Лабораторные работы по курсу общей физики

	6
соответствующего значения на резонансной частоте. Величина	ω = ω 2 − ω1
называется шириной полосы пропускания. Отношение	ω / ω Р
называется относительной шириной полосы пропускания.

Для того, чтобы найти ω1 и ω 2 воспользуемся выражением (19). В соответствии с выражением (20) максимальное значение отношения U Co / E0

равно ω02

/ 2β 2 . На частотах ω1

и ω 2

должно выполняться условие

U C0

=

ω02

(22)

E0

2

β 2

ω1 и ω 2

2

Частоты

могут быть найдены как корни уравнения

ω 2

(ω 2

ω 2

,

(23)

2 2β 2 =

− ω02 )2 + 4β 2ω 2

0

0

полученного

подстановкой

условия

(22) в выражение (19).

Расчет

относительной полосы пропускания приводит к результату:

ω

=

2β 2

=

1

,

ω02

Q

откуда

ω Р

ω Р

= Q

(24)

ω

Следовательно, экспериментально добротность контура можно определить вторым способом, измерив его резонансную частоту и полосу пропускания.

Описание лабораторной установки

Схема лабораторной установки показана на рис. 3.

Рис.3 На этом рисунке Г – генератор электрических колебаний. К выходу

генератора подключен делитель напряжения , состоящий из резисторов RД и R0 . Генератор с делителем на выходе эквивалентен новому генератору ,

7

э.д.с. которого E0 равна напряжению на резисторе R0 при разомкнутой

внешней цепи, а внутреннее сопротивление равно сопротивлению , измеряемому со стороны выхода. Это сопротивление представляет собой сопротивление R0 , шунтированное цепочкой последовательно соединенных

сопротивлений RД и RГ , где RГ - внутреннее сопротивление генератора Г. Сопротивления RД и R0 подбираются так, чтобы выполнялось условие (RД + RГ )>> R0 . При этом внутреннее сопротивление эквивалентного генератора можно считать равным R0

К выходу делителя напряжения ( к выходу эквивалентного генератора ) подключается цепочка, состоящая из последовательно соединенных катушки индуктивности L , сопротивления Rk ( одного из пяти, входящих в

комплект установки ) и конденсатора Ci ( одного из трех, входящих в комплект установки ). При этом образуется последовательный

колебательный контур с индуктивностью L ,					емкостью Ci и сопротивлением
R . Сопротивление		R	контура	складывается из сопротивления		Rk ,
сопротивления	обмотки		катушки	RL и	внутреннего сопротивления
генератора R0 ,	т.е.	R = Rk + RL + R0				(25)

Осциллограф О предназначен для наблюдения за формой колебаний. Колебания должны быть синусоидальными. В случае искажения формы

колебаний следует уменьшить амплитуду напряжения на выходе генератора и добиться синусоидальной формы. Осциллограф можно также использовать для измерения напряжения U C 0 на конденсаторе, а также для измерения э.д.с.

E0 . Однако для этого лучше использовать вольтметр В , так как он

обеспечивает более высокую точность измерений. Для осуществления этих измерений в схеме установки предусмотрен переключатель П. Если на переключателе замкнуты контакты 2-3 и 5-6 ( 1-2 и 4-5 разомкнуты ), то с помощью вольтметра ( или осциллографа ) измеряется напряжение на конденсаторе. Если замкнуты контакты 1-2 и 4-5 ( 2-3 и 5-6 разомкнуты ), то измеряется э.д.с. E0 . Частота вынужденных колебаний определяется по

шкале генератора.

Задание к работе

1.Исходя из паспортных данных L и Ci рассчитать частоту ω0 контура.

2.С помощью вольтметра ( или осциллографа ) измерить U C 0 для ряда

значений частоты ω в диапазоне частот от 0,5ω0 до 1,5ω0 при RM	= 100
Ом. Величину E0 при этом надо поддерживать постоянной во	всем

диапазоне частот. Это значение амплитуды э.д.с. также записать в таблице измерений.

8

3.По результатам измерений п.2 построить график зависимости U C 0 от ω (резонансную кривую).

4.Из графика найти добротностьQ колебательного контура по формуле (21) и по формуле (24).

5.Определить добротность контура по формуле (21) при остальных

значениях сопротивления Rk , измерив U C 0 и E0 на резонансной частоте

(без построения графика).

6. Измерить (без построения графика) ширину пропускания ω при тех же значениях Rk , что и в п.5 и по формуле (24) определить добротность

контура.

7.Рассчитать теоретические значения добротности контура по формуле (18) для всех значений R = Rk + RL + R0 .

