ЛекцияАИУС2011

81

очереди и их обслуживания будут равны:

̅

(1 ) 1

1

средняя длина интервала между соседними заявками.

Пусть с – коэффициент, учитывающий эксплуатационные затраты в единицу времени. Тогда расходы на эксплуатацию обслуживающего устройства с⁄

Суммарная стоимость обслуживания заявок и потерь за счёт их пребывания в системе равна:

1

Минимум Q по r достигается при:

, т.е. при

√

(1 √ ) (11)

Это и есть оптимальное значение параметра обслуживающего устройства при заданном потоке заявок λ и стоимостном выражении простоев в очереди b и эксплуатационных расходов с.

Если поток заявок интенсивности λ обслуживает не одно обслуживающее устройство, а несколько, например m устройств, то среднее время пребывания заявки в очереди определяется выражением:

̅				, (12)
ож	( )(	⁄	)
где множитель определяется из условия ∑		(	) 1 и равен:

1

∑(1 ⁄ )

Заметим, что при m=1 выражение (12) в точности совпадает с выражением (9).

Рассмотрим числовой пример:

Пусть цех состоит из станков-автоматов, изготавливающих однотипные детали. По мере работы происходит расстройка станка, требующая его переналадки, которую осуществляет рабочий – наладчик. Цех может обслуживаться несколькими наладчиками. Если бы необходимость в очередной переналадке очередного станка появилась в момент, когда освобождается кто-то из наладчиков, то длина очереди(станков, ждущих наладки) и время простоя наладчиков равнялась бы нулю. Однако в действительности интервал между расстройками станка, а также время его наладки являются случайными величинами. Поэтому в некоторые промежутки времени образуется очередь станков, ждущих обслуживания, а в другие промежутки простаивают наладчики. Вследствие этого возникает задача минимизации суммарных потерь из-за простоя станков и наладчиков.

82

Вданном случае обслуживающим устройством является бригада наладчиков, а параметр, который можно оптимизировать – количество человек в бригаде(при условии, что нельзя уменьшить время переналадки, например, за счёт повышения квалификации наладчиков).

Врезультате проведения экспериментальных исследований было установлено, что для одного

наладчика среднее время между заявками на наладку составляет						3 мин., т.е.
					̅
						мин., т.е.			мин. Следо-
	мин , а средняя продолжительность наладки равна обсл
вательно,					1, 3 1, т.е. при одном наладчике, обслуживающем все станки, очередь

будет неограниченно расти, и наступит момент, когда все станки остановятся в ожидании переналадки. Ясно, что наладчиков должно быть несколько, но как выбрать это оптимальное чис-

ло?

Определим по формуле (12) среднее время пребывания станка в очереди для различного числа наладчиков (m=2,3,4). Для m=2 имеем:

										1,			3					1
(		)					1																	1					,1
			∑		(1,	3)				(1,			3)					1				1,		3 3,
										(1			1,		3)
( )					,1																,1
̅
										(1,			3)												(1, 3)				мин.
ож						1,	3)										,				(	,		)
,					(1
										(	)	,	( )		и		(	)		,	(	)
Аналогично можно вычислить значения													ож̅								ож̅
Соответствующие значения сведены в табл. 1.
											Таблица 1
					r					m							P0								̅
																									ож
					1,43					2					0,166										52
					1,43					3					0,228										6,8
					1,43					4					0,237										1,3

Как следует из таблицы, среднее время пребывания станка в очереди быстро убывает с ростом числа m, однако при этом растут расходы на оплату труда каждого лишнего наладчика. Нужно определить оптимальное число наладчиков, минимизирующее суммарные расходы в виде потерь на простои станков и оплаты труда дополнительных наладчиков. Будем рассматривать односменный рабочий день продолжительность 8 часов. Тогда в течение одного дня в среднем

возникает	ч	мин		13, заявок.
		мин

83

Поскольку среднее время выполнения заявки равно 50 мин., то для обслуживания 13,7 заявок

потребуется в среднем	,	мин		11, часов.
		мин

Так уже отмечалось, один наладчик не управится в течение 8 часов с таким количеством заявок.

