Часть 2
.pdfПримерный вариант
|
0 |
1 |
3 |
0 |
2 |
|
|
2 |
4 |
1 |
5 |
3 |
|
Найти ранг матрицы: |
. |
|||||
|
4 |
5 |
7 |
10 |
0 |
|
|
|
Решение.
Последовательно осуществляем линейные преобразования строк данной матрицы для приведения ее к ступенчатому виду.
1) Переставим в данной матрице первую и вторую строки.
2) Умножим на 2 первую строку и прибавим ее к третьей, полу-
|
|
2 |
4 |
1 |
5 |
3 |
|
чим: |
|
0 |
1 |
3 |
0 |
2 |
|
|
. |
||||||
|
|
0 |
3 |
9 |
0 |
6 |
|
|
|
|
3) Умножим на (-3) вторую строку и прибавим ее к третьей, по-
|
2 |
4 |
1 |
5 |
3 |
|
|
0 |
1 |
3 |
0 |
2 |
|
лучим: |
. |
|||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
Таким образом, получили матрицу ступенчатого вида, эквивалентную заданной. Очевидно, что все миноры третьего порядка равны нулю. Легко указать минор второго порядка, не равный нулю. Следовательно, ранг равен 2: rang = 2.
1.2 Системы линейных уравнений
Задание 1.2.1. Решить систему уравнений тремя способами:
1)методом Гаусса;
2)методом Крамера;
3)матричным методом.
11
Номер |
Система уравнений |
Номер |
Система уравнений |
|||||||||||||
варианта |
варианта |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2x 3y z 17 |
|
3x y 4z 0 |
|||||||||||||
1 |
|
|
y 3z 2 |
12 |
|
|
|
|
|
|
||||||
5x |
2x 4 y 3z 10 |
|||||||||||||||
|
4x |
|
3y |
2z 16 |
|
6x y 2z |
9 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2x 2 y z 11 |
|
3x 2 y 3z 0 |
|||||||||||||
2 |
|
2 y 3z 7 |
13 |
|
|
5y |
3z 1 |
|||||||||
x |
x |
|||||||||||||||
|
6x 5y z |
26 |
|
2x 3y 4z 3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x y 2z 2 |
|
2x 2 y 3z 1 |
|||||||||||||
3 |
|
|
|
3y |
7z 22 |
14 |
|
|
|
|
|
15 |
||||
2x |
x 5y 2z |
|||||||||||||||
|
4x |
3y |
10z 11 |
|
2x y 7z |
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 4 y 9z 28 |
|
2x y 2z 9 |
|||||||||||||
4 |
|
|
|
3y |
6z 1 |
15 |
|
|
3y |
3z |
0 |
|||||
7x |
x |
|||||||||||||||
|
7x |
|
9 y |
9z 5 |
|
4x 2 y 3z 4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x y z 6 |
|
2x 3y z 3 |
|||||||||||||
5 |
|
3y 2z 2 |
16 |
|
|
|
|
4z 8 |
||||||||
x |
2x y |
|||||||||||||||
|
2x 2 y z |
3 |
|
3x 2 y 5z 6 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4x 2x x 1 |
|
5x 2 y 2z 3 |
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|||||
6 |
x1 |
x2 |
x3 |
2 |
17 |
3x y 4z |
||||||||||
|
2x x |
3x 3 |
|
x 3y 5z 5 |
||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x 2 y 3z 6 |
|
3x 7 y z 3 |
||||||||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
z 3 |
18 |
|
|
2 y |
2z 0 |
||||
|
2x y |
x |
||||||||||||||
|
|
3x 4 y z 2 |
|
3x y |
4z 3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y 2z 3 |
|
5x 3y z 4 |
||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
3z 9 |
19 |
|
|
|
|
|
|
||
|
2x y |
2x 5y 2z 11 |
||||||||||||||
|
|
x |
|
2 y |
z |
8 |
|
x 2 y |
3z |
7 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 y 3z 6 |
|
4x y 2z 9 |
|||||||||||||
9 |
|
|
3y |
4z 20 |
20 |
|
|
3y |
5z |
12 |
||||||
2x |
5x |
|||||||||||||||
|
3x |
|
2 y |
5z 6 |
|
8x |
3y |
7z |
20 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 2 y 3z 1 |
|
2x 3x 11x 7 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|||
10 |
2x 5y 4z 1 |
21 |
x1 |
x2 |
5x3 |
3 |
||||||||||
|
x |
3y |
4z 2 |
|
2x x |
3x 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|||
|
2x 3y 4z 20 |
|
x 2 y 3z 7 |
|||||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
8 |
|
x 5y 2z 16 |
2x y 2z |
|||||||||||||||
|
4x |
|
4 y |
3z 21 |
|
4x 3y 2z 8 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2x 3y 4z 7 |
|
5x 3y 4z 3 |
|
||||
23 |
|
|
2 y 3z 5 |
27 |
|
|
|
||
|
x |
3x y 6z 1 |
|
||||||
|
|
2x y 2z 7 |
|
2x 2 y 5z 7 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 4x2 x3 1 |
|
2x y z 8 |
|
|||||
|
|
|
5x2 |
3x3 1 |
|
|
5z 6 |
|
|
24 |
3x1 |
28 |
x 3y |
|
|||||
|
6x |
8x |
x 3 |
|
3x y |
7z 4 |
|
||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3x 2 y z 1 |
|
4x 3y z 2 |
|
||||
25 |
|
|
y 2z 2 |
29 |
|
|
|
||
|
x |
x 2 y 2z 6 |
|
||||||
|
|
2x 2 y |
5z 3 |
|
3x y |
2z 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 2 y 4z 15 |
|
2x 2 y 3z 1 |
|
||||
26 |
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
4x 3y 5z 5 |
x 2 y 7 |
|
||||||
|
|
x 6 y |
3z 3 |
|
3x 2 y 8z 11 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примерный вариант
3x 2 y z 2,
Решить систему уравнений 2x y 2z 2,
4x 3y z 1.
