ChM_teory2

f (x)

.

(1)

y

ɉɪɢ y

0 ɦɚɽɦɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ f (x)

0. ɇɟɯɚɣ x ɤɨɪɿɧɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ (1).

ɚ)

Ɉɛɟɪɧɟɧɟ ɿɧɬɟɪɩɨɥɸɜɚɧɧɹ. əɤɳɨ ɜɿɞɨɦɚ ɨɛɟɪɧɟɧɚ ɮɭɧɤɰɿɹ x

x(y),

ɬɨ

x(

). ɇɟɯɚɣ ɮɭɧɤɰɿɹ

f (x) ɡɚɞɚɧɚ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ yi

f (xi ),

xi

[a,b].

x

y

ɉɨɛɭɞɭɽɦɨ ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɣɧɢɣ ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧ Ln (y) ɩɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ ^yi , xi `, i

0,n,

ɞɟ yi ɜɜɚɠɚɸɬɶɫɹ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ

ɚɪɝɭɦɟɧɬɭ,

ɚ

xi

- ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ

ɨɛɟɪɧɟɧɨʀ

ɮɭɧɤɰɿʀ. Ɍɨɞɿ ɧɚɛɥɢɠɟɧɧɹ ɞɨ ɤɨɪɟɧɹ ɽ x*

L (

) .

y

Ɉɰɿɧɢɦɨ ɩɨɯɢɛɤɭ:

n

d

*

Mn 1

x

x

x(y)

Ln (y)

(n 1)!

|Zn (y) |,

(2)

ɞɟ Mn 1

max

n 1

,

n

y

y

y0 ... y

yn .

d n 1 x(y)

ymin

y ymax

dy

ɇɟɞɨɥɿɤɨɦ ɦɟɬɨɞɭ ɽ ɫɤɥɚɞɧɿɫɬɶ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɩɨɯɿɞɧɢɯ ɫɬɚɪɲɢɯ ɩɨɪɹɞɤɿɜ

ɨɛɟɪɧɟɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ.

ɛ) ɉɪɹɦɟ ɿɧɬɟɪɩɨɥɸɜɚɧɧɹ.

ɇɟɯɚɣ ɡɧɨɜɭ ɜɿɞɨɦɿ yi

f (xi ),

xi

[a,b].

Ɍɨɞɿ ɡɚɦɿɫɬɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ (1) ɪɨɡɜ‘ɹɡɭɽɦɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ

L (x*)

y,

^xi ,

yi`, i

n

ɞɟ

Ln (x)

ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɣɧɢɣ

ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧ

ɩɨ

ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ

0,n.

ɇɟɞɨɥɿɤɚɦɢ ɦɟɬɨɞɭ ɽ ɧɟɨɛɯɿɞɧɿɫɬɶ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɧɧɹ ɚɥɝɟɛɪɚʀɱɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ n-ɝɨ ɫɬɟɩɟɧɹ ɬɚ ɧɟɨɛɯɿɞɧɿɫɬɶ ɜɢɛɢɪɚɬɢ ɲɭɤɚɧɢɣ ɪɨɡɜ’ɹɡɨɤ ɫɟɪɟɞ n ɤɨɪɟɧɿɜ ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧɚ ɫɬɟɩɟɧɹ n. ɥɟ ɩɨɡɢɬɢɜɧɢɦ ɽ ɬɟ, ɳɨ ɮɭɧɤɰɿɹ ɽ ɜɫɟ ɬɚɤɢ ɚɥɝɟɛɪɚʀɱɧɨɸ (ɚ ɫɚɦɟ ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧɨɦ).

Ɉɰɿɧɢɦɨ ɩɨɯɢɛɤɭ ɬɚɤɨɝɨ ɫɩɨɫɨɛɭ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɤɨɪɟɧɹ. Ɇɚɽɦɨ

f (x*)

Ln (x)

f (n 1) ([)

Zn (x).

(n 1)!

) |d

Mn 1

|Zn (x) |. Ɍɭɬ

Ⱦɚɥɿ

f (x*)

y f (x*)

ɡɜɿɞɤɢ

f (x*)

f (

x

f (x),

|

(n 1)!

f (n 1) (x)

ɬɟɩɟɪ

Mn 1

max

.

Ɂɚ

ɬɟɨɪɟɦɨɸ

Ʌɚɝɪɚɧɠɚ

x [a,b]

f (x* ) f (

) f '(K)(x*

) . ɉɪɢɩɭɫɬɢɦɨ, ɳɨ

f '(x) 0 . ɐɟ ɨɡɧɚɱɚɽ, ɳɨ ɧɚ

x

x

ɩɪɨɦɿɠɤɭ [a,b] ɮɭɧɤɰɿɹ

f (x) ɦɨɧɨɬɨɧɧɚ. Ɂɜɿɞɫɢ

|Zn (x) |

d

| f (x*)

d

Mn 1

*

f (x) |

x

x

(n 1)!

.

min

f '(x)

min

f '(x)

x [a,b]

x [a,b]

30. Ɇɟɬɨɞ ɿɧɬɟɪɩɨɥɸɜɚɧɧɹ ɩɨɛɭɞɨɜɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧɚ.

