ТОИ ЛЕКЦИЯ 1_2_Логика

Законы логики

nЗакон тождества: всякое высказывание тождественно самому себе A = A

nЗакон непротиворечия: высказывание не может быть одновременно истинным и ложным A & A = 0

nЗакон исключения третьего: высказывание может быть либо истинным, либо ложным третьего не дано

A Ú A = 1

Законы логики

nЗакон двойного отрицания: если дважды отрицать одно и то же высказывание, то в результате получится исходное высказывание

A = A

n Закон коммутативности:

A & B = B & A A Ú B = B Ú A

n Закон ассоциативности:

( A & B) & C = A & (B & C)

( A Ú B) Ú C = A Ú (B Ú C)

Законы логики

n Закон дистрибутивности:

A & (B Ú C) = ( A & B) Ú ( A & C)

A Ú (B & C) = ( A Ú B) & ( A Ú C)

n Законы де Моргана:

A Ú B = A & B A & B = A Ú B

n Законы склеивания:

( A Ú B) & ( A Ú B) = A

( A & B) Ú ( A & B) = A

n Законы поглощения:

A & ( A Ú B) = A

A Ú ( A & B) = A

Законы логики

n Операции с константами

A Ú 0 = A	A &1 = A
A Ú1 =1	A & 0 = 0

Пользуясь таблицами истинности операций, можно составить таблицы истинности и различных выражений.

При этом законы логики (так же, как и законы алгебры)

позволяют упрощать многие выкладки и рассуждения.

Решение задач

1. Установите, какие из следующих предложений являются логическими высказываниями:

а) “Солнце есть спутник Земли”;

б) “2+3ґ4”;

в) “сегодня отличная погода”; г) “в романе Л.Н. Толстого “Война и мир” 3 432 536 слов”;

д) “Санкт-Петербург расположен на Неве”; е) “музыка Баха слишком сложна”;

ж) “первая космическая скорость равна 7.8 км/сек”; з) “железо — металл”;

и) “если один угол в треугольнике прямой, то треугольник будет тупоугольным”;

к) “если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то он прямоугольный”.

Решение задач

2. Определите истинные высказывания:

а) “наличия аттестата о среднем образовании достаточно для поступления в институт”;

б) “наличие аттестата о среднем образовании необходимо для поступления в институт”;

в) “если целое число делится на 6, то оно делится на 3”;

г) “для того, чтобы четырёхугольник был квадратом, достаточно, чтобы его диагонали были равны и перпендикулярны”.

Решение задач

3. Даны высказывания

s=Число 3 является делителем числа 18, x=Иркутск – столица Франции.

Сформулировать на обычном языке высказывания:

A = ¬s B = x & s C=sÚx D = s Þ ¬ x M = xÛs

Определить их истинность.

nA = ¬s Число 3 не является делителем числа 18. (ложь)

nB = x & s Иркутск – столица Франции, а число 3 является делителем числа 18. (ложь).

nC=sÚx Число 3 является делителем числа 18, или Иркутск – столица Франции. (истина).

nD = s Þ ¬ x Если число 3 является делителем числа 18, то Иркутск – не столица Франции. (истина).

nM = xÛs Иркутск – столица Франции тогда и только тогда, когда число 3 является делителем числа 18. (ложь)

Решение задач

4. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил:

"Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский".

Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Имеется три утверждения:

1.Вадим изучает китайский;

2.Сергей не изучает китайский;

3.Михаил не изучает арабский.

Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.

Решение задач

5. В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе.

Известно, что:

nСмит самый высокий;

nиграющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте;

nиграющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу;

nкогда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их;

nБраун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.

На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами?

	скрипка	флейта	альт	кларнет	гобой	труба
Браун	0	0	1	1	0	0
Смит	0	1	0	0	1	0
Вессон	1	0	0	0	0	1

Решение задач

6. Пусть n=1, m=0. Определить истинность высказывания:

D = (N & M ) Þ (M Ú N )

Решение:

D = (0 & 0) Þ (1Ú1) =1 Þ 0 = 0