Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 08 Кратн_ кривол_н_йн_ та поверхнев_ _нтеграли / Пар 8-17 Застосування кратних _нтеграл_в та основи векторного анал_зу
.doc
Глава 8
Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли
17. Застосування кратних, криволінійних та поверхневих інтегралів
Про обчислення вимірних об’ємів ми вже розповідали:
|
(1) |
зокрема, у випадках та , ми одержимо формулу для обчислення площі на площині та звичайного об’єму в просторі .
Розглянемо на площині деяку область , яка має площу. Нехай в ній розподілена неперервно маса з густиною , тоді число
|
(2) |
називається масою пластинки. Аналогічно в просторі (і в будь-якому ) масою тіла називається величина:
|
(3) |
Якщо це густини розповсюдження заряду, то з цих формул одержимо заряд тіла, але він може приймати і від’ємні значення.
Статичні моменти відносно координатних осей матеріальної пластинки визначаються за формулами:
|
, |
(4) |
Моменти інерції відносно координатних осей матеріальної пластинки визначаються за формулами:
|
, |
(5) |
Координати центра ваги пластинки знаходяться з співвідношення:
|
, |
(6) |
Аналогічно визначаються статичні моменти для просторового тіла .
Статичні моменти відносно координатних площин знаходяться за формулами:
|
(7) |
Моменти інерції:
|
(8) |
Координати центра ваги :
|
(9) |
Момент інерції відносно початку координат (полярний момент інерції):
|
(10) |
Про довжині дуг та площі поверхонь було розказано в темах криволінійні та поверхневі інтеграли..
Нехай вздовж кусково-гладкої кривої розподілена густина , яка є інтегрованою на . Тоді, зберігаючи всі позначення, маємо обчислення маси, статичних моментів, моментів інерції та координати центра ваги:
|
; ,...; ,...; ,... |
(11) |
Якщо - проста кусково-гладка поверхня в просторі , та вздовж кусково-гладкої поверхні розподілена густина , то маємо:
|
; ,...; ,...; . |
(12) |