ChM_teory2

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ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɽ ɫɨɛɨɸ

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ɮɭɧɤɰɿɹ ɜɿɞɧɨɫɧɨ

m(m0 ,...,mN ), ɬɨ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨɸ ɿ ɞɨɫɬɚɬɧɶɨɸ ɭɦɨɜɨɸ ɦɿɧɿɦɭɦɭ ɽ

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Ɉɬɠɟ, ɡ ɭɦɨɜɢ ɦɿɧɿɦɿɡɚɰɿʀ ɮɭɧɤɰɿɨɧɚɥɭ

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ɦɢ ɨɬɪɢɦɚɥɢ ɬɚɤɭ ɫɢɫɬɟɦɭ ɪɿɜɧɹɧɶ :

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0

(9)

ɞɟ, ɹɤ ɿ ɪɚɧɿɲɟ i – ɰɟ ɧɟɜɿɞɨɦɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɝɥɚɞɠɭɸɱɨɝɨ ɫɩɥɚɣɧɭ :

i

s xi

, mi

s xi .

	Ɇɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ (9) ɦɚɬɪɢɱɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ, ɹɤɳɨ ɜɜɟɫɬɢ ɦɚɬɪɢɰɸ R			diag i :
	&	&	Rf .	(10)
	H T m RP
	Ɍɭɬ f – ɜɟɤɬɨɪ ɡɚɞɚɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɮɭɧɤɰɿʀ.
	Ɍɚɤɢɦ ɱɢɧɨɦ ɦɚɽɦɨ ɞɥɹ m ɬɚ	ɞɜɿ ɫɢɫɬɟɦɢ (7) ɿ (10). ȼɢɤɥɸɱɚɸɱɢ
	ɨɬɪɢɦɚɽɦɨ ɬɚɤɭ ɫɢɫɬɟɦɭ ɥɿɧɿɣɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ		&
	A HR 1H T			(11)
			m Hf
	Ɋɨɡɜ’ɹɡɚɜɲɢ ʀʀ, ɦɨɠɟɦɨ ɨɛɱɢɫɥɢɬɢ		&
	&			(12)
	P f	R 1H T m

ɿ ɩɿɞɫɬɚɜɢɬɢ ɡɧɚɣɞɟɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ i ɬɚ mi ɜ ɮɨɪɦɭɥɭ ɞɥɹ ɫɩɥɚɣɧɭ

81

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mi 1hi2 · xi

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6

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Ɍɟɩɟɪ ɡɜɟɪɧɟɦɨ ɭɜɚɝɭ ɧɚ ɦɚɬɪɢɰɸ ɫɢɫɬɟɦɢ (10)

Ac A HR 1H T .

mihi2	¸·	x	xi 1	. (13)
6	¹		hi

Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɦɚɬɪɢɰɿ H,		H T	– ɬɪɶɨɯɞɿɚɝɨɧɚɥɶɧɿ, ɬɨ ɦɚɬɪɢɰɹ				HR 1H T ɛɭɞɟ
ɩ’ɹɬɢɞɿɚɝɨɧɚɥɶɧɨɸ, ɚ ɬɨɦɭ ɩ’ɹɬɢɞɿɚɝɨɧɚɥɶɧɨɸ ɛɭɞɟ ɣ						Ac . Ɋɨɡɜ’ɹɡɭɸɬɶ
ɡɚɡɜɢɱɚɣ ɫɢɫɬɟɦɢ ɡ ɬɚɤɢɦɢ ɦɚɬɪɢɰɹɦɢ ɧɚɫɬɭɩɧɢɦ ɱɢɧɨɦ :
1.	ɚɛɨ ɦɟɬɨɞɨɦ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɯ ɤɨɪɟɧɿɜ; ɞɥɹ ɦɚɬɪɢɰɶ ɿɡ ɬɚɤɨɸ ɫɬɪɭɤɬɭɪɨɸ ɰɟɣ
ɦɟɬɨɞ	ɦɚɽ ɫɤɥɚɞɧɿɫɬɶ	Q	O nm	O 2n	O n , ɬɚɤ ɹɤ ɜ	ɧɚɲɨɦɭ		ɜɢɩɚɞɤɭ
ɩɿɜɲɢɪɢɧɚ ɞɿɚɝɨɧɚɥɶɧɨʀ ɫɦɭɝɢ m				2.
2. ɚɛɨ ɦɟɬɨɞɨɦ ɩ’ɹɬɢɞɿɚɝɨɧɚɥɶɧɨʀ ɩɪɨɝɨɧɤɢ [ɋɚɦɚɪɫɤɢɣ							. .,	ɇɢɤɨɥɚɟɜ
ɋ.ɇ., Ɇɟɬɨɞɵ ɪɟɲɟɧɢɹ ɫɟɬɨɱɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ], ɳɨ ɬɚɤɨɠ ɦɚɽ ɫɤɥɚɞɧɿɫɬɶ O n .
Ɂɚɭɜɚɠɟɧɧ Ui ɜɢɛɢɪɚɸɬɶ ɬɚɤ Ui				1
				Hi2 .

