МАТ_АНАЛІЗ_1_курс_2_семестр_Інтэграл_1

Решение. Имеем интеграл типа (4.3). Применяем формулу (4.5):

s in 2x cos 6x 12 sin 2х 6х sin 2х 6х = 12 sin 8x sin 4x .

Значит,

sin 2x cos 6xdx = 12 sin 8xdx 12 sin 4xdx

18 cos4x 161 cos8x C.

Пример. Найти интеграл sin 2x sin 6xdx

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию с помощью формулы

(4.4):

s in 2x sin 6x 12 cos 2х 6х cos 2х 6х = 12 cos 4x cos 8x .

Значит,

sin 2x sin 6xdx = 12 cos 4xdx 12 cos 8xdx 18 sin4x

161 sin8x C.

4.Интегрирование произведений целых степеней синусов и косинусов

1) Интегралы вида
sinm x cosn xdx	(4.7)

где m или n является нечетным положительным числом, вычисляются с помощью подстановки t sin x , если n- нечетное число, и с помощью подстановки t cos x , если m- нечетное число.

Пример. Найти интеграл sin3 x cos xdx .

Решение. Применим подстановку t sin x , так как n=1-нечетное число:

sin3 x cos xdx = sin3

xd sin x t 3dt

t 4

C

1

sin4

x C.

4

4

Так

как m=3-нечетное

число, то можно применить также подстановку

t cos x .

В

этом

случае

интеграл

запишется

в

виде:

sin3 x cos xdx t cos x, dt sin xdx

=─ sin2

x cos xd cos x =

1 cos2 x cos xd cos x =-- 1 t 2 tdt =

= t t 3 dt

1

t 2

1

t4 C

1

cos4 x

1

cos2 x C.

Убедитесь в

2

4

4

2

том, что ответы совпадают.

2)

Интегралы

вида

sinm x cosn xdx ,

где

m,

n-

целые

четные

неотрицательное числа, вычисляются с помощью формул понижения

степени											sin2 x		1 cos 2x							, cos2 x							1 cos 2x						.
														2																	2
Пример. Найти интеграл sin2 x cos2 xdx .
Решение. sin2 x cos2														xdx =						1 cos 2 x											1 cos 2 x
																																		dx =
																									2						2
			1				1		cos2 2x dx								1	dx						1		cos2		2xdx =
																	4
		4				4														4
1		х				1					1 cos 4x	dx			1		х				1		dx					1		cos 4xdx
4						4				2					4					8								8
	1	х				1				sin 4x C.
8						32

Лекция 5

Интегрирование простейших иррациональных функций. Подстановки Эйлера. Интегрирование простейших трансцендентных функций.

Интегралы вида

			ax b
	R x, n				dx ,	(5.1)
			cx d

где n 2, 3, , вычисляются с помощью подстановки

t n

ax b

(5.2)

cx d

Из

tn

ax b

ctn x dtn

ax b x

b dtn

(5.2) получаем

.

Отсюда

d

ctn

cx

a

n

(b dt

n

n

a) (b dt

n

)(ct

n

a)

дифференциал dx

b dt

dt

) (ct

dt

ctn a

(ctn a)2

dntn 1 (ctn a) (b dtn )cntn 1

dt

ad bc

nt n 1dt .

Значит,

(ct n a)2

(ctn a)2

ax b

dt

n

ad bc

R x, n

dx

R

b

,t

nt n 1dt

R2 (t)dt .

cx d

(ctn a)2

ctn a

Здесь R2(t) есть рациональная дробь.

Пример. 5.1. Найти интеграл

1 x

dx

.

1 x

1

x

Решение.

Применим

подстановку:

t

1 x

.

Возводим

в квадрат

1 x

предыдущее

равенство

и получаем t 2

1 x

t 2 xt2

1 x x

1 t 2

.

1 x

1

t 2

Находим дифференциал

1

t

2

(1 t

2

t

2

)

(1 t

2

)(1 t

2

)

2t(1 t

2

)

(1 t

2

)2t

4t

) (1

dx

dt

dt

(1 t

dt

1 t2

dt .

1

t

2

(1 t

2

)

2

2

)

2

2

Записываем исходный интеграл через переменную t:

(1 t2 ) 1

1 x dx

t

1

4t

= 2

t2

d 2

dt

dt

1 x 1 x

1 t

2

1 t2

2

1

t

2

1 t

2

1

1 t2

1

dt

1 x

1 x

2 1

dt = 2 dt

2

2t 2arctgt c |

t

2

t

2

1 t

2

1 x

1 x

1

2arctg

1 x

c .