	При двух наладчиках время обслуживания возрастает до			(	)	ч 1 ч.
				обсл
	Но при этом возникает недогрузка наладчиков, которая в среднем равна
	( )	1	11,		,1ч.

Из таблицы видно, что при двух наладчиках среднее время простоя станка в ожидании наладчи-

ка равно	( )	мин. Поскольку за рабочий день возникает в среднем 13,7 заявок, то общее
	ож
время простоя станков в день составит
		(	)	мин 13,	13мин 1 часов
		пр

Пусть 1 час работы наладчика оценивается в 15т руб., а час простоя станка – 20 т руб. В этом случае потери за счёт недогрузки наладчиков составят

( )	1 т ,1	1, т руб.
нал

Потери за счёт простоя станков

( )

ст

Общие потери составят

( )

общ

т 1	т руб.
1, т	т 3 1, т руб.

Если бригада наладчиков состоит из трёх человек, то соответствующие величины равны:

( ) ( )обсл

3	ч
11,	1 ,1ч

			( )
			̅	,	мин
( )			ож
		,	13,		3мин		1, ч
пр
(	)	1	1	,1	1	т руб;
нал( )			1		3 т руб
	ст
( )		1	т	3	т	1	т руб.
общ

Как видно, общие потери уменьшились. Для бригады наладчиков, состоящей из четырёх человек, имеем:

			(	)			3 ч
			)обсл
		(			11,				,1ч
				3
				( )
				̅	1,3 мин
	( )			ож
		1,3 13,			1	,	мин		,3 ч
	пр
	(	)	1		,1	3	1,		т руб
	нал
		( )			,3		,	т руб
		ст
	( )		3	1,	,		3	,3т руб.
	общ

84

Произошло увеличение потерь по сравнению с бригадой из трёх человек. Причём это увеличение происходит за счёт оплаты работы дополнительных наладчиков. Ясно, что эта тенденция будет сохраняться при дальнейшем увеличении количества наладчиков.

Таким образом, оптимальное число наладчиков в бригаде равно трём при данной интенсивности

потока заявок		мин и среднем времени обслуживания каждой заявки		мин.

3.3 Модель управления запасами.

Возникновение задачи управления запасами обусловлено взаимодействием двух сторон: поставщика и заказчика.

Оптимальное управление запасами сводится к решению заказчиком оптимизационной задачи по определению наивысшего объема и времени (момента) заказа, которые минимизируют расходы по хранению запасов и штраф за срыв поставок потребителю готовой продукции.

В условиях предприятия возможны три основных типа запасов, обусловлены разным содержательным смыслом понятий «поставщик» и «заказчик» в пределах одного предприятия.

Это следующие типы запасов:

1.Запасы сырья, материалов и комплектующих изделий, которые необходимо для производства конечного продукта предприятия;

2.Промежуточные запасы полуфабрикатов, производимых самим предприятием, которые используются на последующих стадиях производства;

3.запасы готовой продукции предприятия.

При создании запасов первого типа заказчиком является предприятие в целом, а поставщиком внешние организации. Основные назначение этого вида запасов – ослабить зависимость производственного ритма предприятия от слоев в работе предприятий поставщиков и работе транспорта. Задача управления запасами первого типа решается в подсистеме машинно-технического снабжения.

Для запасов второго типа поставщиком и заказчиком являются разные участники самого предприятия. Назначения запасов этого типа обусловлено двумя основными факторами:

а) стремлении ослабить зависимость производственного ритма различных участников производства при цепочечной структуре предприятия, ибо задержках на одном участке ведет лавинообразное нарастание задержек в последующих участках цепи, что вызывает простои и, как следствие, существенные экономические потери.