9.ɑɢɫɟɥɶɧɟ ɿɧɬɟɝɪɭɜɚɧɧɹ

9.1.ɉɨɫɬɚɧɨɜɤɚ ɡɚɞɚɱɿ ɱɢɫɟɥɶɧɨɝɨ ɿɧɬɟɝɪɭɜɚɧɧɹ [ɅɆɋ, 13-14], [ɋȽ, 161-162] ɇɟɯɚɣ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɡɧɚɣɬɢ f b³ U x f x dx (1)I

ɞɟ f – ɡɚɞɚɧɚ ɮɭɧɤɰɿɹ, x	a
	0 – ɞɟɹɤɢɣ ɜɚɝɨɜɢɣ ɦɧɨɠɧɢɤ. ɐɹ ɡɚɞɚɱɚ ɱɚɫɬɨ

ɜɢɦɚɝɚɽ ɱɢɫɟɥɶɧɨɝɨ ɜɢɪɿɲɟɧɧɹ, ɨɫɤɿɥɶɤɢ

-ɡɧɚɱɧɚ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɿɧɬɟɝɪɚɥɿɜ ɬɢɩɭ (1) ɧɟ ɦɨɠɭɬɶ ɛɭɬɢ ɨɛɱɢɫɥɟɧɿ ɚɧɚɥɿ- ɬɢɱɧɨ;

-ɿɧɮɨɪɦɚɰɿɹ ɩɪɨ ɮɭɧɤɰɿɸ f ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɡɚɞɚɧɚ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɬɚɛɥɢɰɿ.

	ɇɚɝɚɞɚɽɦɨ, ɳɨ ɡɚ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹɦ
				I f		lim ¦ U [i f [i 'xi ,
							n
	'xi			ɚ ^xi `in		'o0 i		1		ɩɪɨɦɿɠɤɭ >a,b@,	xi a,b@,
ɞɟ		xi	xi 1,		0	–		ɪɨɡɛɢɬɬɹ
i	>xi	1, xi @.	Ɍɨɦɭ	ɜɿɡɶɦɟɦɨ		ɹɤ	ɧɚɛɥɢɠɟɧɧɹ			ɬɚɤɭ ɫɭɦɭ, ɹɤɚ	ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ
ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɨɸ ɮɨɪɦɭɥɨɸ:						In f
									n
									¦ck f xk ,		(2)
									k 0
ɞɟ	xk – ɜɭɡɥɢ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɨʀ ɮɨɪɦɭɥɢ (2), ɚ ck									– ʀʀ ɜɚɝɨɜɿ ɦɧɨɠɧɢɤɢ. Ɂɚɞɚɱɚ
ɩɨɥɹɝɚɽ ɜ ɬɢɦ, ɳɨɛ ɜɢɛɪɚɬɢ ^xk ,ck							`kn	0, ɬɚɤ ɳɨɛ ɩɨɯɢɛɤɚ ɛɭɥɚ ɧɚɣɦɟɧɲɚ:
				Rn f		I	f		In f o min

Ʉɜɚɞɪɚɬɭɪɧɭ ɮɨɪɦɭɥɭ (2) ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɨɸ ɮɨɪɦɭɥɨɸ ɡɚɦɤɧɟɧɨɝɨ ɬɢɩɭ, ɹɤɳɨ x0 a ɬɚ xn b , ɿ ɜɿɞɤɪɢɬɨɝɨ ɬɢɩɭ , ɹɤɳɨ x0 a ɬɚ xn b .

82

	Ʉɚɠɭɬɶ, ɳɨ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɚ ɮɨɪɦɭɥɚ (2) ɦɚɽ						m-ɢɣ ɫɬɟɩɿɧɶ ɚɥɝɟɛɪɚʀɱɧɨʀ
ɬɨɱɧɨɫɬɿ, ɹɤɳɨ
			Rn f	0, f	m ,		Pm 1 x	(3)
m	–	ɦɧɨɠɢɧɚ ɩɨɥɿɧɨɦɿɜ m-ɝɨ		ɫɬɟɩɟɧɹ, ɿ				m 1, ɬɚɤɢɣ ɳɨ
Rn Pm 1			0 .
	ɐɸ ɭɦɨɜɭ ɦɨɠɧɚ ɡɚɦɿɧɢɬɢ ɭɦɨɜɨɸ
				0, D		, Rn xm 1 0		(4)
			Rn x		0,m

(ɜɨɧɚ ɛɿɥɶɲ ɡɪɭɱɧɚ ɞɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ).

Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɞɟɹɤɿ ɩɿɞɯɨɞɢ ɞɨ ɩɨɛɭɞɨɜɢ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɢɯ ɮɨɪɦɭɥ.

1) ȱɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɣɧɢɣ. ȼɿɧ ɩɪɢɜɨɞɢɬɶ ɞɨ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɢɯ ɮɨɪɦɭɥ

ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɬɢɩɭ. ȼ ɿɧɬɟɝɪɚɥɿ (1)

ɩɨɤɥɚɞɚɸɬɶ

f x

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ɩɨ ɞɟɹɤɢɯ

ɜɭɡɥɚɯ ^xk `kn

0 (ɜɭɡɥɢ ɮɿɤɫɨɜɚɧɿ). Ɍɨɞɿ:

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n

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k 0

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b

Ɉɬɠɟ ɜɭɡɥɚɦɢ ɰɿɽʀ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɨʀ ɮɨɪɦɭɥɢ ɽ ɜɭɡɥɢ ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɛɚɝɚɬɨɱɥɟɧɚ, ɚ ɜɚɝɨɜɿ ɦɧɨɠɧɢɤɢ

b		Zn x
ck ³ U x					k
		x x	c	x		dx .
a			k Zn

2) ɇɚɣɜɢɳɨɝɨ ɚɥɝɟɛɪɚʀɱɧɨɝɨ ɫɬɟɩɟɧɹ ɬɨɱɧɨɫɬɿ. ȼɢɛɢɪɚɽɦɨ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ xk ɿ
ck ɡ ɭɦɨɜɢ Rn x	0, D		, ɳɨɛ m ɛɭɥɨ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɢɦ.	Ɉɬɪɢɦɭɽɦɨ
		0,m
ɫɢɫɬɟɦɭ ɧɟɥɿɧɿɣɧɢɯ	ɚɥɝɟɛɪɚʀɱɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ ɪɨɡɜ ɹɡɚɜɲɢ ɹɤɭ			ɨɬɪɢɦɭɽɦɨ

3)ɋɤɥɚɞɟɧɿ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɿ ɮɨɪɦɭɥɢ. ɉɪɨɦɿɠɨɤ a,b@ ɪɨɡɛɢɜɚɽɦɨ. ɧɚ’,

ɩɿɞɩɪɨɦɿɠɤɢ (ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ ɨɞɧɨɤɨɜɨʀ ɞɨɜɠɢɧɢ), ɚ ɩɨɬɿɦ ɧɚ ɤɨɠɧɨɦɭ ɩɪɨɦɿɠɤɭ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɦɨ, ɡ ɧɟɜɟɥɢɤɢɦ ɫɬɟɩɟɧɟɦ, ɮɨɪɦɭɥɢ ɡ ɩɭɧɤɬɭ 1 ɚɛɨ 2. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ ɮɨɪɦɭɥ ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɬɢɩɭ:

I f		N	xi	N	n		Ih f	.
		¦	³ U x f x dxi	¦ ¦cki f xki
		i 1 x		i 1k	0
			i 1					Ih ɦɚɽ ɩɨɪɹɞɨɤ
Ʉɚɠɭɬɶ, ɳɨ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɚ ɮɨɪɦɭɥɚ ɫɤɥɚɞɟɧɨɝɨ ɬɢɩɭ
(ɫɬɟɩɿɧɶ) ɬɨɱɧɨɫɬɿ p		ɩɨ ɤɪɨɤɭ h , ɹɤɳɨ Rh			f	I f	Ih f	O h p .
4). Ʉɜɚɞɪɚɬɭɪɧɿ ɮɨɪɦɭɥɢ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɿ ɧɚ ɤɥɚɫɿ ɮɭɧɤɰɿɣ. ȼɢɛɢɪɚɽɦɨ xk ,ck `
ɬɚɤ, ɳɨɛ ɞɨɫɹɝɚɜɫɹ		inf	sup Rn f .	ɐɟ ɦɢ ɦɨɠɟɦɨ ɪɨɛɢɬɢ, ɤɨɥɢ ɡɧɚɽɦɨ ɡ
	^xk ,ck		` f F

ɹɤɢɦ ɤɥɚɫɨɦ ɮɭɧɤɰɿɣ ɦɚɽɦɨ ɫɩɪɚɜɭ.

Ɂɚɭɜɚɠɟɧɧɹ 1 (ɩɪɨ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɿ ɮɨɪɦɭɥɢ ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɬɢɩɭ)
ɉɪɢ ɩɿɞɜɢɳɟɧɧɿ ɫɬɟɩɟɧɹ ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿʀ	ɩɨɝɿɪɲɭɽɬɶɫɹ				ɹɤɿɫɬɶ			ɧɚɛɥɢɠɟɧɧɹ
ɮɭɧɤɰɿʀ ɜɧɚɫɥɿɞɨɤ ɪɨɡɛɿɠɧɨɫɬɿ ɩɪɨɰɟɫɭ	ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿʀ:				f Ln			o	0 . ɥɟ
							c	nof

83

R f ofo0, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ f C a,b@.

ɩɪɨɰɟɫɭ ɿɧɬɟɪɩɨɥɸɜɚɧɧɹ ɞɚɽ ɜɡɧɚɤɢ: ɩɪɢ n

n n o

ȱ ɜɫɟ ɠ ɬɚɤɢ ɪɨɡɛɿɠɧɿɫɬɶ

max ck o f ɿ ɰɟ ɩɪɢɜɨɞɢɬɶ

k

ɞɨ ɩɨɝɚɧɢɯ ɧɚɫɥɿɞɤɿɜ ɱɢɫɟɥɶɧɨɝɨ ɿɧɬɟɝɪɭɜɚɧɧɹ. Ⱦɿɣɫɧɨ, ɪɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɜɢɩɚɞɨɤ,

ɤɨɥɢ ɮɭɧɤɰɿɹ ɡɚɞɚɧɚ ɧɟɬɨɱɧɢɦɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ:

Gk

G.

f xk

f xk Gk ,

Ɍɨɞɿ

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In f In f

GIn f

¦ckGk .