1 x

Проверьте результат дифференцированием.

	ax b			p	ax b
				q
Интегралы вида R x					, ,				dx ,	(5.3)
	cx d				cx d

где p, q, , - целые числа, рационализируются с помощью подставки

t n

ax b

,

(5.4)

cx d

где n= н.о.к. q,..., .

Пример. Найти интеграл

3

x 1

dx

.

x 1 x 1

1

x 1 1

x 1

ax b

x 1

3

p

1

Решение. Здесь

3

R x,

,

,

. Применим

x 1 x 1

cx d

x 1

x 1 q 3

подстановку

t 3

x 1

. Из подстановки получаем

x 1

u v uv

(t 3

1) (t 3 1) (t 3 1) (t 3 1)

dt

6t 2

dt .

v 2

(t 3 1)2

(t 3 1)2

t3 1

t3 1

u

x

; dx

dt

t

3

1

3

1

t

v

Следовательно, исходный

интеграл равен t

1

6t2

dt 3

dt

t3

1

(t3 1)2

t3 1

1

t3

1

t N

;1 (t2 t 1) ( t )(t 1) 0 t2 0 t 1

1

t3 1

t 1

t2 t 1

0,

1

1 2

0,

1

1

2

t

dt

dt

,

,

= 3

3

3

3

2

3

3

3

1

t

1

t 1

t

t

1.

t2 t 1

t 2

ln

2t 1

C

, где t

x 1

dt

3 arctg

.

t2

t 1

t 1

x 1

3

Пример. Найти интеграл

dx

.

3

x

x

ax b

Решение. Данный интеграл имеет вид (5.1). Здесь

x(a d 1,b c 0),

cx d

1

1

1

p

1

1

Здесь

,

, n н.о.к.(2,3)=6.

R(x2 , x3 ).

Применим

подстановку:

x

3 x

q

2

3

6t5dt

t3dt

(t3

1) 1

t 6 x , x t6

, dx 6t

5

dt. Следовательно,

6

6

dt

t3 t2

t 1

t 1

6

t 3 1

dt 6

dt

6

(t 1)(t 2 t 1)

dt 6

dt

6 (t 2 t 1)dt 6 ln

t 1

C

t 1

t

1

t 1

t

1

2t 3 3t 2 6t 6 ln

C t 6

2

33

t 1

x

x

x 66

x 6 ln( 6

x 1) C . Проверьте

результат дифференцированием.

Интегралы вида R x,

dx

ax2 bx c

(5.5)

При a=0 этот интеграл относится к рассмотренным выше интегралам вида

(5.1). Подстановка t		bx c приводит в этом случае к интегрированию
рациональной дроби.	Если же a 0, b 2 4ac 0, то многочлен ax 2 bx c

имеет два равных корня, и подынтегральная функция сама является рациональной дробью. Во всех остальных случаях эти интегралы рационализируются (т. е. сводятся к интегралам от рациональной функции) с помощью подстановок Эйлера.

1. Первая подстановка Эйлера

Если a>0, то полагают

t

ax

ax2 bx c

(5.6)

Запись

означает, что

можно

выбирать

любой

из знаков

перед

выражением

a x . Из формулы (13.8)

находим

х,

возводя левую и

правую

части

равенства

в квадрат:

t 2 2

a ax 2 ax 2 bx c

x

t 2

r(t)

- рациональная дробь,

dx= r’(t)dt. Выполняя указанную

b

at

R x,

dx =

выше

подстановку,

получим

ax2 bx c

R(r(t), t

где

R 1 (t )

-

рациональная

дробь

ar(t))r (t)dt = R1 (t)dt

(почему?). Вычисляя последний интеграл и подставляя в полученное выражение t из (13.8), найдем данный интеграл

Пример. Доказать, что

dx

ln

x

x 2 a 2

C, a 0.

x 2 a 2

Применим

первую

подстановку

Эйлера:

t x

x 2 a 2 . Тогда

(t x) 2

2

x

t 2 a 2

,

x 2 a 2

t 2 2tx x 2 x 2 a 2.

Находим

2t

2

a

2

/

2

2

a

2

dx

t

dt (

1

(t) /

a

(t 1) / )dt

t

dt. Заменяем x на t под знаком

2t 2

2t

2

2

t x t

t 2 a 2

t 2 a 2

:

dx

интеграла,

учитывая,

что

x 2 a 2

2t

2t

x 2 a 2

1

t 2 a 2

dt

dt

ln

t

C

t x x 2 a 2

t

2

a

2

2t

2

t

t

2t

ln

x x 2 a 2

C, a 0.

x

a 2

Пример.

dx

x 2 a 2

x 2 a 2

ln

x

x 2 a 2

C, a 0. Доказать.