Решение.
1)Метод Гаусса.
Расширенная матрица этой системы имеет вид:
3 |
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
. |
||
|
4 |
3 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Умножим элементы первой строки этой матрицы на |
|
и |
|
|
|
3 |
прибавим к соответствующим элементам второй строки. Аналогич-
|
|
4 |
|
но, умножим элементы первой строки на |
|
и прибавим к соот- |
|
|
|
3 |
ветствующим элементам третьей строки. В результате получим матрицу:
13
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
7 |
|
4 |
|
|
|
10 |
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
3 |
|
3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь умножим элементы второй строки полученной матрицы |
|||||||||||||||||||||||||||||||
на |
|
1 |
|
|
и прибавим к соответствующим элементам третьей строки. |
|||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
15 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
7 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Таким образом, получаем систему: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3x 2 y z |
|
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
7 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
откуда z = 1, y = 2, x = -1. |
|||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
, |
|
|||||||||||||||||
|
3 |
3 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
15 |
|
z |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
7 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ответ: 1; 2; 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2) Метод Крамера. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Вычислим определитель матрицы системы, разложив его по |
||||||||||||||||||||||||||||||
элементам первой строки: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∆ = |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
= 3(1 – 6) − 2(−2 − 8) + 1(6 + 4) =15. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как ∆ = 15 ≠ 0, то данная система имеет единственное решение. Вычислим определители x , y , z :
14
|
2 |
2 |
1 |
|
|
|
x |
|
2 |
1 |
2 |
|
= 2(1 − 6) – 2(2 − 2) + 1(−6 + 1) = −10 − 5 = −15, |
|
1 |
3 |
1 |
|
||
|
2 |
1 |
|
|
||
|
3 |
|
|
|||
y |
2 |
2 |
2 |
= 3(2 − 2) − 2(−2 − 8) + 1(2 + 8) = 20 + 10 =30, |
||
|
4 |
1 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
1 |
2 |
= 3(−1 + 6) − 2(2 + 8) + 2 (6 + 4) = 15 − 20 + 20 = 15. |
||||||||||||
|
|
4 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем решение по формулам Крамера: |
|
|
|
|
||||||||||||
х = |
х = |
15 1, |
y = |
у |
|
30 |
2, |
z = z |
|
15 |
1. |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
15 |
||||||||||||||
|
|
|
15 |
|
|
|
15 |
|
|
|
|
Ответ: 1; 2;1 .
3)Матричный метод.
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
, |
A = |
|
||||
|
4 |
3 |
|
|
|
|
1 |
|
x X = y ,z
2 B = 2 .
1
Прежде всего найдем матрицу, обратную к матрице A. Для этого вычислим алгебраические дополнения:
А |
|
1 |
2 |
|
5, |
|
А |
|
2 |
2 |
|
|
10, |
|
А |
|
|
2 |
|
1 |
|
10, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
А |
2 |
5, |
|
А |
|
7, |
А |
|
|
1, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
22 |
|
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
А |
2 |
5, |
А |
|
4, |
|
А |
|
7. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
31 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
32 |
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
33 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 5 |
|
|
|
|
|
5 5 |
|
5 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
А |
1 |
|
1 |
|
|
10 |
|
|
7 |
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
10 |
|
|
|
7 |
4 |
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
1 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
1 |
7 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 5 |
5 |
2 |
|
|
|
|
5 2 5 ( 2) 5 1 |
|
||||||||||
Х А 1 В |
|
1 |
|
10 |
7 |
4 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
10 2 7 ( 2) 4 1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
1 |
7 |
|
|
1 |
|
|
|
10 2 1 ( 2) 7 |
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
15 |
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
30 |
|
|
|
2 |
. Таким образом, y |
|
2 |
, или x = -1, |
y = 2, |
||||||||||||||||
15 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
15 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
z = 1.
