Лабораторные работы по курсу общей физики

4

С вероятностью 1 - Р истинное значение может оказаться и вне

доверительного интервала (5), поэтому запись	интервала	обязательно
следует сопровождать указанием доверительной вероятности Р .
Допустима форма записи
x1 - t(P) ×σ £ xИСТ £ x1 + t(P) ×σ ;	P = ...	(6)

Значения t(P) , отличные от 1,2,3, и соответствующие значения P могут быть выбраны по таблице в [2]. Рекомендуется результат записывать для P =

	0,95, т.е. выбирать доверительный интервал ± 2σ .
	Однократными измерениями, как прямыми, так								Таблица 2
	и косвенными (см. п. 3.4.1), можно ограничиться во
	всех лабораторных работах данного практикума (за					n	Р
							0,9	0,95	0,99	0,997
	исключением вводного занятия). Среднеквадратичные
								t(P,n)
	отклонения измеряемых величин указаны на
						2	6,3	12.7	63,6	212,3
	пояснительных табличках к каждой лабораторной
						3	2.9	4,3	9,9	182
	работе. Если характеристики погрешности не
						4	2,4	3,2	5,8	9,0
	указаны, то оценка σ		производится по цене деления
						5	2,1	2,8	4,6	6,4
	шкалы С Д . Принято считать, что для шкалы с ин-
						б	2,0	2,6	4.0	5.4
	тервалом между штрихами I мм, рассматриваемой с
						7	1.9	2,4	3.7	4,8
	расстояния наилучшего зрения 250 мм, погрешность
						8	1,9	2,4	3,5	4,4
	отсчета равна	0,3÷	0,5	деления, т.е. в	единицах
						9	1.9	2,3	3.4	4,2
	измеряемой величины σ ≈ (0,3 ÷ 0,5) С Д .
						10	1,8	2,3	3,2	4.0
	3.3.2 Прямые многократные измерения. Если
						15	1,8	2,1	3,0	3,6
	СКО измеряемой величины неизвестно, то его можно
						20	1.7	2,1	2,9	3,4
	определить многократными, т.е. повторяющимися
						30	1,7	2,0	2.8	3,2
	измерениями. Этот метод и используется во вводном
						50	1,7	2.0	2,7	3.1
	лабораторном	занятии.		Расчётной	оценкой

математического ожидания μ является выборочное среднее x , а оценкой σ – выборочное СКО s :

	n		1	n
	x = (1/n) å xk ; s =			å( xk − x )2	(7)
	k =1		n − 1 k =1

Многие из инженерных калькуляторов имеют режим статистических вычислений (STAT), существенно упрощающий вычисления по формулам

(7).

При n → ∞	x → μ , а s → σ . Поэтому,	казалось бы, можно по
аналогии с (5) записать доверительный интервал
	xИСТ = μ = x ± t(P) × s ;	Р = …

Однако при любом конечном числе измерений выборочное СКО может оказаться как больше, так и меньше неизвестного σ . Второй случай - самый опасный: при подстановке s вместо σ преуменьшается ширина доверительного интервала. Заданную доверительную вероятность обеспечивают, расширяя интервал путём замены коэффициентов t(P) на коэффициенты Стью дента (табл. 2) t(P,n) > t(P). Из таблицы видно, что,

5

например, t(P=0,95; n) ≈ t(P) только при n ³ 30, т.е. только при таком числе измерений s незначительно отличается от σ . С другой стороны, для сужения интервала, т.е. для уточнения оценки μ используют то, что выборочное среднее x в (7) зависит от суммы случайных нормально

распределённых результатов измерений xk и потому само является

случайной нормально распределённой величиной со среднеквадратичным отклонением среднего

σ X = σ / n , n → ∞ , σ X → 0

Это означает, что, хотя от измерения к измерению единичные результаты "прыгают" в среднем на σ, разброс выборочных средних от выборки к выборке по n случайных измерений уменьшается с ростом n, что и позволяет сузить доверительный интервал, проводя многократные измерения.

Уменьшение случайного разброса путём усреднения многократных измерений широко используется в цифровых приборах.

Используя коэффициенты Стьюдента и переходя к выборочному СКО среднего значения, окончательно запишем доверительный интервал для

результата многократных измерений
xИСТ = μ = x ± t(P,n) × s / n; P = ...	(8)

3.4 Косвенные измерения. При косвенных измерениях физическая величина вычисляется по формуле через величины, полученные в прямых измерениях. Даже простые линейные измерения, являются, вообще говоря, косвенными, т.к. измеряемый размер L вычисляется из двух координат, начальной xН и конечной xК , по формуле L = xК − xН .