2

2

Данный интеграл можно найти аналогично предыдущему интегралу. Однако, он вычисляется гораздо проще, если воспользоваться методом интегрирования по частям и предыдущим интегралом:

x

x2 a2 dx [u

x2 a2

, du

dx; dv dx, v x] x

x2 a2

x

2

a

2

x2 dx

. Далее:

x2 a 2

x2 dx

(x2 a 2 ) a 2 dx

(x2 a 2 )dx

a 2

dx

x2 a 2 dx

x

2

a

2

x

2

a

2

x

2

a

2

x

2

a

2

a 2 ln

x x2 a 2

a 2 C.

Таким образом,

x2 a2 dx x

x2 a2

x2 a2 dx a2 ln

x

x2 a2

a2 C.

2

Отсюда:

x2 a2 dx x

x2 a2

a2 ln

x

x2 a2

a2 C. Разделив обе части

последнего равенства на 2 и переобозначив a 2 C через С, получим

2

значение интеграла .

Применяя этот интеграл, получим, что

x 2 6x 5dx ( x 3)2 4dx ( x 3) 2 2 2 d( x 3) x 3 t

dt

t

t 2 2

2

t 2 2 2 2ln

t t 2

2 2

C

1

2

( x 3) x 2 6 x 5 2ln

x 3

x 2 6 x 5

C .

2

Пример.

Найти интеграл 9x 2 12x 3dx.

Решение. Упростим этот интеграл, выделяя полный квадрат в подкоренном выражении: 9x2 12x 3 (3x 2)2 4 3 (3x 2)2 1. Имеем: 9x2 12x 3dx

(3x 2)2 1dx. Пусть t=3x 2, тогда dt=3dx. Интеграл примет вид

1

1

Этот

интеграл

t2 1

9x 2 12x 3

dx

t 2 1dt.

t 2 1dt

2

3

1

ln

t

t2 1

c .

Подставляем 3x-2

вместо t

и

получаем

значение

2

исходного интеграла

9x2 12x 3dx 12 (3x 2)9x2 12x 3 12 ln 3x 29x2 12x 3 c.

Вторая подстановка Эйлера

Если с>0, то полагают

c tx ax2 bx c (5.7)

	b 2
Из этой формулы находим x		ct		r(t) рациональная функция от t,
	t 2 a

dx r / (t) dt . После применения указанной подстановки исходный интеграл

	будет иметь вид:
	I R(x,		)dx R(r(t),							tr(t)) r / (t) dt R1 (t) dt, где R 1 (t )
		ax2 bx c
									c
	– рациональная дробь.
	Пример. Найти интеграл					dx		.
					x2	x 1

Решение. В нашем случае c=1>0. Применяем вторую подстановку Эйлера:

1 2t

1 tx

x2 x 1 (или

1 tx

x2 x 1). Отсюда x

,

1 t 2

dx 2

t 2

t 1

dt. Следовательно,

(1

t

2 )2

dx

2

1

t 2 t 1

2

dt

применяем

dt

1 2t

(1 t 2 )2

1 t

2

x 2 x 1

1 t

1 t 2

табличный интеграл =

2

1

ln

t 1

C ln

1 x x 2

x 1

C.

t 1

2

1 x x 2

x 1

Третья подстановка Эйлера.

Если уравнение ax2 bx c 0 имеет действительные корни

и ,

т.е. ax2 bx c a(x )(x ), то подстановка

t(x )

ax2 bx c

(5.8)

рационализирует исходный интеграл.

В самом деле: t 2 (x )2 ax2 bx c a(x )(x ), x t 2 a r(t) -

t 2 a

рациональная дробь, dx r/ (t) dt,

r/ (t) – рациональная дробь.

Следовательно, I R[r(t), t(r(t) )]r / (t) dt R1 (t) dt, где R 1 (t ) –

рациональная дробь

Пример. Найти интеграл

dx

.

(x 1)

x2 3x 2

Решение. Применим третью подстановку Эйлера, так как x2 3x 2

2 t

2

(x 1)(x 2); ( 1, 2);

(x 1)(x 2)

t(x

1). Отсюда: x

,

1

t

2

2 t

2

t

2t

x2 3x 2 t

1

, dx

dt.