Ɉɞɧɢɦ ɡ ɧɚɣɩɪɨɫɬɿɲɢɯ ɦɟɬɨɞɿɜ ɩɨɛɭɞɨɜɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɧɨɝɨ

ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧɚ ɽ ɧɚɫɬɭɩɧɢɣ. ȼɿɞɨɦɨ, ɳɨ ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧ

n-ɝɨ ɫɬɟɩɟɧɹ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨ

ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ

ɫɜɨʀɦɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ ɜ

n

1-ɣ

ɬɨɱɰɿ. Ɍɨɦɭ ɞɥɹ ɩɨɛɭɞɨɜɢ

Pn ( )

det(A

E)

ɜɢɛɟɪɟɦɨ ɧɚ ɩɪɨɦɿɠɤɭ ɞɟ ɡɧɚɯɨɞɹɬɶɫɹ ɜɥɚɫɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ

51

(ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ,

k , ɞɟ k 1 ɚɛɨ k

) ɞɟɹɤɿ ɬɨɱɤɢ i , i

. Ɂɚ

A

k ,

A

0,n

ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɦɟɬɨɞɭ Ƚɚɭɫɫɚ ɞɥɹ ɧɟɫɢɦɟɬɪɢɱɧɢɯ ɦɚɬɪɢɰɶ ɚɛɨ ɦɟɬɨɞɭ

ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɯ	ɤɨɪɟɧɿɜ	ɞɥɹ	ɫɢɦɟɬɪɢɱɧɢɯ	ɦɚɬɪɢɰɶ		ɨɛɱɢɫɥɢɦɨ
Pn ( i ) det(A	i E) ɿ ɩɨ ɰɢɯ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ,				ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɇɶɸɬɨɧɚ
ɩɨɛɭɞɭɽɦɨ	ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɣɧɢɣ		ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧ,	ɹɤɢɣ	ɫɩɿɜɩɚɞɚɬɢɦɟ		ɡ
ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɧɢɦ.
Ⱦɚɥɿ ɪɨɡɜ‘ɹɡɭɽɬɶɫɹ ɪɿɜɧɹɧɧɹ			Pn ( ) 0 ɨɞɧɢɦ ɡ ɜɿɞɨɦɢɯ ɦɟɬɨɞɿɜ ɞɥɹ

ɧɟɥɿɧɿɣɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ. ɏɚɪɚɤɬɟɪɧɨ, ɳɨ ɱɚɫɬɨ ɞɥɹ ɰɶɨɝɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɦɟɬɨɞ ɩɚɪɚɛɨɥ (ɨɛɟɪɧɟɧɟ ɿɧɬɟɪɩɨɥɸɜɚɧɧɹ ɩɨ ɬɪɶɨɯ ɬɨɱɤɚɯ, ɚɛɨ ɡɚɦɿɧɚ ɪɿɜɧɹɧɧɹ n-ɝɨ

ɫɬɟɩɟɧɹ ɜ ɨɤɨɥɿ ɤɨɪɟɧɹ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧɚ ɞɪɭɝɨɝɨ ɫɬɟɩɟɧɹ).

Ɂɚɭɜɚɠɢɦɨ, ɳɨ ɡɧɚɯɨɞɠɟɧɧɹ ɜɥɚɫɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧɚ ɩɨɜ‘ɹɡɚɧɚ ɡ ɩɪɨɛɥɟɦɨɸ ɧɟɫɬɿɣɤɨɫɬɿ ɤɨɪɟɧɿɜ

ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧɚ ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɩɨɯɢɛɨɤ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɰɶɨɝɨ ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧɚd . Ɍɨɦɭ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɸɬɶ ɰɟɣ ɦɟɬɨɞ ɞɥɹ ɧɟɜɟɥɢɤɢɯ ɪɨɡɦɿɪɧɨɫɬɹɯ n 10 ɦɚɬɪɢɰɿ A.

6.14.Ɍɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɧɚ ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɹ [ɅɆɋ 32-34][ȻɀɄ 166-170]

ȱɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɹ ɜɿɞɛɭɜɚɽɬɶɫɹ ɡɚ ɫɢɫɬɟɦɨɸ ɮɭɧɤɰɿɣ

1,sin x,cos x,sin 2x,cos2x,...,sin kx,coskx....

Ɍɨɦɭ

	a	n
		¦(ak cos jx bk sin jx),
Tn (x)	0		(1)
	2
		j 1
ɳɨ ɽ ɜɿɞɪɿɡɤɨɦ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɧɨɝɨ ɪɹɞɭ Ɏɭɪ‘ɽ. ɓɨɛ ɡɧɚɣɬɢ Tn (x)			ɩɨɬɪɿɛɧɨ
ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ 2n 1 ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ, ɚ ɡɧɚɱɢɬɶ ɡɚɞɚɬɢ (2n 1) ɡɧɚɱɟɧɶ ɩɟɪɿɨɞɢɱɧɨʀ ɡ
ɩɟɪɿɨɞɨɦ 2 ɮɭɧɤɰɿʀ yi		fi (x),i 0,2n.
ɉɨɤɚɠɟɦɨ, ɳɨ

		2n
Tn (x) ¦ f (xi ))i (x), ɞɟ )i (x)
		i	0
ɬɨɛɬɨ Tn (xk ) f (xk ), ɬɚ )i (xk )									ik . Ⱦɿɣɫɧɨ
2n sin				xk	x j
					2
)i (xk )									0, i k ; )i (xi )
				x	x
j	0 sin			i		j
j	i				2

Ɍɚɤɢɦ ɱɢɧɨɦ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɨɪɦɭɥɢ (2) ɩɿɞɪɚɯɨɜɭɜɚɬɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ Ɏɭɪ‘ɽ ak ,bk .

2n

sin

x

x j

2

,

(2)

x

x

j

0sin

i

j

j

i

2

2n sin

xi

x j

2

1.

x

x

j

0sin

i

j

j

i

2

ɦɢ

ɭɧɢɤɥɢ

ɧɟɨɛɯɿɞɧɨɫɬɿ

52

ɇɟɯɚɣ ɮɭɧɤɰɿɹ

f (x)

ɽ ɩɚɪɧɨɸ ɬɚ ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɨɸ ɧɚ ɩɪɨɦɿɠɤɭ [

, ].

Ɍɨɞɿ ɩɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɜ (n+1)-ɣ ɬɨɱɰɿ,

xi

ɦɨɠɧɚ

yi

fi (x),i

0,n

[0, ]

ɩɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɩɚɪɧɢɣ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɧɢɣ ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧ

n

n

cos x

cos x

i

Tn (x)

¦ f (xi )

.

