МАТ_АНАЛІЗ_1_курс_2_семестр_Інтэграл_1

k x d

dx

k x d

dx

ax

2

bx c

b

2

c

b

2

a

x

2a

a

2a

x

b

t, x t

b

,

k

t

d

k

dt,

где

2a

2a

a

t

2

q

2

dx dt,

c

b

2

b

2

c

c

b

2

0, q2

,

если

0.

a

a

a

2a

2a

2a

Остается вычислить интеграл:

	c		b		2
q2					, если
	a		2a

t

dt

1

1

d (t2 q2 )

1

ln(t2 q2 ) C,

и

один

из

следующих

t

2

q

2

2

t

2

2

2

q

интегралов:

1

dt

1

arctg

t

C,

1

dt

1

ln

t q

C.

t

2

q

2

q

t

2

q

2

2q

t q

q

c

b 2

Случай

0,

предлагаем

рассмотреть

самостоятельно (он

a

2a

сразу приводит к вычислению табличных интегралов).

Для того, чтобы получить окончательный результат, остается

подставить

в

полученные

выражения

t x

b

и

указанные выше

2a

значения q.

Пример 3. Найти интеграл

3x 1

dx.

x2

x 1

Решение.

Поскольку

2

2

1

1

2

1

2

1

2

3

x

x 1 x

2

x

1

x

,

2

2

2

2

4

то

3x 1

dx

3x 1

dx.

x2 x 1

1

2

3

x

2

4

Делаем подстановку

х

1

t , х t

1

, dх dt ,

2

2

тогда

3 t

1

1

d

t 2

3

3x 1

t

1

dt

3

1

dt

dx

2

dt

3

dt

4

x2 x 1

t 2

3

t 2

3

2

t 2

3

2

t 2

3

2

t 2

3

4

4

4

4

4

3

2

3

1

2t

C

3

ln x

2

x 1

1

2x 1

C.

ln t

arctg

arctg

2

4

3

3

2

3

3

2

2

4)

При

вычислении

k x d

dx ,

где

n 2,

следует

преобразовать

(ax2 bx c)n

подынтегральное выражение, выделяя квадрат и применяя подстановку

t x

b

, как и в интеграле 3):

2a

k x d

x

b

t, x t

b

,

k

t

d

k

где

(ax2 bx c)n dx

2a

dx dt,

2a

a (t2 q2 )n dt,

2

c

b

2

c

b

2

2

b

2

c

c

b

2

q

,

если

0, q

, если

0.

a

a

a

a

2a

2a

2a

2a

Интеграл

t

dt

сводится к табличному:

(t2 q2 )n

1

n

1

1

1 n

1

t2

q2

d (t2 q2 )

t2 q2

C

C.

2

2

1 n

2(1 n) t2 q2 n 1

Интеграл

1

dt

1

dt

может быть

вычислен с

помощью

(t2 q2 )n

(t2

p)n

формулы интегрирования по частям:

I

1

dt

1 p t2 t2

dt

1

1

dt

1

t2

dt.

n

(t2

p)n

p

(t2 p)n

p

(t2 p)n 1

p (t2 p)n

Заметим, что первый из интегралов имеет такой же вид, как и исходный, т.е.

1p In 1. Применим формулу интегрирования по частям ко второму интегралу:

u t, dv t (t 2 p) n dt

du dt, v t (t 2 p) n dt

t2

dt t t (t2 p) n dt

1

(t2 p) n d (t2 p)

(t2 p)n

2

1 (t2 p)1 n

C

1

2

1 n

2(1 n)(t 2

p)n1

t

1

1

dt

t

1

2(1 n)(t

2

p)

n1

2(1 n)

(t

2

p)

n1

2(1 n)(t

2

p)

n1

2(n 1)

Возвращаясь к началу, имеем:

(C 0)

In1.

1

1

t

1

In

dt

In 1

In 1

(t2

p)n

2(1 n)(t

2 p)n 1

2(n 1)

p

	1		t					2n 3
									In1 .
			2(n 1)(t	2	p)	n1		2(n 1)
	p

Т. е.	In	1		t					2n 3		(3.1)
										In1 .
				2(n 1)(t	2	p)	n1		2(n 1)
		p

Формулы, имеющие подобный вид называются реккурентными, наличие подобной формулы позволяет от более сложных вычислений перейти к более простым, затем, вновь применяя формулу – к еще более простым, и т.д. В нашем случае, применяя формулу (3.1) n-1 раз, мы придем к табличному интегралу.