Тогда

искомый

интеграл

t 2

t 2 )2

1 t 2

1

(1

1 t 2

равен (1 t

2

)

2t

dt 2 dt 2t C 2

x 2

C.

t (1 t

2

)

2

x 1

Тригонометрические подстановки.

Интегралы

R x,

dx,

a2 x2

( 5.9)

R x,

dx,

x2 a2

(5.10)

R x,

dx.

x2 a2

(5.11)

могут быть вычислены с помощью следующих подстановок:

Интеграл ( 5.9) с помощью подстановки

x acost (или x a sint )

(5.12)

сводится к интегрированию рациональной функции от s int и cost .

Пусть x acost , тогда

a2 x2

a2 a2cos2t a2 sin2t as int,

dx (acost) dt

1

as int dt. Значит,

R x,

a 2

x 2 dx

dt .

R

acost, as int

as int dt

R

s int,cost

Здесь R1(t) есть рациональная дробь. Заметим, что в этом случае такая

подстановка возможна, так как a2 x2 0 a x a .

К интегралу (5.10) применим подстановку

x

a

(или x

a

)

(5.13)

cost

s int

a

a

2

2 1 cos

2

t

s int

a

1

Пусть x

. Тогда

2

a

a

a

, dx

dt a(cos

t) dt

cost

2

2

t

cost

cos

t

cos

cost

s int

a

s int

s int

a( 1)cos2t ( sin t)dt a

dt , R x,

x2 a2 dx R

, a

a

dt

2

t

cost

2

cos

cost

cost

R1 s int cost dt .

Здесь R1(t)

рациональная дробь. Заметим, что в этом

случае x2 a2 0

,

т.е. x a

и х а,

что также оправдывает сделанную

подстановку.

К интегралу (5.11) применим подстановку

x atgt

(5.14

Имеем

a

dt

. Значит, R x,

dx

x2 a2

a2 a2tg 2t

, dx a

a 2

x 2

2

cost

cos

t

a

a

R atgt,

dx R1 s int,cost dt . Здесь x .

2

cost cos

t

Пример. Найти интеграл 1 x 2 dx

Решение. Применим подстановку x cost :

1 x2 dx 1 cos2td (cost) sint cost dt sin2t dt

		1 cos2t			1 cos2t		1	dt	1	cos2t dt	1
	sin2t					dt						arccosx
		2		2			2		2		2

14 2sin arcSinx cos arcsinx

sin arcsinx x,cos arcsinx 1 sin2 arcsinx 1 x2

12 arccosx 12 x1 x2 C.

Проверьте результат дифференцированием.

Интегрирование биномиальных дифференциалов

Выражение	вида xm (a bxn )p dx	называется биномиальным
дифференциалом.
Рассмотрим интегралы вида:
xm a bxn p dx ,		(5.15)
где m, n, p	- рациональные числа,	a 0, b 0. Русским математиком

Чебышевым было показано, что интегралы вида (5.15) вычисляются в элементарных функциях тогда и только тогда, когда одно из трех чисел

p,	m 1	,	m 1	p является целым. Для нахождения	интегралов в этих
	n		n
случаях применяются следующие подстановки:
	1) если p - целое число, то применяют подстановку
				x t	(5.16),

где - наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;

2)	если	m 1		- целое число, то применяют подстановку
		n
				а+bxn=tn	(5.17)
где - знаменатель дроби p;
3)	если	m 1		p - целое число, то применяют подстановку
		n
				ах n b t	(5.18),

где - знаменатель дроби p.

Рассмотрим первый случай. В этом случае dx t 1dt, xm (a bxn )p dx

t m (a bt n )p t 1dt R(t) dt, где R(t) - рациональная дробь, так как

m, n, p, 1 -целые числа. Аналогично рассматриваются оставшиеся

случаи

Пример. Найти интеграл x 1 3x dx .

																							1					1						1				1
								Имеем x 1 3 x dx = 2
Решение.																									1		x3			dx .		Здесь m				, n				, p 1 ,			6 .
																																		2				3
Имеем случай 1). Применяем подстановку x t : x t6																																	. Значит, dx 6t5dt ,
																																										1 3		dx =
	x t6 t3 , 3 x 3 t6 t 2 .														Исходный												интеграл					примет		вид							x		x
t3 1 t 2 6t5dt 6 t8dt 6 t10dt
			1					1	t11 C t 6							=			2						6
=6				t9 6																							x 6 x5 C .
															x					x x
9							11								3										11

Пример. Найти интеграл х2 3х 1dx