б) экономической целесообразностью выпуска продукции данного вида крупными партиями (переход с одного вида продукции на другой связан с переналадкой оборудования или изменением технологического процесса). Для запуска в производство очередной партии продукции данного вида необходимо иметь начальный запас.

Задача управления запасами второго типа решается в подсистеме оперативного управления основным производством.

Для запасов третьего типа поставщиком является предприятия в целом, а заказчиком – потребитель готовой продукции предприятия. Необходимость создания запасов этого типа связана с тем, что предприятие в случае срыва плана поставок готовой продукции подвергается штрафу. Поэтому целесообразно иметь некоторый запас готовой продукции, который мог бы компенсировать непредусмотренные сбои в производственном ритме предприятия и естественные колебания спроса на готовую продукцию.

Рассмотрим основные понятия, используемые в операционной модели управления запасами.

Q – объем пополняемого запаса (объем заказываемой партии), шт.;

85

u – скорость поступления заказной партии, шт./ед.вр.; возможно u=∞, т.е. мгновенное поступление всей партии Q;

V – скорость расходования запаса шт./ед.вр.;

tQ – интервал между соседними заказами, ед.вр.; T – рассматриваемый период времени, ед.вр.

Рассмотрим издержки, связанные с созданием и содержанием запаса. Эти издержки можно сгруппировать следующим образом:

1)затраты на создание запаса;

2)затраты на закупку партии;

3)затраты на хранение запасов.

Затраты на создание запаса включают расходы на оформление заказа, размещение и заключение договоров, почтовые и телеграфные расходы, расходы по разъемам агентов снабжения, оплату учетных операций и т.д. в первом приближении можно считать, что затраты на создание запаса не зависят т объема заказа Q. Обозначим затраты на создание запаса а, руб.затратами на закупку партии определяется закупочными ценами единицы запасами продукта и объемом партии Q. Затраты этого вида неизбежны в том случае, если необходимый продукт непрерывно поставляется и тут же потребляется без образования запаса. Поэтому эти затраты не участвуют в модели создания и содержания запасов.

В затраты на хранение запасов входят расходы на складские операции; амортизационные расходы использования складского помещения; потери за счет омертвления средств при хранении запаса; потери за счет порчи и морального старения хранящегося продукта; погрузочно-разгрузочные, транспортные расходы и т.д. пусть расходы на хранение единицы продукта в единицу времени составляют b, руб./ед.вр. Обозначим расходы в течение цикла tQ на создание и хранение единицы продукта с, руб./шт. Эта величина складывается из затрат на создание в запас единицы продукта (1-я группа) и затрат на хранение единицы продукта (3-я группа)

Пусть за период Т можно произвести несколько заказов на однородный продукт с объемом каждого заказа Q. Если размер разового заказа велик, то число поставок за период Т небольшое, и издержки 1-й группы не велики, но при этом возвращает среднее количество хранимого заказа и возрастают затраты 3-й группы.

Если же делать заказы малыми партиями, то затраты на хранение небольшого запаса будут не велики, но зато из-за большого количества поставок в течение периода Т возрастут затраты на оформление большого числа заказов (издержки 1-й группы). Таким образом, задача определения наилучших значений Q и tQ является оптимизацией суть ее сводится к отысканию оптимальных значений Q и tQ, минимизирующих суммарные расходы на создание и хранение запасов за весь плановый период Т.

Рассмотрим задачу определения значений Q и tQ для двух моделей: для модели без страховых запасов и для модели со страховыми запасами.

Модели без страховых запасов.

Предполагается, что u и V (u > V) постоянные величины и в момент полного исчерпания запасов начинается новая поставка, т.е. дефицит продукта не опускается. Графически действие такой модели изображено на рисунке.

86

Q(t)

Q	max

t

t'

t	Q

T

u – скорость поступления заказанной партии; V – скорость расходования запасов;

Т – плановый период времени; Q(t) – уровень запасов.