(3)

cos x

i

cos x

j

i

0

j

0

j

i

əɤɳɨ ɠ ɮɭɧɤɰɿɹ ɽ ɧɟɩɚɪɧɨɸ ɧɚ ɩɪɨɦɿɠɤɭ [

,

], ɬɨ ɩɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɜ n

ɬɨɱɤɚɯ

ɦɨɠɧɚ

ɩɨɛɭɞɭɜɚɬɢ

ɧɟɩɚɪɧɢɣ

yi fi (x),i

1,n. xi

[0,

]

ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɣɧɢɣ ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧ

n

sin x

n

cos x

cos xi

Tn (x)

¦ f (xi )

.

(4)

sin x

i

cos x

i

cos x

i

1

j

1

j

j

i

Ɂɚɞɚɱɚ 20 ɉɨɤɚɡɚɬɢ, ɳɨ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɧɿ ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧɢ (3), (4) ɽ

ɿɧɬɟɪɩɨɥɸɸɱɢɦɢ ɞɥɹ ɮɭɧɤɰɿʀ

f (x). əɤɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ ɿɧɬɟɪɩɨɥɸɽ (4) ɩɪɢ

x 0? ɑɨɦɭ?

6.15. Ⱦɜɨɜɢɦɿɪɧɚ ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɹ [ȻɀɄ, 226-228], [Ʉɚɥɢɬɤɢɧ, 47-51]

ɉɨɛɭɞɨɜɚ ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧɚ ɞɥɹ ɮɭɧɤɰɿʀ ɜɿɞ ɞɜɨɯ ɡɦɿɧɧɢɯ

z

f (x, y) , ɳɨ

ɿɧɬɟɪɩɨɥɸɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ

zi

f (xi , yi )

ɜ ɬɨɱɤɚɯ

Ai (xi , yi ), ɩɨɜ‘ɹɡɚɧɚ ɡ ɬɚɤɢɦɢ

ɬɪɭɞɧɨɳɚɦɢ.

1) əɤɳɨ ɜ ɨɞɧɨɜɢɦɿɪɧɨɦɭ ɜɢɩɚɞɤɭ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɭɡɥɿɜ ɬɚ ɫɬɟɩɿɧɶ

ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧɚ ɩɨɜ‘ɹɡɚɧɿ ɩɪɨɫɬɨɸ

ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɸ: n+1 ɬɨɱɤɚ xi ɞɨɡɜɨɥɹɸɬɶ

ɩɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧ n -ɝɨ ɫɬɟɩɟɧɹ

Ln (x),

ɬɨ

ɜ

ɞɜɨɜɢɦɿɪɧɨɦɭ ɜɢɩɚɞɤɭ

ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧ n -ɝɨ ɫɬɟɩɟɧɹ ɜɿɞ ɞɜɨɯ ɡɦɿɧɧɢɯ

P (x, y)

a xk ym ,

n

0dk

mdn

(n 1)(n

km

ɦɚɽ N

2)

ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ

akm . Ɍɨɦɭ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɡɚɞɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜ

2

ɬɨɱɤɚɯ Ai (xi , yi ), i

1, N .

2) ɇɟ ɜɫɹɤɟ ɪɨɡɬɚɲɭɜɚɧɧɹ ɜɭɡɥɿɜ ɞɨɩɭɫɬɢɦɟ. əɤɳɨ ɪɨɡɝɥɹɧɭɬɢ ɭɦɨɜɢ

ɿɧɬɟɪɩɨɥɸɜɚɧɧɹ

P (x , y )

a xk ym

z ,

n

i

i

0dk mdn

i

i

i

km

ɬɨ ɞɥɹ ɪɨɡɜ’ɹɡɧɨɫɬɿ ɰɿɽʀ ɋɅ

Ɋ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ

ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɭɦɨɜɢ

det B

0 , ɞɟ

ɦɚɬɪɢɰɹ B ɦɚɽ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ:

bij (xik yim ), 0 d k m d n, i

1,N

ɐɹ ɭɦɨɜɚ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿʀ n=1 ɬɚ N=3 ɜɢɦɚɝɚɽ, ɳɨɛ ɜɭɡɥɢ Ai (xi , yi ) ɧɟ ɥɟɠɚɥɢ ɧɚ ɨɞɧɿɣ ɩɪɹɦɿɣ. əɤɳɨ n=2, ɬɨ N=6 ɿ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ

ɪɨɡɝɥɹɞɚɬɢ ɬɨɱɤɢ, ɹɤɿ ɧɟ ɥɟɠɚɬɶ ɧɚ ɞɟɹɤɿɣ ɤɪɢɜɿɣ ɞɪɭɝɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɭ ɿ ɬ.ɞ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɜɢɩɚɞɤɢ, ɤɨɥɢ ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧ ɞɥɹ ɞɜɨɜɢɦɿɪɧɨʀ

ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿʀ ɜ ɹɜɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ.

53

:

y j

ɇɟɯɚɣ

ɨɛɥɚɫɬɶ, ɜ

ɹɤɿɣ

ɿɧɬɟɪɩɨɥɸɽɬɶɫɹ

ɮɭɧɤɰɿɹ

ɽ

ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɨɦ

^(x, y) : 0 d x d

L1,0 d y d

`.

ȼɜɟɞɟɦɨ

ɫɿɬɤɭ

L1

L2

xi

ihx

,i

0, N,hx

,

N

jhy ,hy

L2

. Ɍɨɞɿ ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɣɧɢɣ ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ

M

N M

N M

(x xi ) (y y j )

P(x, y)

¦¦ f (xi , yi )

(1)

(xp

xi ) (yq

y j )

i 0 j 0

p 0 q 0

p

i q

j

Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɜɢɩɚɞɨɤ , ɤɨɥɢ N=M=1. Ɍɨɞɿ

f (x0 , y1)

P11(x, y)

f (x0 , y0 )

x x1

y y1

x x1

y y0

x

0

x

y

0

y

x

0

x

y

y

0

f (x1, y0 )

1

1

1

1

x

x0

y

y1

f (x1, y1)

x

x0

y

y0

(2)

x

x

0

y

0

y

x

x

0

y

y

0

1

1

1

1

a0 a1x a2 y a12 xy.