8.Построить график зависимости Q от R1 для значений Q , рассчитанных по формуле (18).На этот же график нанести точки экспериментально полученных значений Q в пунктах 4, 5 и 6.

9.Сравнить резонансную частоту, найденную по экспериментально полученной резонансной кривой с частотой ω0 , рассчитанной

теоретически.

10.Сравнить экспериментально полученные значения добротности и их зависимость от R1 с теоретическими.

Контрольные вопросы

1.Какие колебания называются вынужденными ?

2.Напишите дифференциальное уравнение для колебательного контура, возбуждаемого внешним источником с э.д.с., изменяющейся по гармоническому закону.

3.Как выглядит решение дифференциального уравнения для амплитуды напряжения на конденсаторе U C 0 в установившемся режиме ?

4.Чему равна резонансная частота для напряжения на конденсаторе ?

5.Что такое добротность колебательного контура ?

6.Как добротность Q рассчитать теоретически и измерить экспериментально ?

7.Какие графики вы будете строить в работе? Как они предположительно

будут выглядеть?

Литература

1.Савельев И.В. Курс общей физики.- Кн 2.- М.: Наука. Физматлит, 1998.- § 13.4.

2.Трофимова Т.И. Курс физики.- М.: Высшая школа, 1997.-§147, 148.

3.Детлаф А.А. Яворский Б.М.Курс физики.- М.: Высшая школа, 1999.- § 28.3.

1

Лабораторная работа № 24

ВОЛНЫ НА СТРУНЕ

Цель работы – экспериментальное определение зависимости

собственных частот струны от силы ее натяжения и от номера гармоники и сравнение с зависимостями, рассчитанными теоретически

Волновое уравнение струны и его решение

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым уравнением. Для струны, вытянутой вдоль оси x , отдельные точки которой совершают колебания вдоль оси y ,

	это уравнение имеет вид :
	¶2 y	=	1 ¶2 y		,	(1)
	¶x2		u2 ¶t 2

где u - скорость распространения волны ( фазовая скорость ).

Это уравнение можно получить из второго уравнения Ньютона, записанного для произвольного, достаточно малого элемента струны, показанного на рис

1.

Рис.1

Уравнение получим в предположении малости углов α . При малых углах α длину рассматриваемого элемента можно считать равной x , а массу m равной ρ x , где ρ - линейная плотность струны. Этот элемент совершает

колебания вдоль оси y . В этом направлении на элемент струны действует сила, равная

F[sinα( x + x ) - sinα( x )]» F[tgα( x +	éæ	¶y ö
	x ) - tgα( x )]= F êç	÷
	ëè	¶x øx+ x

-æ ¶y ö ù ç ¶ ÷ ú è x øx û

Эта сила вызывает ускорение

2

éæ

¶y ö

æ

¶y ö

ù

¶

2

y

F êç

÷

- ç

÷

ú

F ¶

2

y

= lim

ëè

¶x øx+ x

è

¶x øx û

=

,

¶t 2

x→0

ρ

x

ρ ¶x 2

откуда следует волновое уравнение

¶2 y

=

ρ ¶ 2 y

(2)

¶x2

F ¶t 2

Из сравнения уравнений (1) и (2) следует, что фазовая скорость волны,

распространяющейся вдоль струны

	u =		F			(3)
			ρ

Любая функция, удовлетворяющая уравнению (1) описывает некоторую волну. Вдоль бесконечно длинной струны могут распространяться гармонические волны, описываемые уравнением

y1 = a cos(ωt − kx),

(4)

если волна распространяется вдоль оси x в положительном направлении, и

уравнением

y2 = a cos(ωt + kx + α ),

(5)

если волна распространяется в отрицательном направлении.

В том, что выражения (4) и (5) являются решением волнового уравнения (1) можно убедиться подстановкой этих выражений в волновое уравнение. Частота колебаний ω при этом может иметь любое значение. Эта частота определяется частотой источника, возбуждающего колебания струны.