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G b a .

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1, ɹɤɳɨ ɩɿɞɫɬɚɜɢɬɢ

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ɬɨ ɨɬɪɢɦɚɽɦɨ b a

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ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɚ ɮɨɪɦɭɥɚ ɩɨɜɢɧɧɚ ɦɚɬɢ.

ɇɚɝɚɞɚɽɦɨ, ɳɨ ɩɪɢ n o

o f , ɚ ɨɫɤɿɥɶɤɢ

0, ɬɨ

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ck

ck

ck

0 ɿ

ck

0, ɬɨɦɭ ɡ ɪɨɫɬɨɦ n ɡɪɨɫɬɚɽ

ck

,

ɚ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ ɿ ɜɩɥɢɜ ɩɨɯɢɛɤɢ

ɧɚ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ. Ɍɨɦɭ ɧɟ ɦɨɠɧɚ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɜɚɬɢ ɜɟɥɢɤɿ ɫɬɟɩɟɧɿ ɿ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɫɤɥɚɞɟɧɿ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɿ ɮɨɪɦɭɥɢ.

Ɂɚɭɜɚɠɟɧɧɹ 2 əɫɧɨ, ɳɨ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɿ ɮɨɪɦɭɥɢ ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɬɢɩɭ

ɦɚɸɬɶ ɚɥɝɟɛɪɚʀɱɧɢɣ			ɫɬɟɩɿɧɶ ɬɨɱɧɨɫɬɿ				ɩɪɢɧɚɣɦɧɿ			m	n, ɛɨ ɦɢ ɡɚɦɿɧɹɽɦɨ
f o Ln ,	ɚ ɹɤɳɨ f		n , ɬɨ	f		Ln .	ɥɟ ɜɢɹɜɥɹɽɬɶɫɹ, ɳɨ ɞɥɹ ɩɚɪɧɢɯ n ɬɚ
ɫɢɦɟɬɪɢɱɧɨɦɭ		ɪɨɡɬɚɲɭɜɚɧɧɿ				ɜɭɡɥɿɜ		ɿɧɬɟɝɪɭɜɚɧɧɹ, m n 1, ɬɨɛɬɨ
ɚɥɝɟɛɪɚʀɱɧɢɣ ɫɬɟɩɿɧɶ ɬɨɱɧɨɫɬɿ ɧɚ ɨɞɢɧɢɰɸ ɜɢɳɢɣ ɫɬɟɩɟɧɹ ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿʀ.
9.2. Ʉɜɚɞɪɚɬɭɪɧɿ ɮɨɪɦɭɥɢ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɿɜ [ɋȽ, 162-163]
ɉɪɢɩɭɫɬɢɦɨ, ɳɨ				1. Ɍɨɞɿ ɦɨɠɧɚ ɩɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɬɚɤɿ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɚ
ɮɨɪɦɭɥɢ ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɬɢɩɭ ɩɪɢ n							0:			a f	a ;
ɚ) ɥɿɜɢɯ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɿɜ:					x0 a :		I0ɥɿɜ		b
ɛ) ɩɪɚɜɢɯ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɿɜ: I0ɩɪɚɜ							b	a f	b	x0	b;
ɜ) ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɿɜ:
I0	b	a f (x0 ), x0		a	b	.				(1)
				2
Ɂɧɚɣɞɟɦɨ ɬɟɩɟɪ ɚɥɝɟɛɪɚʀɱɧɭ ɫɬɟɩɿɧɶ ɬɨɱɧɨɫɬɿ ɰɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɢɯ
ɮɨɪɦɭɥ. Ⱦɥɹ ɥɿɜɢɯ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɿɜ:
I0ɥɿɜ 1	b a	I 1 ,

84

b

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b

b2

a

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a b

a

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2

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ɨɬɠɟ ɫɬɟɩɿɧɶ ɬɨɱɧɨɫɬɿ m

0. Ɍɚɤɚ ɠ ɜɨɧɚ ɛɭɞɟ ɿ ɞɥɹ I

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ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɿɜ

0

x b a

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, I0 x2

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a b

I x2 ,

2

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1. Ɉɬɨɠ ɧɟɸ ɿ ɛɭɞɟɦɨ ɤɨɪɢɫɬɭɜɚɬɢɫɹ.