ɐɟ ɬɚɤ ɡɜɚɧɚ ɛɿɥɿɧɿɣɧɚ ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɹ, ɬɨɛɬɨ ɥɿɧɿɣɧɚ ɩɨ ɤɨɠɧɿɣ ɨɤɪɟɦɿɣ ɡɦɿɧɧɿɣ. Ɏɨɪɦɭɥɚ (1) ɹɜɥɹɽ ɫɨɛɨɸ ɩɪɢɤɥɚɞ ɿɧɬɟɪɩɨɥɸɜɚɧɧɹ ɧɚ ɜɫɿɣ ɨɛɥɚɫɬɿ. ȼ

ɨɞɧɨɜɢɦɿɪɧɨɦɭ ɜɢɩɚɞɤɭ ɩɪɢ ɜɟɥɢɤɢɯ ɫɬɟɩɟɧɹɯ ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧɚ ɨɬɪɢɦɭɸɬɶ ɩɨɝɚɧɟ ɧɚɛɥɢɠɟɧɧɹ ɱɟɪɟɡ ɪɨɡɛɿɠɧɿɫɬɶ ɩɪɨɰɟɫɭ ɿɧɬɟɪɩɨɥɸɜɚɧɧɹ. Ɍɚɤ ɠ ɤɚɪɬɢɧɚ ɦɚɽ ɦɿɫɰɟ ɿ ɜ ɞɜɨɜɢɦɿɪɧɨɦɭ ɜɢɩɚɞɤɭ. Ɍɨɦɭ ɧɚɣɱɚɫɬɿɲɟ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɸɬɶ ɤɭɫɤɨɜɨ-ɩɨɥɿɧɨɦɿɚɥɶɧɭ ɚɩɪɨɤɫɢɦɚɰɿɸ.

Ʉɨɪɨɬɤɨ ɧɚɜɟɞɟɦɨ ɞɟɹɤɿ ɜɿɞɨɦɨɫɬɿ ɩɪɨ ɤɭɫɤɨɜɨ-ɩɨɥɿɧɨɦɿɚɥɶɧɟ ɿɧɬɟɪɩɨɥɸɜɚɧɧɹ ɡ ɬɟɨɪɿʀ ɦɟɬɨɞɭ ɫɤɿɧɱɟɧɢɯ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ ɪɨɡɜ‘ɹɡɚɧɧɹ ɤɪɚɣɨɜɢɯ

ɡɚɞɚɱ ɞɥɹ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ ɜ ɱɚɫɬɢɧɧɢɯ ɩɨɯɿɞɧɢɯ.

ɇɟɯɚɣ ɨɛɥɚɫɬɶ

: R2

- ɛɚɝɚɬɨɤɭɬɧɢɤ ɜ ɩɥɨɳɢɧɿ.

ɉɪɟɞɫɬɚɜɢɦɨ ʀʀ ɭ

ɜɢɝɥɹɞɿ :

n

Th . Th - ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ “ɬɪɿɚɧɝɭɥɹɰɿɽɸ” ɨɛɥɚɫɬɿ :, ɚ

Ki , Ki

Ki

i 1

ɡɚɞɨɜɨɥɶɧɹɸɬɶ ɭɦɨɜɚɦ:

;

0

1)

Ki - ɛɚɝɚɬɨɤɭɬɧɢɤ Ki

0

0

, Ki ,K j

Th ;

2)

Ki

K j

3)

F

Ki K j

, F- ɫɬɨɪɨɧɚ Ki ,K j ;

4)

diamKi

d h - h-ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɚ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɛɢɬɬɹ.

ɇɚɣɱɚɫɬɿɲɟ K ɰɟ ɬɪɢɤɭɬɧɢɤɢ ɚɛɨ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɢ.

ɇɟɯɚɣ vi X -

ɮɭɧɤɰɿɹ,

ɹɤɭ ɦɢ ɛɭɞɟɦɨ ɿɧɬɟɪɩɨɥɸɜɚɬɢ. ɉɨɡɧɚɱɢɦɨ

Xh

ɩɪɨɫɬɿɪ, ɳɨ ɚɩɪɨɤɫɢɦɭɽ X , ɚ ɣɨɝɨ ɟɥɟɦɟɧɬɢ vh

Xh . ɉɪɢɱɨɦɭ ɡɜɭɠɟɧɧɹ ɰɿɽʀ

ɮɭɧɤɰɿʀ ɧɚ ɨɛɥɚɫɬɶ Ki

, ɬɨɛɬɨ vh

ɽ ɩɨɥɿɧɨɦɨɦ.

k , k t 0-

K

ɉɨɡɧɚɱɢɦɨ

i

ɩɪɨɫɬɿɪ ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧɿɜ ɫɬɟɩɟɧɹ

k ɩɨ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ

ɡɦɿɧɧɢɯ

x, y ; ɣɨɝɨ

ɪɨɡɦɿɪɧɿɫɬɶ

dim3k

(k

1)(k 2)

.

ɇɟɯɚɣ

4k , k t 0-

2

54

ɩɪɨɫɬɿɪ

ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧɿɜ

ɫɬɟɩɟɧɹ

ɩɨ

ɤɨɠɧɿɣ ɨɤɪɟɦɿɣ

ɡɦɿɧɧɢɣ

x, y ; ɣɨɝɨ

ɪɨɡɦɿɪɧɿɫɬɶ dim

4k

(k

1)2.

ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ,

P1(x, y) a0 a1x a2 y

1-

ɩɨɥɿɧɨɦ ɫɬɟɩɟɧɹ 1 ɩɨ

x, y ,

ɚ Q1(x, y)

a0

a1x

a2 y

a12 xy 41

ɥɿɧɿɣɧɚ ɩɨ

ɤɨɠɧɿɣ ɨɤɪɟɦɿɣ ɡɦɿɧɧɿɣ.

vh C0 (:) : vh

k 3k , k Th

ɉɨɡɧɚɱɢɦɨ

ɱɟɪɟɡ

Xhk

- ɩɪɨɫɬɿɪ

ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɧɬɿɜ

ɩɪɢ

ɪɨɡɛɢɬɬɿ

ɨɛɥɚɫɬɿ

ɧɚ

ɬɪɢɤɭɬɧɢɤɢ,

ɚ

Yhk vh

C0 (:) : vh

k

4k , k

Th - ɩɪɢ ɪɨɡɛɢɬɬɿ ɧɚ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɢ.