Уравнение, представляющее собой сумму выражений (4) и (5) y = y1 + y2 = a cos(ωt − kx)+ a cos(ωt + kx + α )

также является решением волнового уравнения. Это выражение можно

привести к виду

æ	α ö	æ	α ö	(6)
y = 2a cosçkx +	÷ cosçωt +		÷
è	2 ø	è	2 ø

Волна, описываемая таким уравнением, называется стоячей волной. В каждой точке стоячей волны колебания происходят с той же частотой, что и у встречных волн. Амплитуда колебаний зависит от координаты x :

A(x) =

æ

α ö

æ

2π

α

ö

2a cosç kx +

÷

=

2a cosç

x +

÷

(7)

λ

2

è

2 ø

è

ø

Для струны конечной длины результирующего колебания Если начало струны находится

с закрепленными концами амплитуда на концах струны должна равняться нулю. в точке с координатой x = 0 , то амплитуда

											3
в этой точке будет равна нулю в том случае, когда α = π .											Выражение (7)
при этом будет иметь вид :							2π
A(x)=		2a sin kx			=	2a sin			x		(8)
							λ
На конце струны , в точке с координатой								x = l , где l -			длина струны ,
амплитуда так же должна равняться нулю.								Для этого должно выполняться
условие
	2π l = nπ							(n = 1,2,3...)
		λ	n

Из последнего выражения следует, что стоячие волны на струне могут существовать только на таких частотах ν n , для которых длина волны

λn =

2l

(n = 1,2,3...)

(9)

n

ν = u λ ,

где u -

Частота колебаний связана с длиной волны соотношением

фазовая скорость волны. Тогда, с учетом выражения (3),

частоты ν n могут

быть определены по формуле

n

ν =

F

2l

ρ

n

( n = 1,2,3...)

(10)

В теории колебаний эти частоты называют гармониками ( первая гармоника, вторая гармоника и т. д. ) В музыкальной акустике первую гармонику называют основным тоном. Гармоники более высоких порядков называют

обертонами. Частоты

ν n

называют

также

собственными

частотами

колебаний струны.

A

x

Зависимость амплитуды

колебаний

от координаты

для

различных номеров гармоник n может быть представлена выражением

An (x)=

æ

2π

ö

ç

÷

(11)

2an sinç

λn

x÷

è

ø

или с учетом соотношения (9) выражением

An (x)=

æ

x ö

2an sinçnπ

÷

(12)

l

è

ø

Из выражения (12) следует, что амплитуда равна нулю в тех точках струны,

для которых n xl принимает целочисленное или нулевое значение. Так для

первой гармоники таких точек две, с координатами x = 0 и x = l , т.е. на концах струны. Для второй гармоники таких точек три: на концах струны и в

4

точке x = 12 l , т.е. в средине струны. Для третьей гармоники- четыре точки:

	на концах струны и в точках с координатами x =	1	l	и x =	2	l .
		3			3

Точки, амплитуды колебаний в которых равны нулю, называют узлами стоячей волны. Расстояние между соседними узлами λСТ называют длиной

стоячей волны . Из выражения (11) следует, что минимальное расстояние между узлами равно половине длины бегущей волны. Следовательно,

λnСТ = 12 λn . На длине струны укладывается целое число полуволн бегущей

волны, и соответственно целое число длин волн стоячей волны, численно равное номеру гармоники n . Точки, в которых амплитуда достигает максимального значения, называются пучностями стоячей волны. Число пучностей, укладывающихся на длине струны также равно n .

	На рис. 2				показана зависимость смещения	точек струны y от
	координаты	x			на частоте второй гармоники для трех моментов времени:
	t1 = 0		T				T
	(кривая 1); t2	=			, где T - период колебаний ( кривая	2 ); t3 =		(кривая 3).
		8				4

Рис.2 Видно , что точки струны между соседними узлами движутся в одинаковой

фазе. Однако точки струны, расположенные по разные стороны узла на расстоянии , меньшем λ2 движутся в противофазе.

Рассмотрим теперь способы возбуждения стоячих волн на струнах. В

большинстве струнных музыкальных инструментов для этого используется либо удар по струне специальным молоточком (рояль, пианино), либо рывок (гитара и другие щипковые инструменты). Во всех этих случаях зависимость возбуждающей силы от времени не является гармонической, а имеет вид кратковременного импульса. Однако любой кратковременный импульс

5

можно представить как сумму бесконечно большого числа гармонических функций в бесконечно большом диапазоне частот. Те составляющие, частоты которых совпадают с частотами, определяемыми формулой (10), возбуждают стоячие волны. Одновременно возбуждаются как основной тон, так и все его обертоны. Самую большую интенсивность имеет звук основного тона . На обертоны приходится лишь незначительная доля энергии. Соотношение

между интенсивностями основного тона и каждого из обертонов определяет тембр звука. Это соотношение для разных инструментов разное. Поэтому разные инструменты, настроенные на одну и ту же частоту основного тона звучат по разному.