Если физическая величина y вычисляется по формуле y = f(a,b,c...) через нормально распределённые величины a, b, c … с СКО σ a ,σ b ,σ c ..., полученные в прямых измерениях, то y также распределена нормально с СКО

∂ y

2

2

∂ y

2

2

∂ y

2

2

σ y =

(

)

σ a

+ (

)

σ b

+ (

)

σ c + ...

(9)

∂a

∂b

∂c

3.4.1 Однократное косвенное измерение.

Пусть измерены

значения

a1 , b1 , c1 ... величин a, b, c … Тогда доверительный интервал yИСТ

yИСТ = f(a,b,c ...) ± t(P)×σ y ;

P = ...

(10)

Значения P и t(P) см. в (3), а σ y

вычисляется по (9).

4.Предварительная подготовка к выполнению лабораторных работ

1.Ознакомьтесь с теорией вопроса, изложенной в описании лабораторной работы и в указанной к ней литературе.

6

2.Найдите ответы на контрольные вопросы: цель эксперимента, принцип действия измерительной установки; какие величины непосредственно измеряются, какие вычисляются, какую теоретическую зависимость вы ожидаете получить.

3.Заготовьте титульный лист отчета о лабораторной работе и эскизы таблиц, необходимых в отчете по данной работе.

4.На лабораторном занятии получите у преподавателя разрешение выполнять работу. Для этого необходимо: а) ответить на контрольные вопросы; б) уточнить объем измерений и форму таблицы результатов измерений.

5.Оформление результатов лабораторных работ

1.В таблицу приборов для каждого прибора должны быть записаны наименование (например, вольтметр), тип, предел измерений (в единицах измеряемой величины), число делений (для стрелочного прибора), цена деления (видимая - для цифрового прибора, расчетная - для стрелочного),

а также одна из мер погрешности прибора – абсолютная или относительная погрешность (во 2-м семестре – класс точности прибора).

2.В таблицу результатов измерений первичные данные следует заносить "как вижу", например, числом делений, без пересчета в уме в другие единицы, неизбежно ведущего к ошибкам. Для последующих

промежуточных расчетов рекомендуется предусмотреть в таблице одну или несколько позиций.

3.С целью сохранения точности рекомендуется в промежуточных результатах оставлять на 1-2 значащих цифры больше, чем в первичных данных. Значащими цифрами являются все цифры, кроме нулей впереди.

4.Окончательное значение измеряемой величины записывают в виде доверительного интервала (5), (8) или (10)

5.	xИСТ = A ± ;	P = ....	(11)
6. Границы интервала	указываются	двумя значащими цифрами,	если

первая из них равна 1 или 2, и одной, — если первая цифра есть 3 и более.

При такой записи погрешность округления любого результата не превышает 3,5 %.. Если у округляемого числа первая отбрасываемая цифра ³ 5, то последняя оставляемая увеличивается на единицу [3]. Например, результат расчета А = 62,7 с; = 4,5 с. Тогда при округлении

до одной цифры окончательное значение доверительного интервала xИСТ

= (63 ± 5) с, Р = …

7.Числовой результат следует представлять в стандартном виде a = a0 ×10n ,

где целое число n - порядок числа а, а основа числа a0 находится в промежутке [I; 10] , например, е = 1,6021×1019 Кл; с = 2,9979-108 мс-1.

7

6.Построение графиков

1.График строится на миллиметровой бумаге.

2.По горизонтальной оси обычно откладывают аргумент, а по вертикальной его функцию. Для проверки теоретических зависимостей подбираются такие переменные, чтобы получить график в виде прямой линии. Например, график функции y = ax2 можно построить в переменных y, x2 или y , x .

3.У осей должны быть проставлены обозначения и единицы размерности соответствующих величин. Масштабы по осям должны быть а) простыми (0,1 ед/см; 0,5 ед/см и т.д..), чтобы при построении не производить сложных вычислений; б) такими, чтобы размеры гистограммы по вертикали и по горизонтали относились примерно как 1:1 илп 1:1,5, а экспериментальные точки не сливались друг с другом. По осям откладываются только масштабные единицы, а точки с координатами (x, y), полученными в эксперименте, наносятся на график.

4.К каждой экспериментальной точке (x, y) пристраивается доверительный интервал ± по оси y . Рекомендуется все доверительные интервалы вычислять при одном и том же значении доверительной вероятности.

5.В поле рисунка или под ним указать условия, параметры измерений данного графика и доверительную вероятность.

7.Задание к вводному занятию

1.Измерить время столкновения шаров n = 50 раз.

2.Построить гистограмму результатов измерений.

3.Графически оценить полуширину на полувысоте (ПШПВ) гистограммы.

4.По формулам (7) рассчитать выборочные среднее и СКО а) для любых трёх результатов измерений; б) для n = 50.

5.Оценить относительное отклонение ПШПВ от СКО(n = 3) и СКО(n = 50).