Ɉɰɿɧɢɦɨ ɞɥɹ ɧɟʀ ɩɨɯɢɛɤɭ. ȼɡɚɝɚɥɿ ɞɥɹ ɮɨɪɦɭɥɢ ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɬɢɩɭ:

Rn f

I f

In f

I f

I Ln

I f

Ln

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b³rn x dx,

ɞɟ rn x – ɡɚɥɢɲɤɨɜɢɣ ɱɥɟɧ ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿʀ. Ⱦɚɥɿ

a

Rn f

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a

ɥɟ ɰɟ ɩɨɝɚɧɚ ɨɰɿɧɤɚ, ɜɨɧɚ ɧɟ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽ ɬɨɣ ɮɚɤɬ, ɳɨ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɚ

ɮɨɪɦɭɥɚ ɦɚɽ ɫɬɟɩɿɧɶ ɬɨɱɧɨɫɬɿ ɧɚ ɨɞɢɧɢɰɸ ɜɢɳɭ. Ɉɬɪɢɦɚɽɦɨ ɤɪɚɳɭ ɨɰɿɧɤɭ.

Ɇɚɽɦɨ ɩɪɢ f

C

2

a,b@

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a b

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³ « x x0

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24

ɥɟ ɬɭɬ ɭ ɧɚɫ ɧɟɦɚɽ ɜɩɥɢɜɭ ɧɚ ɬɨɱɧɿɫɬɶ (ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɩɨɯɢɛɤɢ). Ɍɨɦɭ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɮɨɪɦɭɥɭ ɫɤɥɚɞɟɧɨɝɨ ɬɢɩɭ. əɤɳɨ ɫɿɬɤɚ ɪɿɜɧɨɦɿɪɧɚ, ɬɨ

ɫɤɥɚɞɟɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɚ ɮɨɪɦɭɥɚ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɿɜ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ

85

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ɩɨ ɤɪɨɤɭ h . (ɇɟ ɫɥɿɞ ɩɥɭɬɚɬɢ ɡ

ɚɥɝɟɛɪɚʀɱɧɢɦ ɫɬɟɩɟɧɟɦ ɬɨɱɧɨɫɬɿ m

1 ɞɥɹ ɰɿɽʀ ɮɨɪɦɭɥɢ).

əɤɳɨ f

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¦hf cc

i

- ɰɟ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɚ ɮɨɪɦɭɥɚ ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɿɜ ɞɥɹ

x

i

1

f cc

x

ɡ ɩɨɯɢɛɤɨɸ O h2

, ɬɨ

24

³

h

R

f

h2

b f cc

x dx

O h4

O h4

.

h

D

D

24 ³

Rnp f

Rh

f

a

Rh

f

h

f cc x dx

,

h

O h4 . (5)

h , ɞɟ

2

b

0

0

a

ȼɨɧɚ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɞɥɹ ɩɨɛɭɞɨɜɢ ɩɪɨɝɪɚɦ, ɳɨ ɚɜɬɨɦɚɬɢɱɧɨ ɜɢɛɢɪɚɸɬɶ
ɤɪɨɤ ɿɧɬɟɝɪɭɜɚɧɧɹ.
9.3. Ɏɨɪɦɭɥɚ ɬɪɚɩɟɰɿʀ [ɋȽ, 164-165]
						L1 x	f x . Ɍɨɞɿ ɨɬɪɢɦɚɽɦɨ ɮɨɪɦɭɥɭ:
ɇɟɯɚɣ x0			a , x1		b,
I1 f		b	a	>f a f		b @	(1)
			2

86

Ɏɨɪɦɭɥɚ ɦɚɽ ɚɥɝɟɛɪɚʀɱɧɢɣ ɫɬɟɩɿɧɶ ɬɨɱɧɨɫɬɿ

m

1,

ɨɫɤɿɥɶɤɢ

I(x2 )

I1(x2 ) .

ɐɟ ɮɨɪɦɭɥɚ ɡɚɦɤɧɟɧɨɝɨ ɬɢɩɭ. Ɂɚɥɢɲɤɨɜɢɣ ɱɥɟɧ:

b f cc

[

x

a

x

b

b a

3

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³

dx

f cc [

(2)

2

12

Ɉɰɿɧɤɚ ɡɚɥɢɲɤɨɜɨɝɨ ɱɥɟɧɚ:

a

a 3

R1 f

d M2

b

.

(3)

12

Ɂ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɧɨʀ ɬɨɱɤɢ ɡɨɪɭ ɡɚɦɿɧɸɽɬɶɫɹ ɩɥɨɳɚ ɤɪɢɜɨɥɿɧɿɣɧɨʀ ɬɪɚɩɟɰɿɣ

ɩɥɨɳɟɸ ɡɜɢɱɚɣɧɨʀ ɬɪɚɩɟɰɿʀ.

ɋɤɥɚɞɟɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɚ ɮɨɪɦɭɥɚ ɬɪɚɩɟɰɿɣ:

f

a ¦hf xi

2

f b ,

(4)

Ih

f

¦

2 >f xi 1

f

xi @

2

N

h

h

N

1

h

ɞɟ xi a ih, h

i 1

i

1

b a

, i

ɬɚ

b a

0,N

f C2>a,b@ ,.

N

Rh f

d M2

əɤɳɨ f C4>a,b@, ɬɨ

h2,

(5)

12

D

h

12 ³

D

R

h

f

R

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f

, ɞɟ

f

(6)

h

R

h

2 b

f cc x dx,

h

O h

4 .