В настоящей работе струна возбуждается силой, изменяющейся по гармоническому закону. Для этого используется металлическая струна, к

концам которой подводится переменное электрическое напряжение от генератора звуковой частоты. Часть струны проходит через зазор между полюсами электромагнита, питаемого от источника постоянного тока. На эту часть струны действует сила Ампера в направлении, перпендикулярном длине струны и силовым линиям магнитного поля. Эта сила изменяется по гармоническому закону с частотой, задаваемой на генераторе. Колебания струны могут возбуждаться только в том случае, если частота электрических колебаний генератора совпадает с частотой какой либо одной из гармоник. Следовательно, рассмотренным способом можно возбудить любые гармоники, но только по отдельности. Для эффективного возбуждения колебаний струны магнит должен быть расположен так, чтобы между полюсами магнита находилась пучность стоячей волны.

В отличие от бегущей волны, в стоячей волне не происходит переноса энергии вдоль струны. Поэтому, в случае отсутствия потерь энергии , даже при кратковременном , импульсном возбуждении струна должна колебаться бесконечно долго. Однако реально всегда существуют потери энергии (например на излучение звука) и колебания являются затухающими. При возбуждении струны силой, изменяющейся по гармоническому закону (от генератора электрических колебаний), колебания являются вынужденными. В установившемся режиме они происходят с частотой вынуждающей силы, и амплитуда колебаний со временем не меняется. Потери энергии компенсируются энергией, поступающей от генератора.

Описание лабораторной установки

Схема лабораторной установки показана на рис.3.

6

Рис.3

Металлическая струна одним концом закреплена на стержне в точке а.

Второй конец струны перекинут через ролик Р и прикреплен к динамометру Д. Рабочим является участок струны от точки а до точки b.Натяжение струны может регулироваться специальным устройством Н, перемещающим стержень, к которому крепится струна. Через струну пропускается переменный ток от генератора Г, частота которого задается генератором и измеряется по шкале генератора. Электромагнит, питаемый постоянным током, может перемещаться вдоль струны. Длина струны l и линейная плотность ρ имеют постоянное значение и задаются в паспорте установки.

Перестраиваемыми и соответственно измеряемыми являются натяжение струны и частота колебаний.

Задание к работе

1.Экспериментально, используя шкалу генератора электрических колебаний, определить частоты первой, второй, третьей и четвертой гармоник при одном значении силы натяжения струны (по указанию преподавателя).

2.Теоретически, используя формулу (10), определить частоты тех же гармоник, при том же показании динамометра.

3.

Оценить

стандартное отклонение σν для расчетов по формуле (10).

Значения σ l ,σ ρ ,σ F даны в паспорте установки.

4.Построить график зависимости частоты ν n от номера гармоники n .На

график следует нанести точки, соответствующие измерениям по п.1 и точки, рассчитанные по п.2. Провести экспериментальную и теоретическую кривые с учетом σν . При этом надо иметь ввиду , что для экспериментальных

значений частоты σν - это стандартное отклонение при измерении частоты

по шкале генератора (дается в паспорте установки), а для теоретических значений σν определены в п.3. Сделать выводы о степени совпадения

полученных кривых.

5. Экспериментально определить частоту одной из гармоник (по указанию преподавателя) для ряда значений силы натяжения струны F .

7

6.Теоретически, используя формулу (10) определить частоту той же гармоники и для тех же значений силы F , что и в п.5

7.Построить график зависимости частоты ν от силы натяжения F , предварительно решив вопрос о том, какие величины целесообразно откладывать по осям. На график нанести точки, соответствующие измерениям по п. 5 и точки, рассчитанные по п. 6. Провести экспериментальную и теоретическую кривые с учетом σν . Сделать вывод о

степени совпадения полученных кривых.

8. По колебаниям первой гармоники для одного из значений силы F оценить скорость распространения упругих волн вдоль струны.

Контрольные вопросы

1.Какова цель данной работы?

2.Получите волновое уравнение для струны.

3.Какие волны являются решением волнового уравнения для струны, закрепленной на концах?

4.Что такое стоячая волна и чем она отличается от бегущей?

5.На каких частотах возможны колебания струны?

6.Почему струны различных музыкальных инструментов, настроенных на одну и ту же ноту звучат по разному?

7.Для чего в экспериментальной установке используется магнит?

8.Какие графики вы будете строить в данной работе? Нарисуйте их примерный вид.

Литература

1.Трофимова Т.И. Курс физики.-М.: Высшая школа, 1997.-§ 154, 157.

2.Детлаф А.А. Яворский Б.М. Курс физики.- М.: Высшая школа, 1999.-§ 29.2, 29.6.

3.Савельев И.В. Курс общей физики.- Кн.1.-М.: Наука, Физматлит, 1998.- § 1.4, 1.7, 1.8