6.Записать доверительный интервал для математического ожидания времени соударения шаров по формуле (8) а) для n = 3; б) для n = 50.

7.Выбрав масштаб и начало отсчёта на миллиметровке, изобразить

полученные доверительные интервалы в виде отрезков.

8.Сделать вывод о связи числа измерений с точностью определения истинного значения измеряемой величины.

8.Контрольные вопросы к вводному занятию

1.Объясните принцип построения гистограммы.

2.Что такое относительная частота? Чему равна сумма всех относительных частот?

8

3.Как по функции плотности вероятности графически определить вероятность попадания результата измерений в интервал x, x + dx ?

4.Чему равна площадь под кривой функции плотности вероятности?

5.Запишите функцию нормального распределения, нарисуйте её график и укажите графически её характерные параметры.

6.Что такое математическое ожидание распределения? Какая выборочная величина является наилучшей оценкой матожидания?

7.Как изменится график функции распределения, если а) возрастёт случайная погрешность; б) изменится (уменьшится, увеличится) матожидание распределения, т.е. появится систематическая погрешность?

8.Запишите формулу доверительного интервала для однократного прямого измерения при а) P ≈ 0,68; б) P ≈ 0,95

9.Что такое среднеквадратичное отклонение среднего значения многократных измерений и как оно изменяется с увеличением числа измерений?

Список литературы

I. ГОСТ 8.207-76 Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. - М.: Изд-во стандартов, 1977.

2.ГОСТ Р 50779.21-96 Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. - М.: Изд-во стандартов, 1996. - Ч.1. Нормальное распределение .

3.СТ СЭВ 543-77. Числа. Правила записи и округления. - М.:

Изд-во стандартов, 1977.

4. Новицкий II.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. -Л.: Энергоатомиздат, 1985.

5. Лавренчик В.Н. Постановка физического эксперимента и статистическая обработка его результатов. - М.: Энергоатомиздат, 1986.

1

Лабораторная работа № 1

ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕНИ СОУДАРЕНИЯ УПРУГИХ ТЕЛ

В данной работе проводится измерение времени упругого соударения двух одинаковых стальных шаров с помощью электросекундомера.

Целью работы является сравнение экспериментально полученной зависимости времени соударения шаров от диаметра шара с теоретической.

Описание установки и эксперимента

Два металлических шара, радиусы и массы которых одинаковы, подвешены на проводящих нитях (см. рис.1 Вводного занятия). Один шар отводится в сторону до соприкосновения с электромагнитом. При отключении электромагнита с помощью тумблера «ПУСК» шар 1 падает и происходит соударение. При этом замыкают электрическую цепь. В процессе соударения в цепи протекает импульсный ток. В цепь генератора импульсов включен счетчик импульсов (микросекундометр). Время прохождения импульсного тока в цепи считается временем соударения (удара) шаров.

Зависимость времени удара от размера шара

В лабораторной системе отсчета шар 1, падая с высоты h, к моменту соударения получает импульс mV0. Заметим, что шар 1 всегда поднимается на одинаковую высоту. Тогда V0 = 2gh = const. Шар 2 до соударения

находится в покое. Из законов сохранения импульса и энергии для центрального упругого удара следует, что после соударения шар 1 остановится, а шар 2 получит импульс mV0. Шары, имеющие одинаковые массы и радиусы, обменяются импульсами. Изменение импульса шара 2 за время соударения P2=mV0.

Время соударения шаров по второму закону Ньютона
τ = P2/<F12>	(1)

где <F12> - средняя упругая сила, с которой первый шар действует на второй. Для определения F рассмотрим соударение шаров в системе центра инерции (СЦИ), называемой также системой центра масс, т.е. в инерциальной системе отсчета, в которой суммарный импульс шаров до и после взаимодействия равен нулю. В такой системе отсчета импульсы шаров

до и после соударения равны по величине и противоположны по направлению. До соударения шары движутся навстречу друг другу, после – разлетаются в противоположные стороны. Скорость движения СЦИ

2

необходимо выбрать равной половине скорости первого шара V = V0/2. Закон

сохранения импульса в СЦИ имеет вид
	Р1 + Р2 = Р/1 + Р/2 = 0	(2)
где	êР1ê= êР2ê= êР/1ê= êР/2ê= mV0/2

Шары взаимодействуют друг с другом с упругими силами, равными по величине и противоположными по направлению.

Процесс упругого соударения шаров в СЦИ можно представить в виде следующих двух этапов:

1)на первом этапе оба шара одновременно тормозятся и упруго деформируются, пока кинетическая энергия шаров полностью не превратится в энергию упругой деформации;

2)на втором этапе величина деформации X уменьшится до нуля, энергия упругой деформации превращается в кинетическую энергию шаров.