0

0

a

Ɂɚɞɚɱɚ 29 ȼɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɱɢ ɹɜɧɢɣ ɜɢɝɥɹɞ ɝɨɥɨɜɧɢɯ ɱɥɟɧɿɜ ɩɨɯɢɛɤɢ ɫɤɥɚɞɟɧɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɢɯ ɮɨɪɦɭɥ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɿɜ ɬɚ ɬɪɚɩɟɰɿɣ, ɩɨɛɭɞɭɜɚɬɢ

ɥɿɧɿɣɧɨɸ ɤɨɦɛɿɧɚɰɿɽɸ ɰɢɯ ɞɜɨɯ ɮɨɪɦɭɥ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɭ ɮɨɪɦɭɥɭ ɱɟɬɜɟɪɬɨɝɨ ɫɬɟɩɟɧɹ ɬɨɱɧɨɫɬɿ ɡɚ ɤɪɨɤɨɦ h.

9.4 Ʉɜɚɞɪɚɬɭɪɧɚ ɮɨɪɦɭɥɚ ɋɿɦɩɫɨɧɚ
ɇɟɯɚɣ x	0	a, x	a b	, x	2
		1	2

ɨɬɪɢɦɚɽɦɨ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɭ ɮɨɪɦɭɥɭ

I2 f :

[ɋȽ, 165-167]
b.		Ɂɚɦɿɫɬɶ f		ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɦɨ
	b	a ª		§ a b ·				º
			« f a 4 f ¨			¸		f b » .
		6 ¬		©	2 ¹			¼

L2 x . Ɍɨɞɿ

(1)

ɐɟ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɚ ɮɨɪɦɭɥɚ ɋɿɦɩɫɨɧɚ.

Ɂɚɞɚɱɚ 30 Ⱦɨɜɟɫɬɢ, ɳɨ ɚɥɝɟɛɪɚʀɱɧɚ ɫɬɟɩɿɧɶ ɬɨɱɧɨɫɬɿ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɨʀ ɮɨɪɦɭɥɢ ɋɿɦɩɫɨɧɚ m 3.

Ɂɚɞɚɱɚ 31 Ⱦɨɜɟɫɬɢ, ɳɨ ɞɥɹ

f C4

a,b@

ɡɚɥɢɲɤɨɜɢɣ

ɱɥɟɧ

ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɨʀ

ɮɨɪɦɭɥɢ ɋɿɦɩɫɨɧɚ ɦɚɽ ɦɿɫɰɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɧɹ:

f (4) [

1 b

§

a b ·

2

(4)

5

R2 f

a

©

¹

x

b f [ dx

b a , (2)

2880

24 ³ x

a ¨ x

2 ¸

ɬɚ ɜɿɪɧɚ ɨɰɿɧɤɚ:

87

R2 f

d

M4

b a 5.

(3)

2880

ɋɤɥɚɞɟɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɚ ɮɨɪɦɭɥɚ ɋɿɦɩɫɨɧɚ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ:

h

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6

ª

i 1

§

i

·

i

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1 ¸

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I

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N 1

¨ N

1

¸

N »

6

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2 f

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2 ¹

f

x

¼

(4)

h « f

4 f ¨ x

¸

4 f ¨ x

¸

»

əɤɳɨ f C4>a,b@, ɬɨ ɦɚɽ ɦɿɫɰɟ ɨɰɿɧɤɚ:

əɤɳɨ f C6>a,b@, ɬɨ

Rh f

d

M4

b

a h4, p

4.

(5)

2880

0

0

4

b

Rh f

Rh f D h , ɞɟ Rh

f

h

³ f (4) x d x ,D h

O h6 .

(6)

2880

Ɂɚɞɚɱɚ

a

32

ɉɨɛɭɞɭɜɚɬɢ

ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɣɧɭ

ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɭ

ɮɨɪɦɭɥɭ

ɞɥɹ

n

3,

x

0

a ,

x

3a b

,x

2

a

3b

,x

b . əɤɢɣ

ɚɥɝɟɛɪɚʀɱɧɢɣ

ɫɬɟɩɿɧɶ

ɬɨɱɧɨɫɬɿ

1

4

4

3

ɜɨɧɚ ɦɚɽ?

9.5. ɉɪɢɧɰɢɩ Ɋɭɧɝɟ [ɋȽ, 169-171]

ɇɟɯɚɣ ɡɚɞɚɧɚ ɞɟɹɤɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ I

(ɫɿɬɤɨɜɚ ɮɭɧɤɰɿɹ,

ɿɧɬɟɝɪɚɥ,

ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɚ

ɮɭɧɤɰɿɹ). ɇɟɯɚɣ Ih

I

ɬɚ Ih

o I

ɩɪɢ h o

0. ɇɟɯɚɣ ɩɨɯɢɛɤɚ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɨɫɬɿ Ih

ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɽɬɶɫɹ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ

0

C hm -

Rh

I

Ih

Rh D h

h , D h

(1)

ɞɟ

0

ɝɨɥɨɜɧɢɣ ɱɥɟɧ ɩɨɯɢɛɤɢ, C

ɧɟ ɡɚɥɟɠɢɬɶ ɜɿɞ

o hm .

