Chast_3_2_l_19-21

224

4-мерным тензором 2-го ранга называется совокупность 16-ти величин,

которые при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой преобразуются по закону

	(3.52)
A A ,

где матрица имеет вид (3.51). Здесь подразумевается суммирование по λ и

μ. Распишем (3.52), например, для Aхх

Aхх хх хх Aхх хх хy Aхy хх хz Aхz хх х Aх .
Как и у 4-мерного вектора, -компоненты 4-мерного тензора, т.е.
величины Aх ,	Ay , Az , A ,	A x , A y ,	A z являются чисто мнимыми, а все
остальные –	вещественными.	Всякий	тензор A	можно разложить на

симметричную и антисимметричную (относительно перестановки значков)

части, написав

A 12 A A 12 A A AS AaS .

Условие симметрии: AS AS , условие антисимметрии: AaS AaS .

Важную роль в дальнейшем будет играть чисто антисимметричный тензор. Из условия антисимметрии вытекает, что у таких тензоров имеется шесть независимых компонент, и их можно представить в виде таблицы

	0	Axy	Axz	Ax
AaS	Axy	0	Ayz	Ay
	Axz	Ayz	0	Az
	Ax	Ay	Az	0

Зная вид матрицы , можно найти закон преобразования компонент

этого антисимметричного тензора

i

v

v

Aхy

c

c

Aхy х y A

,

1

v2

1

v2

1

v2

c2

c2

c2

i

v

v

c

A z

Aхz i

c

Az

Aхz

Aхz х z A

,

1

v2

1

v2

1

v2

c2

c2

c2

v2

2

c

A x

Aх

Aх х A

v2

v2

Aх ,

1

1

c2

c2

,

Ayz y z A Ayz

i

v

v

c

Ayх

Ay i

c

Axy

Ay

Ay y A

,

1

v2

1

v2

1

v2

c2

c2

c2

i

v

v

c

Azх

Az i

c

Axz

Az

Az y A

.

1

v2

1

v2

1

v2

c2

c2

c2

225

(3.53)

Теперь введем тензор электромагнитного поля. Ранее мы ввели 4-мерный вектор потенциала

		A
		i
	A Ax , Ay , Az ,		.
		c

Для компонент электрического поля Е из выражения

Е grad At

можно записать

226

Еx

Еy

Еz

x

y

z

Axt

Ayt

Azt

ic A

x

ic A

y

ic A

z

		A
			x				,
			A
			y				,		(3.54)
	A
			z		.

Компоненты магнитного поля В выражаются через компоненты вектора

потенциала обычными соотношениями

ex

ey

ez

В rotA

x

y

z

Ax

Ay

Az

A

Ay

A

A

Ay

A

В

x

z

, В

y

x

z , В

x

(3.55)

y

z

z

x

z

x

y

Симметрия формул (3.54) и (3.55) побуждает нас попытаться записать всю их совокупность в виде одной общей формулы. Именно, введем тензор F

с помощью соотношения

F A A .

x x

Из этого соотношения вытекает, что тензор F является антисимметричным. Вычисление компонент тензора F приводит к таблице

			0
		Bz
	F
		B
			y
	i
			Ex
	c

By

i

Bz

Ex

c

i

0

B

E

x

c

y

(3.56)

i

B

0

E

x

z

c

i

i

Ey

Ez

0

c

c

Мы видим, что все компоненты векторов электрического и магнитного полей оказываются компонентами одной тензорной величины F . Уравнения

227

Максвелла представляют собой систему уравнений для компонент тензора F .

Именно, если написать для F уравнение

F

F

F

0

,

(3.57)

x

x

x

то полагая ,

и последовательно равными x ,

y , z и

и пользуясь

определением (3.56) мы найдем, что это четырехмерное уравнение представляет запись двух уравнений Максвелла.

x ,

x , x :

Fxx

Fxx

Fxx

0 – тождество;

x

x

x

F

Fxy

Fyx

x ,

x , y :

xx

0

– тождество;

y

x

x

x ,

x , z :

Fxx

Fxz

Fzx

0 – тождество;

z

x

x

F

F

F x

x ,

x , :

xx

x

0

– тождество;

x

x

Fxy

Fyx

F

x ,

y , x :

xx

0

– тождество;

x

x

y

x ,

y , y :

Fxy

Fyy

Fyx

0

– тождество;

y

x

y

Fxy

Fyz

F

B

B

x

By

x ,

y ,

z :

zx

0 –

z

0

z

x

y

z

x

y

( div

0 )

B

Fxy

Fy

F

B

i

Ey

i E

x

x , y , :

x

0 –

z

0

x

y

ic t

x

c y

c

Ey

E

x

B

z

x

y

t

x ,

... и т.д., т.е. уравнение (3.57) эквивалентно уравнениям

228

rot E B ,

t div B 0 .