Ответ: 1; 2;1 .
Задание 1.2.2. Найти общее решение и одно из частных решений системы уравнений.
Номер |
Система уравнений |
Номер |
Система уравнений |
||||||
варианта |
варианта |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
2x 3y z 0 |
|
x 2 y 3z 0 |
||||||
1 |
|
|
|
|
|
7 |
|
||
5x y 3z 0 |
2x y z 0 |
||||||||
|
7x 2 y |
2z 0 |
|
3x 3y 2z 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2x 2 y z 0 |
|
x y 2z 0 |
|||||
2 |
|
|
|
2 y 3z 0 |
8 |
|
|||
|
x |
2x y 3z 0 |
|||||||
|
|
3x 2z |
0 |
|
x 2 y 5z 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y 2z 0 |
|
x 2 y 3z 0 |
||||||
3 |
|
|
|
|
|
9 |
|
||
2x 3y 7z 0 |
2x 3y 4z 0 |
||||||||
|
3x |
2 y |
9z 0 |
|
3x y z 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2x 4 y 9z 0 |
|
x 2 y 3z 0 |
||||||
4 |
|
|
3y 6z 0 |
10 |
|
||||
7x |
2x 5y 4z 0 |
||||||||
|
5x |
7 y 15z 0 |
|
3x 7 y 7z 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2x y z 0 |
|
2x 3y 4z 0 |
|||||
5 |
|
|
|
3y 2z 0 |
11 |
|
|||
|
x |
x 5y 2z 0 |
|||||||
|
|
3x 4 y z 0 |
|
3x 2 y 6z 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x 2x x 0 |
|
3x y 4z 0 |
|||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
6 |
x1 |
x2 |
x3 0 |
12 |
2x 4 y 3z 0 |
||||
|
3x x |
0 |
|
5x 5y z 0 |
|||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
16
Продолжение
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3x 2 y 3z 0 |
|
|
x 2 y 3z 0 |
|||||||
13 |
|
|
|
|
|
0 |
22 |
|
|
|
|
|
|
x 5y 3z |
|
2x y 2z 0 |
|||||||||
|
|
2x |
7 y |
6z 0 |
|
|
3x 3y |
5z |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 2 y 3z 0 |
|
|
2x 3y 4z 0 |
|||||||
14 |
|
|
|
|
|
0 |
23 |
|
|
2 y 3z 0 |
||
|
x 5y 2z |
|
x |
|||||||||
|
|
3x |
3y z |
0 |
|
|
3x 5y |
7z 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x y 2z 0 |
|
3x 4x x 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|||
15 |
|
x 3y 3z |
24 |
3x1 |
5x2 |
3x3 |
||||||
|
|
3x 2 y |
z |
0 |
|
6x |
9x |
4x |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
2x 3y z 0 |
|
|
3x 2 y z 0 |
|||||||
16 |
|
|
|
|
0 |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
2x y 4z |
|
x y 2z 0 |
|||||||||
|
|
4 y 3z |
0 |
|
|
|
2x y 3z |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x 2 y 2z 0 |
|
|
3x 2 y 4z 0 |
|||||||
17 |
|
|
|
|
|
0 |
26 |
|
|
|
5z 0 |
|
|
3x y 4z |
|
4x 3y |
|||||||||
|
|
2x |
3y |
6z 0 |
|
|
x 5y |
9z 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 7 y z 0 |
|
5x 3y 4z 0 |
||||||||
18 |
|
|
|
|
|
0 |
27 |
|
|
|
|
|
|
x 2 y 2z |
3x y 6z 0 |
|
|||||||||
|
|
4x |
5y |
3z 0 |
|
2x 4 y 10z 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x 3y z 0 |
|
|
2x y z 0 |
|
||||||
19 |
|
|
|
|
2z 0 |
28 |
|
|
3y 5z 0 |
|||
|
2x 5y |
|
x |
|||||||||
|
|
3x 8y z |
0 |
|
|
3x 4 y |
4z 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x y 2z 0 |
|
|
4x 3y z 0 |
|||||||
20 |
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
2 y 2z 0 |
||
|
5x 3y 5z 0 |
|
x |
|||||||||
|
|
9x |
4 y |
7z 0 |
|
|
3x y 3z |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 3x 11x 0 |
|
|
2x 2 y 3z 0 |
||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
2 y 0 |
|
|
21 |
x1 |
x2 |
5x3 |
0 |
30 |
|
x |
|
||||
|
x |
2x 6x |
0 |
|
|
3x 3z |
0 |
|
||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
Примерный вариант
Найти общее решение и одно из частных решений системы
2x 5y z 0,
уравнений: 3x 4 y 2z 0,
x y z 0.