Rh

Ɉɛɱɢɫɥɢɦɨ Ih

. Ɂ (1) ɫɥɿɞɭɽ, ɳɨ

2

Chm D h , I Ih C

D h .

I Ih

hm

m

Ɂɜɿɞɫɢ

2

2

m

Ih / 2

Ih

Ch

2m 1 D h .

m

Ɂ (1)

2

0

Ch

m

Ih / 2

Ih

Rh / 2

(2)

2m

2m

1

88

	0	2	m	§		·
		2m	1	©	2	¹
ɬɚ	Rh			¨ Ih		Ih ¸ .	Ɏɨɪɦɭɥɚ (2)	ɧɨɫɢɬɶ ɧɚɡɜɭ	ɚɩɨɫɬɟɪɿɨɪɧɨʀ ɨɰɿɧɤɢ

ɩɨɯɢɛɤɢ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ I ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɧɚɛɥɢɠɟɧɧɹ Ih / 2 . (Ⱥɩɪɿɨɪɧɿ ɨɰɿɧɤɢ ɰɟ ɨɰɿɧɤɢ ɨɬɪɢɦɚɧɿ ɞɨ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɜɟɥɢɱɢɧɢ Ih , ɚɩɨɫɬɟɪɿɨɪɧɿ ɨɰɿɧɤɢ – ɩɿɞ ɱɚɫ ʀʀ

ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ).

Ɂ ɮɨɪɦɭɥɢ (2) ɜɢɬɿɤɚɽ ɬɚɤɢɣ ɚɥɝɨɪɢɬɦ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɿɧɬɟɝɪɚɥɭ ɿɡ ɡɚɞɚɧɨɸ

ɬɨɱɧɿɫɬɸ :									H. əɤɳɨ ɬɚɤ, ɬɨ I Ih0 .
ɨɛɱɢɫɥɸɽɦɨ Ih , Ih ,	Rh0	/ 2	; ɩɟɪɟɜɿɪɸɽɦɨ ɱɢ			Rh0	/ 2
2									2
əɤɳɨ ɠ ɧɿ, ɬɨ							H ɿ ɬ.ɞ.
ɨɛɱɢɫɥɸɽɦɨ Ih , Ih	, Rh0		/ 4 ; ɩɟɪɟɜɿɪɹɽɦɨ Rh0	/ 4

24

ɉɪɨɰɟɫ ɩɪɨɞɨɜɠɭɽɦɨ ɩɨɤɢ ɧɟ ɛɭɞɟ ɜɢɤɨɧɚɧɚ ɭɦɨɜɚ Rh02 k H k 1,2,....

Ɂɚɭɜɚɠɟɧɧɹ Ɇɢ ɞɚɽɦɨ ɨɰɿɧɤɭ ɧɟ ɩɨɯɢɛɤɢ, ɚ ʀʀ ɝɨɥɨɜɧɨɝɨ ɱɥɟɧɚ ɡ ɬɨɱɧɿɫɬɸ

D h ,

ɬɨɦɭ

ɬɚɤɢɣ

ɦɟɬɨɞ

ɦɨɠɟ ɞɚɜɚɬɢ

ɡɛɨʀ,

ɹɤɳɨ ɧɟ ɜɢɤɨɧɚɧɚ

ɭɦɨɜɚ

D h

Rh0

.

Ɂɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɝɨɥɨɜɧɨɝɨ ɱɥɟɧɚ ɩɨɯɢɛɤɢ ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɤɪɚɳɟ

ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɥɹ I :

Rh0

I~h

Ih(1)

Ih

2m

Ih

1

Ih .

(3)

2

m

2

m

2

2

2

2

1

2

1

ɐɟ ɟɤɫɬɪɚɩɨɥɹɰɿɣɧɚ ɮɨɪɦɭɥɚ Ɋɿɱɚɪɞɫɨɧɚ: Ih

I~h

2

D h .

Ⱦɥɹ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɨʀ ɮɨɪɦɭɥɢ ɬɪɚɩɟɰɿɣ p

2 ɿ

0

Ih

Ih

I Ih

Ch2 O h4 , Rh / 2

2

.

Ɇɚɽɦɨ

3

f cc

Rh

h2

b

x

d x

O h

4

O h2

.

12

³

a

Ɉɬɠɟ, ɹɤɳɨ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɜɚɬɢ ɟɤɫɬɪɚɩɨɥɹɰɿɣɧɭ ɮɨɪɦɭɥɭ Ɋɿɱɚɪɞɫɨɧɚ, ɬɨ

I~h

4

Ih

1

Ih

(4)

3

2

2

3

ɿ Ih

I~h

O h4 .

2

Ɂɚɞɚɱɚ 33 ɇɚɩɢɫɚɬɢ ɹɜɧɢɣ ɜɢɝɥɹɞ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɨʀ ɮɨɪɦɭɥɢ, ɹɤɚ ɨɬɪɢɦɭɽɬɶɫɹ ɟɤɫɬɪɚɩɨɥɹɰɿɽɸ Ɋɿɱɚɪɞɫɨɧɚ ɡ ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɨʀ ɮɨɪɦɭɥɢ ɬɪɚɩɟɰɿɣ.

