Уравнение плоской электромагнитной волны

При прохождении монохроматической электромагнитной волны частотой ω векторы E и H в данной фиксированной точке пространства испытывают синфазные и только синфазные гармонические колебания с этой же частотой Из условия синфазности следует, что в тех точках пространства, где E = 0 должно быть и H = 0, аналогично и по амплитудным значениям E₀ и H₀. Это значит, что векторная волна электрического поля E пространственно совпадает с векторной волной магнитного поля H, но только при этом векторы E и H колеблются во взаимно – перпендикулярных плоскостях, как это показано на рисунке ниже Если источником задается одно единственное направление x для излучения электромагнитной волны, то фронт волны будет плоским, а волна одномерной, как для вектора E, так и для вектора H. В этом случае волну можно представить двумя уравнениями, соответственно

9.

Оптическая разность хода. Вместо разности фаз интерферирующих волн удобно ввести в рассмотрение пропорциональную ей величину — оптическую разность хода, которая отличается множителем , где — длина световой волны. Изменению разности фаз на  соответствует изменение разности хода на . В вакууме оптическая разность хода в отличие от разности фаз имеет наглядную интерпретацию. Если две интерферирующие волны испускаются одним источником света, то разность хода — это геометрическая разность длин путей, по которым два интерферирующих луча от одной точки источника достигли одной точки экрана. Например, в оптической схеме опыта Юнга, изображенной на рис. 18, разность хода для точки P на экране находится по формуле:. В изотропной среде скорость света в  раз меньше, чем в вакууме, здесь — показатель преломления среды. Частота света в среде и в вакууме одинакова, поэтому длина волны в среде в  раз меньше. В соответствии с соотношением вместо реального уменьшения длины волны можно рассматривать неизменную и соответствующее увеличение длины пути луча. С этой целью вводится понятие оптической длины пути, которая в  раз больше геометрической длины. Далее, употребляя термин «разность хода», всегда будем иметь в виду оптическую разность хода. Заменяя разность фаз интерферирующих волн оптической разностью хода, получаем следующее выражение для интенсивности интерференционной картины: . Приемники света в оптическом диапазоне реагируют на интенсивность света, а не на напряженность электрического или магнитного полей. Поэтому измеряемые в опыте величины, ширина полос и видность, также могут быть выражены через интенсивность, а значит и через оптическую разность хода. Следовательно, понятие оптической разности хода позволяет свести оптическую задачу по интерференции к геометрической задаче отыскания разности хода. Отметим, что разность хода лучей можно отсчитывать не только как разность длин путей от источника до точки наблюдения, но и как разность длин путей от двух точек любой поверхности равной фазы волны до точки наблюдения. При этом, конечно, две точки на поверхности равной фазы — не произвольные точки, а должны быть точками, через которые реально проходят лучи, попадающие в точку наблюдения. Так на рис. 18 , поэтому две щели находятся на поверхности равной фазы, и, следовательно, разность хода можно найти по упрощенной формуле . Этот прием часто используется при решении задач.

. 10

Дифракция Фраунгофера. Дифракция рассматривает процессы отклонения направления распространения света от прямолинейного при встрече с некоторыми препятствиями или при отражении от них. В случае дифракции Фраунгофера рассматривается падение на препятствие плоской волны (бесконечно удаленный источник света) и подразумевается, что зона наблюдения удалена от препятствия на достаточно большое расстояние (находится на бесконечности). Коротко говоря, это “дифракция в параллельных лучах”. Как Вы увидите, основные задачи дифракции Фраунгофера мы, собственно, уже решили. Просто мы говорили о волнах вообще, а словом дифракция обычно обозначают именно оптические явления, поведение в том или ином случае световой (электромагнитной) волны.

9.1. Дифракция на щели. Ранее мы получили такое выражение для углового распределения амплитуды от системы точечных источников, от “цепочки” источников длиной b:.Ввиду особой важности да и сложности понимания этого результата получим его еще раз - другим способом.

X

b

0 

В связи с рассмотрением явлений дифракции формулируется принцип Гюйгенса-Френеля. Согласно этому принципу элементарный участок волнового фронта считается точечным источником вторичных волн, огибающая которого и является “новым” фронтом волны. В случае дифракции на щели в качестве таких источников выбираются узкие полоски (вдоль щели), которые являются источниками цилиндрических когерентных волн. Электромагнитные колебания в удаленной зоне наблюдения подсчитывается как сумма колебаний волн, пришедших от таких источников. На этот раз мы проведем их сложение с помощью векторной диаграммы. Амплитуда вторичной волны пропорциональна ширине элементарной полоски: , а начальная фаза колебаний зависит от координаты выбранной полоски: . Таким образом, разность фаз колебаний от соседних элементарных полосок шириной x составит . На такой угол будут повернуты по отношению друг к другу соответствующие векторы на фазовой диаграмме.

E_

R

 



E₀

При стремлении ширины полоски x к нулю образованная элементарными векторами ломаная превращается в дугу окружности радиуса R, угловой размер дуги

.

При изменении угла  угловые размеры дуги изменяется. Но длина дуги, равная сумме модулей (длин) элементарных векторов, считается постоянной:

.

Это позволяет нам определить радиус дуги и амплитуду суммарных колебаний (см. рисунок) при произвольном :

; .

Как видите, мы получили то же выражение, что и раньше. Но векторная диаграмма позволяет нам нагляднее представить причины обращения амплитуды суммарных колебаний в нуль и достижение максимумов.

При  дуга превращается в окружность, амплитуда суммарных колебаний равна нулю. Максимумы достигаются при  и, (приблизительно) при 2k.

1

2

E_ 3

E_ E₀

E_0

Эти ситуации показаны на рисунке. При =0 все элементарные векторы лежат на прямой, амплитуда суммарных колебаний максимальна и равна E₀. По мере увеличения угла наблюдения  и, соответственно, угла  амплитуда колебаний уменьшается и при  обращается в нуль. Затем дуга скручивается в спираль и максимум достигается приблизительно в тот момент, когда она представляет собой полторы окружности (2, ). При этом амплитуда колебаний равна примерно диаметру окружности: . Затем спираль становится “двойной окружностью”, амплитуда колебаний снова обращается в нуль (3) и т.д.