ɉɪɢɤɥɚɞ 1 ɍɬɜɨɪɢɦɨ

X 1

,k 1. Ȼɭɞɭɽɦɨ ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧ 1-ɝɨ ɫɬɟɩɟɧɹ ɩɨ ɞɜɨɯ

ɡɦɿɧɧɢɯ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ dim31h

3, ɬɨ ɞɥɹ ɰɶɨɝɨ ɬɪɟɛɚ ɡɚɞɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ ɜ

ɬɪɶɨɯ ɬɨɱɤɚɯ. Ɍɨɱɤɢ, ɹɤɿ ɡɚɞɚɧɨ - Ai ,i

ɜɢɛɢɪɚɽɦɨ ɜɟɪɲɢɧɚɦɢ ɬɪɢɤɭɬɧɢɤɚ,

1,3

ɹɤ ɧɚ ɦɚɥɸɧɤɭ. Ɍɨɞɿ ɩɨɥɿɧɨɦ ɩɟɪɲɨɝɨ

ɫɬɟɩɟɧɹ z

P1(x, y) ɽ

ɪɨɡɜ‘ɹɡɤɨɦ

ɬɚɤɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɜɿɞɧɨɫɧɨ z :

x

y

z

1

1

x1

y1

f1

0.

1

x2

y2

f2

1

x3

y3

f3

Ɍɭɬ fi

f (xi , yi ),i

1,3.

Ɂɚɞɚɱɚ 21 Ɂɧɚɣɬɢ ɹɜɧɢɣ ɜɢɝɥɹɞ z	P1(x, y) - ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧɚ ɩɨ
ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɜ ɬɨɱɤɚɯ Ai (xi , yi ), i	1,2,3.
ɉɪɢɤɥɚɞ 2 Ⱦɥɹ Xh2,k 2, dim3	2 6 . Ɍɪɟɛɚ ɡɚɞɚɬɢ 6 ɡɧɚɱɟɧɶ, ɳɨɛ

ɡɚɛɟɡɩɟɱɢɬɢ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɿɫɬɶ ɧɚɛɥɢɠɟɧɧɹ. Ɍɨɦɭ ɜɢɛɢɪɚɽɦɨ ɬɨɱɤɢ ɿɧɬɟɪɩɨɥɸɜɚɧɧɹ ɬɚɤ:

ɉɪɢɤɥɚɞ 3 X h3 ,k 3, dim32 10 . ɉɨɬɪɿɛɧɨ ɡɚɞɚɬɢ 10 ɬɨɱɨɤ, ɹɤ ɧɚ ɧɚɫɬɭɩ- ɧɨɦɭ ɦɚɥɸɧɤɭ:

Ɍɨɱɤɚ ɜ ɫɟɪɟɞɢɧɿ ɬɪɢɤɭɬɧɢɤɚ - ɽ ɰɟɧɬɪɨɦ ɣɨɝɨ ɦɚɫ.

ɉɪɢɤɥɚɞ 4 Yh1,k 1,dim41 4 . Ɏɨɪɦɭɥɚ ɞɥɹ Q1(x, y) ɧɚɜɟɞɟɧɚ ɜ (2).

55

ɉɪɢɤɥɚɞ 5 Yh2,k

2,dim42

9

ɉɪɢɤɥɚɞ 6 Yh3,k

3,dim43

16

m

ɇɟɯɚɣ X

W2m (:)

H m (:) - ɰɟ ɩɪɨɫɬɿɪ ɡ ɧɨɪɦɨɸ

v

m2 ¦

v

k2 :

³

³[(Dxkk v)2

k 0

v

k2

(Dmv)2 d:

(Dxkk

1yv)2 ... (Dykk v)2 ]d: ;

:

:

wk v

k

wk v

k

Dxk

v

wxk ;

Dxk 1yv

wxk 1wy

;...

əɤɳɨ

v

m d M

f , ɬɨ v W2m (:), ɤɥɚɫɭ ɮɭɧɤɰɿɣ ɿɧɬɟɝɪɨɜɚɧɢɯ ɡ ɤɜɚɞɪɚɬɨɦ

ɞɨ m- ʀ ɩɨɯɿɞɧɨʀ.

Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɪɨɡɛɢɬɬɹ ɧɚ ɬɪɢɤɭɬɧɢɤɢ. ɇɚɤɥɚɞɟɦɨ ɨɛɦɟɠɟɧɧɹ ɧɚ ɧɢɯ.

Ɋɨɡɛɢɬɬɹ Th ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɪɟɝɭɥɹɪɧɢɦ, ɹɤɳɨ

t 1 ɬɚɤɟ, ɳɨ

max

hk

d V,

hk

diamK, S K ,

k mesS . (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 9)

k Th

Uk

K

S

hk hk

Ɋɢɫ. 9

əɤɳɨ

Uhkk

1, ɬɨ K ɜɢɪɨɞɠɭɽɬɶɫɹ ɜ ɩɪɹɦɭ ɿ ɰɟ ɩɨɝɚɧɨ.

Ɍɟɨɪɟɦɚ

ɇɟɯɚɣ

v W2l 1(:),1d l d k ,

Th

-

ɪɟɝɭɥɹɪɧɚ ɬɪɿɚɧɝɭɥɹɰɿɹ,

Xh

Pk }. Ɍɨɞɿ

vh

{vh :vh

k

d Chl 1 m

0,1,k t 1.

v

vh

m

v

l 1,m

ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ k

1,m

0

l 1:

v

vh

L2 (:)

v vh

0

d Ch2

v

2. əɤɳɨ

k

3,l 3, ɬɨ

v vh

0 d h4

v

4 .