əɤɳɨ ɧɟɜɿɞɨɦɨ m , ɬɨ ɦɨɠɧɚ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɬɢ ɩɪɢɧɰɢɩ Ɋɭɧɝɟ ɞɥɹ ɣɨɝɨ

ɡɧɚɯɨɞɠɟɧɧɹ. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɽɦɨ Ih , Ih	, Ih :
2	4

89

Ih2

Ih

Chm

2m 1 D h , Ih4

Ih2

Chm

2m 1 D h .

2m

22m

Ɂ ɬɨɱɧɿɫɬɸ

D h

ɦɚɽɦɨ

Ih

Ih

2m

2

.

Ih

Ih

Ɂɜɿɞɤɢ

4

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Ih

Ih

m

log

2

.

2

Ih

H

Ih

4

2

Ɉɰɿɧɤɚ

Rh0

- ɧɚɣɛɿɥɶɲ ɬɨɱɧɚ, ɬɨɦɭ I

Ih .

4

4

ɉɨɤɚɠɟɦɨ ɱɨɦɭ ɮɨɪɦɭɥɭ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɿɜ ɪɿɞɤɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɡ

ɩɪɢɧɰɢɩɨɦ Ɋɭɧɝɟ. ɇɟɯɚɣ ɬɨɱɤɢ, ɜ ɹɤɢɯ ɨɛɱɢɫɥɸɽɬɶɫɹ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ
ɩɨɡɧɚɱɚɸɬɶɫɹ: ɜ Ih					l $, ɜ - Ih				2		.
Ⱦɥɹ ɮɨɪɦɭɥɢ ɬɪɚɩɟɰɿɣ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶɫɹ ɬɚɤɿ ɬɨɱɤɢ:
$			$			$			$			$			$		$		$		$ Ih		.
$			$			$			$			$			$		$		$			$ Ih / 2
Ⱦɥɹ ɮɨɪɦɭɥɢ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɿɜ:
	$			$			$			$			$			$		$		$		Ih		.
																						Ih / 2

əɤ ɛɚɱɢɦɨ ɞɥɹ ɮɨɪɦɭɥɢ ɬɪɚɩɟɰɿɣ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɩɿɞɪɚɯɨɜɭɜɚɬɢ ɧɨɜɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜ N ɬɨɱɤɚɯ, ɚ ɞɥɹ ɮɨɪɦɭɥɢ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɿɜ ɜ 2N .

Ⱦɥɹ ɟɤɨɧɨɦɧɨɝɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɨɛɱɢɫɥɟɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɮɭɧɤɰɿʀ ɧɚ ɫɿɬɰɿ ɡ

ɤɪɨɤɨɦ h ɞɥɹ ɮɨɪɦɭɥɢ ɬɪɚɩɟɰɿɣ ɡɚɩɢɲɟɦɨ

xi f b ¸,

Ih

¨ f a

2¦ f

ɬɪ

h §

N 1

·

©

¹

2

§

i

1

·

§

·

Ih2

4

¨ f a 2¦ f xi 2¦ f ¨ xi

12

¸

f b ¸

2

Ih

¦ f ¨ xi

12 ¸. (5)

©

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1

i

1

©

¹

¹

2 i 1

©

¹

ɬɪ h

§

N

1

N

1

·

1 ɬɪ

h N 1

O N , ɚ ɞɥɹ

Ɉɬɠɟ, ɧɚ ɨɞɧɨɦɭ ɤɪɨɰɿ ɩɪɢɧɰɢɩɭ Ɋɭɧɝɟ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɨɛɱɢɫɥɟɧɶ Qɬɪ

Qnp O 2N .

ɐɟɣ ɩɪɢɧɰɢɩ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɽɬɶɫɹ ɿ ɞɥɹ ɮɨɪɦɭɥɢ ɋɿɦɩɫɨɧɚ

m

4.

Ƚɨɥɨɜɧɚ

ɱɚɫɬɢɧɚ ɡɚɥɢɲɤɨɜɨɝɨ ɱɥɟɧɚ ɞɥɹ ɰɿɽʀ ɮɨɪɦɭɥɢ:

0

Ih

Ih

Rh

2

.

2

15

I~h

16

Ih

1

Ih , Ih

I~h

O h6

15

15

2

2

2

Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ

ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ

ɬɚɤ

ɡɜɚɧɢɯ ɚɞɚɩɬɢɜɧɢɯ

ɤɜɚɞɪɚɬɭɪɧɢɯ

ɮɨɪɦɭɥ, ɜ ɹɤɢɯ ɡɦɿɧɧɢɣ ɤɪɨɤ ɜɢɛɢɪɚɽɬɶɫɹ ɡɚ ɩɪɢɧɰɢɩɨɦ Ɋɭɧɝɟ. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɡɚɩɢɲɟɦɨ ɮɨɪɦɭɥɭ ɬɪɚɩɟɰɿɣ ɿɡ ɡɦɿɧɧɢɦ ɤɪɨɤɨɦ:

90