Закон сохранения механической энергии для первого этапа соударения шаров

(mV02/4) = 2<F>Xm,

(3)

где Xm – максимальная величина продольной деформации, одинаковая для каждого из шаров.

Средняя величина упругой силы из (2), (3)
<F> = mV02/8Xm	(4)
Тогда время соударения шаров из (1), (4)
t = 8Xm/V0	(5)

Из (5) следует, что t пропорционально Xm .

Из рис.1 видно, что Xm зависит от радиуса шара R: Xm = 2R sin2am = D sin2am. Для определения зависимости xm от R рассмотрим сначала грубую физическую модель, в которой шар диаметром D заменен телом кубической формы (рис. 2).

αm

αm

xm

D = 2R

D D

mV0

m

m
Рис. 1	Рис.2

3

Считаем, что при упругом соударении тел упругая сила пропорциональна

величине деформации (закон Гука)
F/S = E(X/D)	(6)

где Е – модуль Юнга; S = D2 – площадь соприкосновения тел.

Средняя величина упругой силы равна половине максимальной

<F> = Fm/2 = EDXm/2

Заменяя m = ρD3, из (4), (7) получим

	1	æ	ρ ö		1 / 2
X m =	2	ç		÷	V0 D
		è	E ø

где ρ – плотность тела.

Время соударения тел из (5), (8)

τ = 4(ρ/E)1/2D

(7)

(8)

(9)

При упругом сжатии шаров закон Гука не выполняется (см. Приложение 1),

поскольку в этом случае наряду с продольной деформацией происходит еще увеличение площади соприкосновения шаров. Кроме этого, имеют место поперечные деформации шаров. В данном случае зависимость F от X является нелинейной. Однако для стальных шаров так же, как и для тел кубической и цилиндрической формы, максимальная величина продольной деформации Xτm пропорциональна размерам тел. Это приводит к линейной

зависимости времени соударения стальных	шаров от их диаметра (5)
τ = AD	(10)

где А – коэффициент пропорциональности, зависящий от ρ, Е, V0. Полученную зависимость (10) τ от D проверяем экспериментально, измеряя

время соударения шаров микросекундометром. Значения диаметров шаров приведены в паспорте установки.

Задания

1)Произведите измерения времени соударения четырех пар шаров (по 10 измерений для каждой пары).

2)Представьте зависимость времени соударения шаров в виде графика τ от

D с учетом значения величины στ, найденного Вами на вводном занятии.

Результаты измерений и расчеты в данной работе удобно оформить в виде следующей таблицы:

D	τ	<τ>	στ	τ = <τ> ± στ *
мм	мкс	мкс	мкс	мкс

4

*В последнем столбике таблицы наименьший разряд значения величины должен совпадать с разрядом значения величины στ.

Контрольные вопросы

1.Какова цель данной работы?

2.Как в данной работе измеряется время соударения шаров?

3.Что такое система центра инерции?

4.Как записывается в данной работе закон сохранения импульса?

5.Как записыается закон сохранение энергии и какие при этом принимаются допущения?

6.Перечислите все допущения, принятые при выводе теоретической зависимости времени соударении шаров от их диаметров.

7.Получите зависимость τ от D при упругом соударении двух сплошных цилиндров, радиусы которых равны радиусу шара, а длина – диаметру шара,

вслучае ,если цилиндры ударяются торцевыми поверхностями.

8.Получили ли Вы ожидаемую зависимость времени соударения шаров от их диаметров? Что это означает?

Для изучения этой темы рекомендуется учебник:

Савельев И. В. Курс общей физики: - М.: Наука, 1989. – Т. 1 - § 13,16,23,25.

Приложение 1

При упругом статическом сжатии одинаковых стальных шаров закон Гука не выполняется и упругая сила F нелинейно зависит от величины продольной

деформации

F≈ 1.47 E R1/2 X3/2

(1)

Из (1) следует, что F растет быстрее, чем величина деформации; это случай так называемой системы с жесткой характеристикой.

Кинетическая энергия шаров в СЦИ, равная mV02/4 , на первом этапе

соударения переходит в энергию упругой деформации

	mV02	x
		= 2 òm Fdx	(2)
	4
		0

Из (1) и (2) следует

mV402 = 1.18ER1/ 2 X m5/ 2

					5
	Подставляя m =		4	πρ R 3	найдем Xm ≈ 0.95 (ρ/E)2/5	V04/5	R. Время
		3
	упругого соударения шаров
		τ = 8(Xm/V0) = 7.6 (ρ/E)2/5 V0-1/5 R					(3)

Из (3) видно, что для проверки справедливости приближения (1) недостаточно исследования зависимости τ от R. Для этой цели, по крайней мере, надо измерить зависимость τ от V0 = (2gh)1/2 при постоянных значениях R,E,ρ.