2

σи2 = M y

/Wy ,

σи2

σ

экв3

=

σ2

+ 4τ2

,

y My

3 τσки1 3

и3

к3

σи = M x

/Wx ,

τк

= γ τк .

3

3

2

Условие прочности

max ={σэкв

, σэкв

, σэкв

} ≤

[σ].

1

2

3

10.3. Внецентренное продольное нагружение

z	F	y
	е	xf
	f	yf
		x

Распределение нормальных напряжений

N

M x

M x

y f y

x f x

y +

x =

F

σ =

+

1

+

+

.

A

I x

I y

2

2

A

ix

iy

Знак «плюс» соответствует растяжению,

«минус» – сжатию.

Отрезки, отсекаемые ней-

2

/ x f

,

тральной линией

a0

= −iy

2

на осях координат

b

= −i

/ y

f

.

0

x

141

В н е ц е н т р е н н о е с ж а т и е

y		2
	хf
n				σmin
а0	f	y	x
	b0	f
1

n

Условия прочности

F

y

f

y

σ

max

= −

1

+

1

2

A

ix

F

y f

y2

σ

min

=

−

1

+

2

A

ix

+x f x1

iy2

+x f x2

iy2

	≤ [σp ],
		≤ [σc ].

σmax

Ядро сечения

Координаты		2	/ a0 ,
	xЯ = −iy
вершин		2
			/ b0.
	yЯ = −ix

/3
h
/3	d
h
/3
h	d/4

b	b	b
3	3	3

11.УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ

11.1.Продольный изгиб

Формула Эйлера

(стержни большой гибкости, для которых σкр ≤ σпц)

F = π2EI	min	/(μl)2	или	σкр = π2E / λ2.
кр

Формула Тетмайера-Ясинского

(стержни средней гибкости, для которых σкр ≥ σпц)

	F	= A(a −bλ + cλ2 )			или σ	кр	= a −bλ + cλ2.
	ђр
Гибкость стержня			λ = μl / i, где μ –		коэффициент приведения.

μ=0,5	F	μ=0,7	F	μ=1,0	F	μ=2,0	F
l		l		l		l
142

Условие устойчивости

ny = Fкр / F ≥ [ny ]

или

F / A ≤ ϕ[σc ].

Внецентренное нагружение

Учет начального искривления

F

f

F

f0

f

F

e

e

0,5l

0,5l

0,5l

0,5l

f = f0 /(1− F / FЭ )

f = (4e / π)/(FЭ / F −

1)

F

= π2 EI / l 2

– эйлерова критическая сила

Э

fпоп

S

11.2. Продольно-поперечный изгиб

Максимальный прогиб

0,5l

f

0,5l

f

= fпоп /(1− S / SЭ ).

Максимальное напряжение

= S

+ 1

Sfпоп

= π

2

EI

эйлерова

σ

+

S

– критическая

max

M

поп

,

Э

A

1

2

сила.

Wx

− S / SЭ

(μ1)

Условие прочности

σ

=

S

+

1

+

Sfпоп[n]

≤[σ].

рас

M

поп

1

−

A Wx

[n]S / SЭ

Условие жесткости

f

≤ [ f ].

11.3. Устойчивость труб

t

R2 d=

Условие устойчивости

Критическая нагрузка

pкр = Et3 /[4(1 − ν2 )R3 ].

Для стальных труб (E = 200 ГПа, ν= 0,3)

pкр = 55(20t / d )3 МПа. ny = pкр / p ≥ [ny ].

143

	12. ДИНАМИЧЕСКОЕ НАГРУЖЕНИЕ
Общие зависимости		σд = kдσст,				δд = kдδст
	12.1. Учет сил инерции
Nд	Поступа-	Равномерно				Nд	Nд
	тельное движе-	вращающееся
	ние	тонкое кольцо					dϕ
a	σд = kд σст	2	R	2	= ρ v	2	ω
	kд =1+ a / g ,	σд = ρω				R
G
	σст = G / A
	12.2. Действие удара на конструкцию

l h

G	т	Продольный
	l	удар
G	c

lст = Gl /(EA)

kд =1+ 1+ 2lh

ст

Удар в канатах	Поперечный удар
при заедании троса	h

kд =1+		v0	G	fст
v0	g	lст	kд =1+ 1+ 2h / fст
G

12.3. Колебания упругих систем с одной степенью свободы

Ω F0

G (mg)

β у

4

3

2

1

0

0,5 1,0 1,5 2,0

	Уравнение колебаний упругой системы
	(неустановившееся движение)
	y =	a sin(ωt + ϕ)	+ Asin Ωt ,
		(собственныеколебания)	(вынужденные)

происходящих под действием возмущающей силы Fвоз = F0 sin Ωt, где F0 – центробежная

сила инерции неуравновешенных масс ротора. Частота собственных колебаний упругой сис-

темы ω = с/ m = g / δст =1/ mδ 11.

Амплитуда вынужденных колебаний

			A = (F0 / c)β,
	β =		1/[1− (Ω/ ω)2	]		– коэффициент
Ω						нараста-
ω						ния колебаний.

Динамический коэффициент kд =1 + (F0 / G)β.

144