х 1

Пример. Найти интеграл x2 2x 3 2 dx .

Решение. Учитывая,

что

х2

2x 3 х 1 2 2,

делаем подстановку

х 1 t ,

х t 1,

dx dt , тогда

х 1

dx

t 2

dt

t

dt 2

dt

x2 2x

3

2

t 2 2

2

t 2

2

2

t 2

2

2

1

t 2

2

2

d t 2

2

2

dt

1

2I2.

2

t 2 2 2

2 t 2 2

В силу рекуррентной формулы (3.1), при n = 2 имеем

I

dt

1

t

1

dt

1

t

1

arctg

t

C,

2

t

2 2 2 4 t2

2

4 t2 2

4 t2 2 4 2

2

поэтому

Q x

х 1

1

1

t

1

t

dx

arctg

C

x2

2x 3 2

2 t 2 2

2

t 2 2

2

2

2

x 2

x 1

2

arctg

C.

2 x2 2x 3

4

2

Любая

правильная

рациональная

дробь

P x

может быть

Q x

единственным образом представлена в виде суммы простейших рациональных дробей. Для этого, прежде всего, знаменатель записывают в виде произведения сомножителей, каждый из которых является

либо степенью

линейных функций

x a ,

либо

степенью

квадратичной

функции х2

px q ,

не имеющей

действительных корней.

После

этого

приступают

к

нахождению

простейших дробей,

составляющих в

сумме

P x

k

Q x

данную дробь

. Каждому

сомножителю x a

разложения

Q x

отвечает в разложении дроби

P x

выражение вида

Q x

A1

A2

...

Ak

,

x a

x a 2

x a k

а каждому сомножителю х2 px q l

– выражение вида

B1 x C1

B2 x C2

Bl x Cl

...

,

x2 px q

x2

px q 2

x2 px q l

где A1 , A2 , ..., B1 ,

C1 , ...

–

неизвестные

коэффициенты,

подлежащие

определению.

Для вычисления

коэффициентов A1 ,

A2 , ..., B1 ,

C1 , ..., Bl , Cl все

простейшие дроби в правой части равенства

P x

A1

A2

Ak

...

...

Q x

x a

x a 2

x a k

(3.2)

B1 x C1

B2 x C2

Bl x Cl

...

x2 px q

x2 px q 2

x2

px q l

приводят к общему знаменателю Q x и приравнивают числители обеих частей равенства (2). Затем сравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х (первый способ).

Можно также определять эти коэффициенты, полагая в равенстве (2), или ему эквивалентном, х равным подходяще подобранным числам (второй способ).

Для нахождения интеграла от рациональной дроби	P x		следует,
	Q x

прежде всего, выделить из нее целую часть (если дробь неправильная), т. е. представить ее в виде

P x

M x

R x

,

Q x

Q x

где M x

– многочлен,

R x

– правильная рациональная дробь. После этого

Q x

полученную дробь

R x

следует

разложить на

простейшие

дроби

и

Q x

проинтегрировать в отдельности каждое слагаемое.

Пример. Найти интеграл I

xdx

.

2

x 1 x 1

Решение. Имеем:

x

A

B

C

.

x 1 x 1 2

x 1

x 1

x 1 2

Отсюда

x A x 1 2

B x 1 x 1 C x 1 .

(3)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим:

0 А B , 1 2А C , 0 А B C .

Отсюда

А

1

, B

1

, C

1

.

4

4

2

Коэффициенты А, В, С можно найти и вторым способом.

Полагая х 1

в тождестве

(3),

будем

иметь:

1 А 4, т.

е.

А

1

.

4

Полагая

х 1,

получим:

С

1

.

Далее, полагая

х 0 ,

будем

иметь:

2

0 А В С , т. е. В А С

1

.

4

Следовательно,

I

1

dx

1

dx

1

dx

1

ln

x 1

1

ln

x 1

1

C.