ɐɹ ɬɟɨɪɟɦɚ ɞɨɡɜɨɥɹɽ ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ ɡɛɿɠɧɿɫɬɶ ɩɪɨɰɟɫɭ ɿɧɬɟɪɩɨɥɸɜɚɧɧɹ. ȱ

ɱɢɦ ɛɿɥɶɲɟ ɫɬɟɩɿɧɶ ɩɨɥɿɧɨɦɚ ɧɚ ɤɨɠɧɨɦɭ ɟɥɟɦɟɧɬɿ ɬɢɦ ɜɢɳɚ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɡɛɿɠɧɨɫɬɿ.

56

ɍɡɚɝɚɥɶɧɢɦɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɬɟɨɪɟɦɢ ɧɚ ɨɛɥɚɫɬɶ ɡ ɝɥɚɞɤɨɸ ɝɪɚɧɢɰɟɸ (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 10). Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɜɢɛɢɪɚɽɦɨ ɬɨɱɤɢ ɧɚ ɝɪɚɧɢɰɿ ɿ ɛɭɞɭɽɦɨ ɜɩɢɫɚɧɢɣ ɛɚɝɚɬɨɝɪɚɧɧɢɤ. Ƀɨɝɨ ɬɪɿɚɧɝɭɥɸɽɦɨ. Ⱦɚɥɿ ɧɚ ɤɨɠɧɨɦɭ ɬɪɢɤɭɬɧɢɤɭ ɛɭɞɭɽɦɨ

ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɧɬ. ȼ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɨɬɪɢɦɭɽɦɨ vh Xhk .

Ɋɢɫ. 10

3

Ɍɨɞɿ ɞɥɹ k 1,l 1:

v vh

0 d ch

2

v

2.

7.ɑɢɫɟɥɶɧɟ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɸɜɚɧɧɹ

7.1.ɉɨɛɭɞɨɜɚ ɮɨɪɦɭɥ ɱɢɫɟɥɶɧɨɝɨ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɸɜɚɧɧɹ [ɋȽ, 188-190], [ɅɆɋ, 48-51], [ȻɀɄ, 73-79]

Ɂɚɞɚɱɚ ɱɢɫɟɥɶɧɨɝɨ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɸɜɚɧɧɹ ɜɢɧɢɤɚɽ ɭ ɜɢɩɚɞɤɭ ɤɨɥɢ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɨɛɱɢɫɥɢɬɢ ɩɨɯɿɞɧɭ ɮɭɧɤɰɿʀ, ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɹɤɨʀ ɡɚɞɚɧɿ ɬɚɛɥɢɰɟɸ. ɇɟɯɚɣ

ɡɚɞɚɧɨ

a,b@.

fi f xi ,

i 0,n,

xi

ɉɪɨɿɧɬɟɪɩɨɥɸɽɦɨ ɰɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ. Ɍɨɞɿ

x

x

x ,

f

Ln

rn

(1)

ɞɟ ɡɚɥɢɲɤɨɜɢɣ ɱɥɟɧ ɭ ɮɨɪɦɿ ɇɶɸɬɨɧɚ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ:

rn x f x;x0 ,..., xn

n x ,

Zn x

n

xi .

x

i 0

Ɂɜɿɞɫɢ

x rn(k) x .

f (k) x

L(nk)

(2)

Ɂɚ ɧɚɛɥɢɠɟɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɨɯɿɞɧɨʀ ɜ ɬɨɱɰɿ x ɛɟɪɟɦɨ

f (k) x

L(nk) x , x a,b@.

Ɉɰɿɧɢɦɨ ɩɨɯɢɛɤɭ ɧɚɛɥɢɠɟɧɧɹ - rn(k)

x . Ɂɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ Ʌɟɣɛɧɿɰɚ:

rn(k) x

k

j) x .

¦Ckj f ( j) x;x0 ,..., xn Zn(k

(3)

j

0

x Cn k 1 a,b@:

Ɂ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɪɨɡɞɿɥɟɧɢɯ ɪɿɡɧɢɰɶ ɦɚɽɦɨ ɞɥɹ f

[a,b].

f ( j) (x;x0 ;...; xn ) j! f (x;...x; x0 ;...;xn )

j!

f (n j 1) ([j ),

[j

,

(n j 1)!

j 1

Ɉɫɬɚɬɨɱɧɨ ɜɢɪɚɡ ɞɥɹ ɩɨɯɢɛɤɢ ɧɚɛɥɢɠɟɧɧɹ ɩɨɯɿɞɧɨʀ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ:

57

k

k!

rn(k) x

¦j 0 k

j ! n

j 1 ! f (n j 1) [i Zn(k j) x ,

(4)

Ɉɰɿɧɤɚ ɩɨɯɢɛɤɢ ɦɚɬɢɦɟ ɜɢɝɥɹɞ:

k j ! n j 1 !Zn(k j) x ,

f (k)

x

L(nk) x

d M ¦j 0

k

k!

ɞɟ M

f (n j 1) x

max max

.

0d jdk x [a,b]

ɇɚɝɚɞɚɽɦɨ, ɳɨ ɩɪɨɰɟɫ ɿɧɬɟɪɩɨɥɸɜɚɧɧɹ ɪɨɡɛɿɠɧɢɣ. Ʉɪɿɦ ɬɨɝɨ, ɹɤɳɨ

k

n , ɬɨ L(k)

(x)

0. Ɍɨɦɭ ɧɟ ɦɨɠɧɚ ɛɪɚɬɢ ɜɟɥɢɤɢɦɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ n ɬɚ k . əɤ

n

k 1, ɚɛɨ n

ɩɪɚɜɢɥɨ k

1,2, ɿɧɨɞɿ k

3,4. ȼɿɞɩɨɜɿɞɧɨ, n

k , ɚɛɨ n

k

2.

