Chast_4_3_l_28_29

312

отношению к последнему (в электростатике фиктивный заряд

противоположен по знаку исходному заряду).

Магнитное поле в верхнем полупространстве эквивалентной задачи может быть найдено с помощью принципа суперпозиции и закона полного тока в интегральной форме. Это и будет магнитное поле в верхнем

полупространстве исходной задачи.

Метод интегральных уравнений проиллюстрируем на рассмотренной ранее задаче: магнетик с постоянной магнитной проницаемостью

расположен в заданном магнитном поле H0 (рис. 4.57, поле H0 создается проводящим контуром l с током i ).

Если в системе дифференциальных уравнений (4.106), имеющей место

в магнетике, последнее уравнение записать в более общем виде

B

0 H

0 J ,

(4.125)

где J - вектор намагниченности внутри магнетика, то остальные уравнения

этой системы с учетом (4.125) можно записать в виде:

0,

(4.126)

rot H

div H

div J .

(4.127)

Система (4.126), (4.127) по форме совпадает с уравнениями для электростатического поля зарядов в вакууме (2.101), поэтому введем

обозначение
div						м ,
		J					(4.128)
а систему (4.126), (4.127) запишем так
						0,
rot H							(4.129)
				м .
div H							(4.130)
Здесь м - плотность (фиктивная) магнитных зарядов.
Для рассматриваемой задачи внутри магнетика const							(рис. 4.57),
поэтому:

313

B

B

B

м div J div

H

div

0

0

				1		1					1		1
			div				B							divB 0,
				0									0
			0. Следовательно,
	т.к. divB									магнитные заряды в объеме магнетика

отсутствуют.

Покажем, что магнитные заряды существуют на поверхности S

магнетика. Выражение (4.128), очевидно, в интегральной форме может быть записано так:

					м dV .	(4.131)
		J	dS
S1					V1

Здесь объем V1 ограничен замкнутой поверхностью S1 . Применив это выражение к дискообразному объему V1 , взятому в окрестности точки,

лежащей на S (рис. 4.61), получим:

Рис. 4.61. К выводу выражения для поверхностной плотности магнитных

зарядов

(4.132)

Jn Sосн. м Sосн. .

Здесь м - поверхностная плотность магнитных зарядов на поверхности S .

Из (4.132) следует, что

м Jn

.

(4.133)

Теперь магнитное поле H в рассматриваемой задаче (рис. 4.57) можно

записать в виде:

M

1

м P rPM

dSP .

H

M H0

(4.134)

4

S

rPM3

314

По аналогии с электростатикой (формулы (4.101) и (4.102) лекции 28)

из (4.134) можно получить следующие выражения для предельных компонент напряженности магнитного поля на границе S :

Hn Q H0n Q		1		м P rPQ nQ				м	Q
						dSP				,
		4		rPQ3					2
			S
				м P rPQ nQ					Q	(4.135)
Hn Q H0n Q		1			dSP			м			.
		4		rPQ3					2
			S

Здесь знаком «+» обозначена внутренность S , а знаком «-» внешность S .

Переписав первое из граничных условий в виде

Hn Q 0 Hn Q

иподставив сюда (4.135), получим интегральное уравнение второго рода для поверхностной плотности магнитных зарядов м :

м Q				м P rPQ nQ		2			H0n Q . (4.136)
	0				dSP	0
	2 0			rPQ3		0
		S

Это интегральное уравнение по форме совпадает с интегральным уравнением (4.104) для подобной электростатической задачи. И поэтому все рассуждения об интегральном уравнении (4.104) лекции 28 переносятся на интегральное уравнение (4.136).

После решения интегрального уравнения (4.136) поле H вычисляется по формуле (4.134).

Вопросы и задачи к лекции 29

301-1. Запишите уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной формах для магнитного поля стационарных токов.

302-2. Запишите граничные условия на границе раздела двух сред для магнитного поля стационарных токов.

315

303-3. Получите дифференциальные уравнения и граничные условия для векторного потенциала магнитного поля стационарных токов.

304-4. Получите дифференциальные уравнения и граничные условия для скалярного магнитного потенциала магнитного поля стационарных токов.

305-5. Как изменится постановка краевой задачи, описанной в лекции,

если вместо const положить ?

306-6. Сформулируйте теорему эквивалентности для магнитного поля стационарных токов.

307-7. Бесконечно длинный круговой цилиндр радиуса R расположен в поле прямолинейного бесконечно длинного проводника с током i (рис. 4.62).

Проводник параллелен оси цилиндра. Расстояние от проводника до оси цилиндра r . Магнитная проницаемость материала цилиндра . Найдите магнитное поле H вне цилиндра методом зеркальных отображений.

Рис. 4.62. Ферромагнитный цилиндр с в поле прямолинейного проводника с током

308-8. Решите предыдущую задачу методом интегральных уравнений.

Лекция 30

68. Расчет магнитного поля постоянных магнитов при известном

распределении вектора намагниченности

Постоянный

магнит

представляет

собой

ферромагнетик,

намагниченность которого не убывает до нуля после снятия внешнего

магнитного поля.