2

2 x 1

4 x 1

4 x 1 2

x 1

4

4

dx

Пример. Найти интеграл x2 1 x2 4 .

Решение. Здесь под знаком интеграла стоит правильная рациональная дробь. Разложение данной дроби имеет вид

1	Ax B		Dx E
x2 1 x2 4				,
	x2 1		x2 4

отсюда

1 Ax B x2 4 Dx E x2 1 .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим:

А 0 , B 13 , D 0 , E 13 .

Таким образом,

	dx			1			dx			1			dx			1		1		x
																	arctgx		arctg		C.
	x2 1 x2	4		3			x2 1			3			x2	4		3		6		2

Лекция 4

Интегрирование тригонометрических выражений

1. Общее определение рациональной функции
Многочленом относительно	u , v	называется сумма конечного числа
слагаемых вида С um vn , где	С	─ действительные	числа, m, n ─
m n	m n
натуральные числа. Например, выражение 5+ 6u 3v uv 7u5			11v7 является
многочленом относительно u , v .

Определение 4.1 Частное двух многочленов относительно u , v называется рациональной функцией относительно u , v . Рациональную функцию относительно u , v будем обозначать R u, v .

Из данного определения следует, что рациональная функция R u, v

относительно u , v образована путем применения конечного числа арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление, умножение на действительные числа) к u , v . Применяя конечное число указанных операций к u , v, w , получим рациональную функцию R u,v, w

относительно u , v, w и т.д. Приведем примеры.

Выражение	sin3 x 2cos x			является рациональной функцией относительно
	4sin x 3cos x	5
u sin x , v cos x , т.е.				sin3 x 2cos x	= R sin x,cos x , а выражение
				4sin x 3cos x 5

57

6

x 1

sin x

x

x 1

есть

рациональная

функция

от

x 1

6sin x x 4 sin 3 x

x 1

x 1

u х, v 7

x , w

, r sin x ,

так как ее можно записать в виде

x 1

5v 6w r

= R u, v, w, r .

Простейшие

тригонометрические

функции

w 6r u4r 3

ctgx

cos x

,sec x

1

,

tgx

sin x

, cos ecx

1

являются

sin x

cos x

cos x

sin x

рациональными функциями

от sinx,

cos x . Отсюда

уже следует,

что

каждую рациональную функцию от любых тригонометрических функций можно преобразовать в рациональную функцию R (sin x, cos x ),

зависящую только от синуса и косинуса. Переходим к рассмотрению способов интегрирования тригонометрических выражений.

2.Универсальная тригонометрическая подстановка

t tg

x

(4.1)

2

рационализирует интегралы вида

R(sin x, cos x)dx

(4.2)

2sin

x

cos

x

Имеем:

sin x

sin x

| делим числитель и знаменатель

2

2

1

2

x

2

x

cos

sin

2

2

2 x

2tg

x

2t

2t

cos

2

sin x

дроби на

| =

1 t

2

. Значит,

1

t

2 . Аналогично:

2

tg

2

x

1

2

2 x

2 x

2 x

2

2

sin

1 tg

cosx

cosx

cos

2

2

2

1 t

,

т.е. cos x =

1 t

. Так как

2

2

2 x

1

2

x

2

x

1

tg

1 t

1 t

cos

sin

2

2

2

			2dt
	x=2arctgt, то dx 2arctg t	dt		.
			1 t 2

Записываем интеграл

R(sin x, cos x)dx

через переменную

t

:

R(sin x,cos x)dx

R(

2t

,

1 t 2

)

2

dt

R 1(t)dt, Здесь функция

R 1 (t)

t 2

1 t 2

1 t 2

1

= = R(

2t

,

1 t 2

)

2

является, очевидно, рациональной дробью. Таким

t 2

1 t 2

1

1 t 2

образом, мы свели вычисление исходного интеграла к нахождению интеграла R 1(t)dt .

Подставляя в полученный результат t tg 2x , получим значение исходного

интеграла, и это можно сделать для любой функции R(sinx, cosx), поэтому

x

подстановка t = tg 2 называется универсальной.

Пример. Найти интеграл sindxx .