ɉɨɞɢɜɢɦɨɫɹ ɹɤ ɡɚɥɟɠɢɬɶ ɩɨɪɹɞɨɤ ɡɛɿɠɧɨɫɬɿ ɩɪɨɰɟɫɭ ɱɢɫɟɥɶɧɨɝɨ

ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɸɜɚɧɧɹ ɜɿɞ ɤɪɨɤɭ. ɇɟɯɚɣ xi

x0

ih,

h

0– ɤɪɨɤ. Ɍɨɞɿ ɡɚ ɭɦɨɜɢ

xn

x0

O(h):

Zn

x

x

x0 ... x

xn

x x0,xn @.

O hn

1 ,

ɉɟɪɲɚ ɩɨɯɿɞɧɚ ɜɿɞ

Zn

n (x) ɦɚɽ ɩɨɪɹɞɨɤ ɧɚ ɨɞɢɧɢɰɸ ɦɟɧɲɟ, ɬɨɛɬɨ

c

x

O hn .

Ⱦɚɥɿ

rn(k) x

O hn 1

f (k) x

x

O hn 1

k , ɬɨɦɭ

L(nk)

k .

ɉɪɢ ɭɦɨɜɿ n t k ɨɫɬɚɧɧɿɣ ɜɢɪɚɡ ɡɛɿɝɚɽɬɶɫɹ ɞɨ ɧɭɥɹ, ɬɨɛɬɨ

f (k)

x

L(nk)

x o 0 .

(5)

Ⱦɚɥɿ

ho0

;...; xn )Zn(k)

(x)

f ( j) (x;x0 ;...; xn )Zn(k j) (x).

rn(k) (x) f

(x;x0

k

Ckj

¦

O(hn 1 k )

j 1

x

x

O(hn 2

k )

əɤɳɨ

Zn(k)

O hn 2 k .

0, ɬɨ rn(k)

(6)

Ɍɨɱɤɢ x

ɧɚɡɢɜɚɸɬɶɫɹ ɬɨɱɤɚɦɢ ɩɿɞɜɢɳɟɧɨʀ ɬɨɱɧɨɫɬɿ ɮɨɪɦɭɥ ɱɢɫɟɥɶɧɨɝɨ

x

ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɸɜɚɧɧɹ.

ɉɪɢɤɥɚɞ 1 ȼɢɜɟɞɟɦɨ ɮɨɪɦɭɥɢ ɱɢɫɟɥɶɧɨɝɨ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɸɜɚɧɧɹ ɞɥɹ k

1,n

1 .

h ɿ ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɣɧɢɣ ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ:

ȼɢɛɟɪɟɦɨ ɬɨɱɤɢ x0

, x1

x0

L1 x

f0

x x0

f1

f0

.

Ⱦɥɹ ɩɨɯɿɞɧɨʀ ɨɬɪɢɦɚɽɦɨ ɜɢɪɚɡ:

h

@

f c x

L1c x

f1

f0

, x x0 , x1 .

h

Ɋɨɡɩɢɫɚɜɲɢ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ Ɍɟɣɥɨɪɚ, ɨɬɪɢɦɚɽɦɨ ɜɢɪɚɡ ɞɥɹ ɩɨɯɢɛɤɢ:

f

3 [1

x x0

x x1

f 2

[0

x0

O(h).

r1c x

3!

2!

2x x1

58

əɤɳɨ 2x

x1

x0

0 , ɬɨ r1c

O h2

. Ɍɨɛɬɨ

x1

x0

– ɬɨɱɤɚ ɩɿɞɜɢɳɟɧɨʀ

x

x

2

ɬɨɱɧɨɫɬɿ. Ȼɿɥɶɲ ɬɨɱɧɨ (ɞɢɜ. ɩɪɢɤɥɚɞ 3)

f 3 x

r1c x

d

h2

M3 , ɞɟ M3

max

.

24

x [a,b]

ɉɪɢɤɥɚɞ 2 ɧɚɥɨɝɿɱɧɨ ɜɢɜɟɞɟɦɨ ɮɨɪɦɭɥɢ ɱɢɫɟɥɶɧɨɝɨ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɸɜɚɧɧɹ ɞɥɹ

k

1,n

2

. ȼɢɛɟɪɟɦɨ ɬɨɱɤɢ

x0, x1

x0

h, x2

x0

2h. ȱɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɣɧɢɣ

ɩɨɥɿɧɨɦ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ:

f0

L2 x

f0 x x0

f1

f0

x x0 x x1

f2

2 f1

.

>

@

h

2h2

Ɍɨɞɿ ɡɚɦɿɧɢɦɨ f c

x

L2c

x

f1

f0

2x x0

x1

f2

2 f1

f0

,

x

x0 , x2

.

h

2h2

əɤɳɨ ɫɸɞɢ ɩɿɞɫɬɚɜɢɬɢ x

x0 , ɬɨ ɨɬɪɢɦɚɽɦɨ

f c

x0

f2

4 f1 3 f0

. Ⱦɥɹ

f c

2h

ɬɨɱɤɢ x

x1 ɦɚɽɦɨ

x1

f2

f0

f0 . Ⱦɥɹ ɬɨɱɤɢ x

x2

ɦɚɽɦɨ

f c

4 f1 3 f2

>

2h

@

x,1

x2

f0

,

x

x0 , x2

. Ⱦɥɹ ɩɨɯɢɛɤɢ ɦɚɽɦɨ ɨɰɿɧɤɭ r2c

x

O h2 .

2h

>xi , xi 1@

f c x (ɪɿɡɧɢɰɟɜɚ ɩɨɯɿɞɧɚ

ɉɨɡɧɚɱɢɦɨ ɞɥɹ x

fx,i

fi 1

fi

ɜɩɟɪɟɞ);

>

@

h

f c

ɞɥɹ x

xi 1, xi

-

fx,i

fi

fi

1

x

(ɪɿɡɧɢɰɟɜɚ ɩɨɯɿɞɧɚ ɧɚɡɚɞ);

ɞɥɹ x >xi 1 , xi 1@ -

fi 1

h

f c x (ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɚ ɪɿɡɧɢɰɟɜɚ

f 0

fi

1

2h

ɩɨɯɿɞɧɚ).

x,i

fx,i ,

fx,i

ɚɛɨ

f0 .