Аналогично, написав четырехмерное уравнение

F

0

,

(3.58)

x

можно убедиться, что оно охватывает два векторных уравнения

1

E

rot

B

с2

t

0

div

.

E

0

На самом деле

x :

F

Fxy

F

F

B

By

i E

xx

xz

x

x

;

z

x

x

;

x

y

z

0

y

z

c ic t

0

B

By

1

E

x

z

x

– проекция закона полного тока на ось х;

y

z

c2

t

0

y – проекция закона полного тока на ось у;

z – проекция закона полного тока на ось z;

:

F x

F y

F z

F

ic ,

x

y

z

0

i E

x

i Ey

i E

z

ic

; div E

.

c x

c y

c z

0

0

Формулы (3.57) и (3.58) представляют релятивистски-инвариантную форму записи системы уравнений Максвелла.

50. Преобразование векторов электромагнитного поля при переходе

от одной инерциальной системы отсчета к другой

229

Используя формулы преобразования компонент четырехмерного антисимметричного тензора при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой (3.53) и выражение для антисимметричного тензора электромагнитного поля (3.56) можно получить формулы преобразования компонент векторов электромагнитного поля E и B при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой:

v

Вz

Ey

Вz

c2

,

1

v2

c2

В

v

E

В

v

E

Вy

y

c2

z

Вy

y

c2

z

,

,

1

v2

1

v2

c2

c2

i

i

E

x

E

,

E

x

E

,

B

x

B

,

(3.59)

c

c

x

x

x

i

i

i

Ey

vBz

Ey

c

c

,

Ey

Ey vBz

,

c

v

2

1

v

2

1

c2

c2

i

i

i

Ez v By

Ez

c

c

,

Ez

Ez

vBy

.

c

v

2

1

v

2

1

c2

c2

Мы видим, что утверждения типа «поле имеет чисто электрический» или

«чисто магнитный характер» являются относительными. Электрическое или магнитное поле может быть равно нулю в одной системе отсчета и отличаться от нуля в другой. Бессмысленно поэтому приписывать физическую реальность отдельно взятым электрическому и магнитному полям. Физической

230

реальностью является их совокупность, выражаемая тензором электромагнитного поля F .

В предельном случае v c формулы преобразования векторов поля существенно упрощаются

v

,

v

Bx Bx , By By

c2

Ez

Bz Bz

c2

Ey

ex

ey

ez

v

0

0

e

vE

e

vE

.

vE

y

z

z

y

Ex

Ey

Ez

Поэтому

v

E

B B

c2

,

(3.60)

Ex Ex ,

Ey Ey vBz

Ez Ez

vBy

EE vB .

Вопросы и задачи к лекции 21

234-1. Запишите коротко преобразования компонент четырехмерного вектора при переходе к другой инерциальной системе отсчета, используя матрицу .

235-2. Что называется четырехмерным тензором 2-го ранга?

236-3. Запишите разложение тензора A на симметричную и

антисимметричную части.

237-4. Сколько независимых компонент у антисимметричного тензора?

238-5. Выведите формулы преобразования компонент антисимметричного тензора.

239-6. Как вводится тензор электромагнитного поля F ?

231

240-7. Запишите выражение тензора электромагнитного поля через

компоненты.

241-8. Какому уравнению для тензора электромагнитного поля

эквивалентны два уравнения Максвелла: rot

B

и div

0 ?

E

B

t

242-9. Какому уравнению для тензора электромагнитного поля

и div

?

1

E

эквивалентны два уравнения Максвелла: rot

B

E

с2

t

0

0

243-10.Выведите формулы преобразования векторов электромагнитного поля при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

244-11. Как упрощаются формулы предыдущего вопроса при v c ? 245-12. В системе отсчета О', движущейся относительно системы О со

скоростью			v ex 200 м / с ,	индукция магнитного поля в некоторой точке и в
			момент времени					0, а напряженность электрического поля
некоторый							В
		ey1000 В / м . Найдите
	Е			В и Е в системе О в этой же точке и в этот же
момент времени.