Решение. Применяем универсальную подстановку (4.1). В результате

приходим

к

простейшему

табличному

интегралу

2

dt

dx

1

x

1 t 2

dt ln

t

C ln

tg

C .

sin x

2t

t

2

1 t 2

Найти интеграл

cos x

Пример.

dx .

1 cos x

1 t 2

2

dt

cos x

1 t 2

1 t 2

2

1 t 2

Решение.

dx =

1 dt

dt

=

1

cos x

1 t

2

1 t

2

1 t

2

1

1 t 2

dt

x

x

C = x tg

x

C ,

2

dt = 2arctg t t C 2arctg tg

tg

2

2

2

2

1 t

так как arctg tgx x . Этот интеграл можно найти непосредственно,

предварительно упростив подынтегральную функцию с помощью формулы

x

2cos

2

х

1

cos x 2cos

2

1

cos x

1

:

2

dx

dx 1

dx =

2

2 х

1

cos x

2

х

2cos

2cos

2

2

dx

1

dx

= x tg

x

C .

2

х

2cos

2

2

Отметим,

что универсальная тригонометрическая подстановка часто

приводит к довольно громоздким выкладкам. В некоторых частных случаях вычисление интегралов вида R(sin x, cos x)dx может быть упрощено с

помощью некоторых подстановок, отличных от универсальной.. Например, если функция R(sinx, cosx) является нечетной относительно синуса, т.е. R(─sinx,cosx) = ─R(sinx,cosx), то подстановка t сosx рационализирует интеграл от нее. Если выполняется условие R(sinx, ─cosx) = ─R(sinx, cosx), т.е. функция R(sinx, cosx) является нечетной относительно косинуса, то применяют подстановку t sin x ,.если же функция R(sinx, cosx) четна и по синусу, и по косинусу, т.е. R(─sinx,─cosx) = R(sinx,cosx), то применяют

подстановку t tgx и формулы cos2 x		1			,sin2 x		tg2 x			.
		tg	2	x			tg	2	x
1					1
Пример. Найти интеграл cos 2 x sin3 xdx.
Решение. В нашем случае R(sinx,cosx)		= cos 2 x sin3 x ,					R(─sinx,cosx) = =
cos 2 x sin x 3 cos 2 x sin3 x =─R(sinx,cosx),					поэтому					применяем

подстановку t сosx :

cos 2 x sin3 xdx cos 2 x 1 cos 2 x d cos x t 2 1 t 2 dt

t2dt t4dt

t3

t5

C

1

cos3 x

1

cos5

x C .

3

3

5

5

Пример. Найти интеграл cos3

x sin2

xdx.

Решение. Здесь функция R(sinx, cosx)

= cos3

x sin2 x нечетна по косинусу,

поэтому применяем подстановку t sin x :

cos3 x sin2 xdx sin2 x 1 sin 2 x d sin x t 2 1 t 2 dt

= t 2 dt t 4 dt

t 3

t 5

C

1

sin3

x

1

sin5 x C .

3

3

5

5

dx

Пример. Найти интеграл cos2 x sin2 х .

Решение. В нашем случае подынтегральная функция четна и по синусу и по косинусу, поэтому применяем подстановку t tgx :

1

d tgx

dx

dt

1

t 1

cos

2

x

dx

C

ln

cos

2

x sin

2

х

sin

2

1 tg

2

x

1

t

2

2

t 1

1

х

cos2

x

1 ln tgx 1 C

2 tgx 1

Этот интеграл можно также найти, если преобразовать подынтегральную

функцию

с

помощью

формулы

косинуса

двойного

угла

cos 2 x cos2 x sin2 x .

3. Интегрирование произведений синусов и косинусов различных аргументов .

	Интегралы вида
	s in ax s in bxdx, s in ax cos bxdx, cos ax cos bxdx							(4.3)
	сводятся к более простым с помощью следующих формул:
	s in ax s in bx			1			cos a b x cos a b x	(4.4)
		2
	cos ax cos bx	1				cos a b x cos a b x		(4.5)
		2
	s in ax cos bx		1				sin a b x sin a b x	(4.6)
		2

Пример. Найти интеграл sin 2x cos 6xdx .