Ɂɚɦɿɫɬɶ f c

xi

ɦɨɠɧɚ ɜɡɹɬɢ ɛɭɞɶ-ɹɤɟ ɿɡ ɡɧɚɱɟɧɶ:

x,i

Ɂɚɞɚɱɚ 21 Ɂɧɚɣɬɢ ɬɨɱɤɢ ɩɿɞɜɢɳɟɧɨʀ ɬɨɱɧɨɫɬɿ ɮɨɪɦɭɥ ɱɢɫɟɥɶɧɨɝɨ

ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɸɜɚɧɧɹ ɞɥɹ k

1,n

2 ɿ ɨɰɿɧɢɬɢ ɩɨɯɢɛɤɭ ɜ ɰɢɯ ɬɨɱɤɚɯ.

ɉɪɢɤɥɚɞ 3 ɉɪɢ n

1, k

1 ɨɰɿɧɢɦɨ ɬɨɱɧɿɫɬɶ ɮɨɪɦɭɥ ɱɢɫɟɥɶɧɨɝɨ

ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɸɜɚɧɧɹ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ Ɍɟɣɥɨɪɚ.

ɚ) ɇɟɯɚɣ

f x

C2

a,b@. Ɍɨɞɿ

1 ª

º

f c x0

f

x0

h

f

x0

f c x0

0 hf0c

h2

f cc [

h

f cc [ ,

« f

f0 »

h

h ¬

2

¼

2

f c

x0

f1

f0

d

M2h

, M2

max

f cc

.

h

2

[x0 ,x1]

[

ɛ) ɇɟɯɚɣ

f x C3

>a,b@. Ɍɨɞɿ, ɪɨɡɩɢɫɚɜɲɢ ɪɨɡɤɥɚɞ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɿ Ɍɟɣɥɨɪɚ ɞɨ

ɬɪɟɬɶɨʀ ɩɨɯɿɞɧɨʀ, ɦɚɽɦɨ ɨɰɿɧɤɭ:

59

f c x

f x0 h

f x0

f c x

1

[ f

x

h

f c

x

h2

f cc x

h3

f ccc

h

h

2

8

48

[

h

h2

h

3

h2

f

x

f c

x

f

cc

x

f

ccc

]

f

ccc .

2

8

48

K

24

9

f c

x

f1

f0

h2M3

, x x1 x0 .

d

h

24

2

Ɂɚɞɚɱɚ 22 ɉɨɤɚɡɚɬɢ, ɳɨ ɹɤɳɨ f

x

C3

a,b@, ɬɨ

f c x1

f2

f0

d

M3h2

.

2h

6

ɉɪɢɤɥɚɞ 4 ɉɪɢ n

2,k

2 ɦɚɽɦɨ:

f

i

f

i 1

(x xi 1)

f

i

1

2 f

f

i 1

L2 (x)

fi 1

i

(x xi 1)(x xi ) ;

h

h

2

L2cc(x)

fi 1 2 fi

fi 1

.

h2

Ⱦɥɹ

f x C4 >a,b@ ɨɰɿɧɢɦɨ ɬɨɱɧɿɫɬɶ ɮɨɪɦɭɥ ɱɢɫɟɥɶɧɨɝɨ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɸɜɚɧɧɹ ɡɚ

ɮɨɪɦɭɥɨɸ Ɍɟɣɥɨɪɚ:

f0

h 2 f x1

f x1

h

f cc x1

f2

2 f1

f

cc

x1

f x1

h2

h

2

f cc x1

1

[ f1 hf1s

h2

f1s

h3

f1

///

h4

f

4 [1

2 f1

2

h

2

6

24

f1

hf1s

h2

f1s

h3

f1

///

h4

f

4 [2

]

.

6

2

24

h2

f 4

[

[1,[2 ,[ >x0 , x2

@

f1s

2 f1

12

d

Ɉɬɠɟ,

f2

f0

M 4h2

.

h2

12

Ɂɚɞɚɱɚ 23 ɉɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɮɨɪɦɭɥɭ ɱɢɫɟɥɶɧɨɝɨ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɸɜɚɧɧɹ k

2,n

2 ɭ

h2 . Ɉɰɿɧɢɬɢ

ɜɢɩɚɞɤɭ ɧɟɪɿɜɧɨɜɿɞɞɚɥɟɧɢɯ ɜɭɡɥɿɜ:

x0, x1 x0

h1, x2

x1

ɬɨɱɧɿɫɬɶ ɮɨɪɦɭɥɢ. Ɂɧɚɣɬɢ ɬɨɱɤɢ ɩɿɞɜɢɳɟɧɨʀ ɬɨɱɧɨɫɬɿ ɨɰɿɧɢɬɢ ɩɨɯɢɛɤɭ.

Ʉɪɿɦ ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɣɧɢɯ ɮɨɪɦɭɥ ɞɥɹ ɱɢɫɟɥɶɧɨɝɨ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɸɜɚɧɧɹ ɦɨɠɧɚ

ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɜɚɬɢ ɫɩɥɚɣɧɢ. ɇɟɯɚɣ

fi

f

xi

. ɉɨɛɭɞɭɽɦɨ ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɣɧɢɣ ɫɩɥɚɣɧ

ɩɟɪɲɨɝɨ ɫɬɟɩɟɧɹ s1

x

, ɞɥɹ ɹɤɨɝɨ ɦɚɽ ɦɿɫɰɟ ɨɰɿɧɤɚ

f k

x

s k

x

O h2

k

,k

0,1. Ɂɜɿɞɫɢ ɩɪɢ k

1 ɦɚɽɦɨ

f c x

sc

x

O h

.

1

1

x ɦɚɽɦɨ ɞɥɹ ɩɟɪɲɨʀ ɬɚ

Ⱦɥɹ ɤɭɛɿɱɧɨɝɨ ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɫɩɥɚɣɧɭ s3

ɞɪɭɝɨʀ ɩɨɯɿɞɧɢɯ

k x

s3k

x

k ,

f

O h4

k

1,2.

60