Уровень запасов в период полного цикла tQ движения запасов, начинающихся в

момент времени t=0 можно записать следующим образом:
u V t		0 t t
			(1)
Q t	V t t	t t t Q
Q
max

Примем во внимания следующие очевидные соотношения:

t	Q	; t	Q		Q	; Q	u V t , где Q объем заказа.
	t				V	max

С учетом (2) выражение (1) можно переписать в виде:

				0 t		Q
u V t
						u
Q t			Q		Q
		V t		t
Q	max
			u		V

(2)

Определим средний объем запаса (Qср) за цикл tQ;

t

Q

Q

Q

1

V

u

V

Q

V

Q

Q

Q t dt

u V tdt

Q Vt dt

1

Q

1

ср

t

Q

2

u

2

0`

0

Q

u

(3)

Тогда среднее время хранения единицы запасенного продукта равно:

t			Qср		Q	1
	ср
			V 2V

Пусть b, руб/(шт.ед.вр.), есть затраты на хранение единицы продукта в единицу времени. Тогда за цикл tQ удельные затраты на хранение единицы запасенного продукта, руб./шт., составляет:

b t

bQ

1

(4)

cp 2V

Удельные затраты на создание в запас единицы продута, руб./шт., равны:

	a	, где a затратына созданиезапаса( руб.)
	Q
		(5)

87

Тогда суммарные расходы на создание и хранение единицы запаса, руб./шт., в течение цикла tQ составляет:

	C			bQ	1	a
		(k )		2V		Q

(6)

Изобразим графически (6):

C

С0

		затраты
			хранение
		Суммарныена
		Затарты
		Затраты на
		создание
			в запас
Q	0		Q

Определим оптимальный объем заказываемой партии Q0 из условия:

dC		b	1			a			0
dQ Q Q		2V					2
						Q
0
Решая получим:
				Q					2Va
						b 1
				0
										(7)
Если поставка осуществляется мгновенно, т.е. λ=0 и u=∞, оптимальный объем
партии равен:
				Q		2Va
				0				b		(8)
Из сопоставления (8) и (7) следует, что при постепенной поставке заказа объем

заказываемой партии должно быть больше.

Величина удельных дополнительных расходов при оптимальном объеме заказа Q0 равна:

С0

2ab 1

V

(9)

Наконец, оптимальная величина интервала между соседними заказами состав-

ляет:

Q0

t Q

2a

0

V

Vb 1

(10)

Рассмотрим числовой пример.

Предприятию требуется в год 24000 деталей определенного типа, исползуемых как комплектующие изделия. Поставщики могут поставлять ежедневно 100 дет. Рас-

88

ходы на оформление заказов на отдельные партии деталей составляют 350 руб. стоимость хранения 1000 дет. в месяц 100 руб.

Требуется определить оптимальный объем заказываемой партии деталей Q0,

		t	Q
	дискретность возобновления заказов		0	и суммарные годовые расходы СΣ за счет со-

здания и содержания запасов.

В рассмотренных выше понятиях условие задачи выглядит следующим обра-

зом:

Период Т=1 год; расход на создание запасов а=350 руб; расход на хранение одной детали в месяц b=0,1 руб/(дет.мес.); скорость расходования деталей

	V	24000	2000
		12
			дет./мес.; скорость поставки деталей

Определим оптимальный размер заказа:

u 100 30 3000

дет./мес.

Q			2Va				2 2000 350			6500дней
	0				V				2000
			b 1				0,1 1
					u				3000

Оптимальны интервал между соседними заказами:

t	Q		2a				2 350			3,25 мес
	0				V				2000
			Vb 1				0,1 2000 1
					u				3000

Удельные суммарные расходы на создание и содержания запасов:

					V				2
			2ab 1				2 350 0,1 1
С					u				3	0,108 руб. / дет.
	0		V				2000

Годовые суммарный расходы на образование и хранения запасов:

С	0	0,108 24000 2620 руб / год

Модель с нулевым страховым запасом является явно не надежной, так как в случае задержки в поставке очередной партии на время ∆t это время представляет собой чистый простой производства. Потери от простоя исчисляются суммой зарплаты и амортизационными отчислениями за это время плюс потери от сдвига на ∆t поставок готовой продукции заказчику. Если речь идет о промежуточном складе технологической цепи, то возникновение дефицита оборачивается значительными потерями и распространением задержек по всем последующим звеньям технологических цепочек. Поэтому более реалистичной является модель управлениями запасами, предполагающая наличие некоторого страхового запаса Qстр.

Модель со страховым запасом Qстр.

Графически действие этой модели изображено на рисунке

2Va

b 1

89

Q

Qстр

t'	t

tQ

T

	V		t	Q			Q	Q
		;			;	t		.
	u			u				V

Привлекая рассуждения, которые использовались при рассмотрение предыдущей модели, нетрудно получить следующие результаты. Среднее количество запаса Qср за цикл tQ составит:

t

Q

Q

Q t dt

стр Q

t

Q

1

Q

Q

стр

t

Q t dt Q

стр

1

Q

Q

Q

cp

t

t

2

0

0

При постоянной скорости расходования запасов V среднее время хранения

единицы запасенного продукта будет равно:

t

Qcp

Q

1

Qстр

cp

V

2V

V

(11)

Удельные затраты за цикл на создание в запас единицы продукта, руб./шт.,

a

равны по-прежнему

Q

.

В это выражение не входят расходы на образование Qстр, поскольку страховой запас создается однажды и циклически не возобновляется. Дополнительные расходы на запасание и хранения единицы, руб./шт., для заказа объемом Q составляет:

C

bQ

1

bQстр

a

2V

V

Q

(12)

Определим С0:

dC

b 1

a

0, откуда

Q2

dQ

Q Q0

2V

Q0

(13)

Следовательно, оптимальный объем заказываемой партии в модели со страховым запасом такой же, как и для модели без страхового запаса. Это означает, что и выражение для оптимального интервала восполнения заказов имеет прежней вид:

t Q

Q0

2a

Vb 1

0

V

(14)

Величина удельных дополнительных расходов С0, соответствующая Q0, равна:

bQстр

C0

2ab 1

V

V ,

(15)

90

	bQ	стр
что отличается лишь постоянным слагаемым	V		от расходов для модели с

нулевым страховым запасом.

В модели страховых запасов весьма существенным является вопрос определе-

		Q	стр		Q	стр
	ния оптимального уровня страхового запаса			. Для определения			необходимы
		0			0

предположения о вероятностном поведения задержек пополнения запасов ∆t и потерях заказчика в результате этих задержек.

Предположим:

Задержка ∆t в выполнении данного заказа не зависит от задержек выполнения других заказов;

Вероятность того, что эта задержка превзойдет время t, выражается экспоненциальной зависимостью. т.

P t t e			t	,	тогда
P t t F t 1 e							t
Плотность вероятности случайной величины ∆t имеет вид:
f t	dF t				e	t
	d t
Для экспоненциального распределения:
M t	1	, ед. вр., средняяпродолжительность задержки
и следовательно, γ выражается в 1/ед.вр. Физический параметр γ составляет
								1
среднему количеству задержек в единицу времени, а величина									есть средняя про-

должительность задержек ∆t. Предположим далее, что потери заказчика в единицу времени простоя равны B, руб./ед.вр.

Время, в течение которого хватит страхового запас для работы с прежним расходом V, равно:

стр

Q

стр

t

V

Если задержек t t стр , то заказчик начинает нести потери вследствие простоя.

Величина этих потерь равна

B t t

стр

, которое можно представить в виде:

B M B t t

стр

BM t t

стр

Плотность вероятности случайной величины ( t tстр ) изображена на рисунке.