17
Решение. Выписываем расширенную матрицу системы, переставив в системе последнее уравнение на первое место:
1 |
|
|
|
||
1 |
1 |
0 |
|||
|
|
5 |
|
|
|
|
2 |
1 |
0 |
. |
|
|
3 |
4 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки. Далее умножим первую строку на (-3) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки. Получим матрицу:
1 |
|
|
|
||
1 |
1 |
0 |
|||
|
|
7 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
. |
||
|
0 |
7 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Умножим вторую строку полученной матрицы на (-1) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки. Получим матрицу:
1 |
1 |
1 |
|
0 |
|
|
|
||||||
|
|
7 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
. |
||
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
Таким образом, получаем систему
x y z 0, 7 y z 0.
Выберем свободное переменное, пусть им будет у. Тогда общее
решение системы имеет вид:
x 6 y, z 7 y,
18
где у – любое действительное число. Частное решение можно найти, подставив любое конкретное значение значение у. Например, при y 1 получим: x 6, z 7 . Тогда 6, 1, 7 – частное решение системы.
|
|
|
|
|
1.3. |
Векторная алгебра |
|
|
|
|
|||||
|
Задание 1.3.1. Заданы координаты точек: A, B, C, D. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
m , если m AB ; 3) AB CD ; 4) cos B в |
||||||||||
|
Найдите: 1) |
AB |
; 2) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n AB CD ; 6) |
|
|
|
||
треугольнике ABC; |
5) |
|
|
, если |
Прp AB , |
если |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
|
p 2BC BD ; 7) |
BC BD ; 8) |
площадь треугольника |
BCD; |
|||||||||||
9) AB AC AD ; 10) объем пирамиды ABCD. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Номер |
Координаты |
|
Координаты |
Координаты |
Координаты |
|
||||||||
|
варианта |
точки A |
|
|
|
|
точки B |
|
точки C |
точки D |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
2 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
(1; 2; 3) |
|
|
(-1; 3; 5) |
|
(3; 0; |
7) |
(-2;2;6) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
(2; -3; 0) |
|
|
(7; 0; 2) |
|
(4;1; 3) |
(5; -2; 2) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
(-1; 3; -2) |
|
(0; 5; 0) |
|
(1; 6; |
2) |
(-2; 0; 3) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
(3; 5; 1) |
|
|
(2; 3; 4) |
|
(7; 5; |
2) |
(-1; 3; 3) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
5 |
(3; -1; 2) |
|
|
(5; 0; 4) |
|
(6; 1; |
2) |
(0; 2; 5) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
6 |
(0; 2; 3) |
|
|
(3; 1; 7) |
|
(1; 2; |
5) |
(-1; 0; 4) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
7 |
(-2; 3; 1) |
|
|
(0; 5; 2) |
|
(-1; 6; 0) |
(-3; 4; 5) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
8 |
(1; 0; 5) |
|
|
(3; 2; 7) |
|
(-2; 4; 5) |
(0; 2; 8) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
9 |
(-5; 0; 1) |
|
|
(3; -3; 0) |
|
(4; 1; |
1) |
(2; -2; 3) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
10 |
(2; -1; 3) |
|
|
(7; 0; 1) |
|
(-3; 2; 0) |
(5; -3; 4) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
11 |
(1; 0; -1) |
|
|
(2; -1; 3) |
|
(0; -1; -2) |
(1; -2; 3) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
12 |
(2; -3; 4) |
|
|
(0; 1; 3) |
|
(5; -1; 1) |
(0; -3; 0) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
13 |
(4; 0; 1) |
|
|
(3; -1; 0) |
|
(2; -2; 1) |
(0; -1; 5) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
14 |
( 1; 2; 3) |
|
|
(-1; 3; 4) |
|
(5; 0; 3) |
(2; -1; 4) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
15 |
(1; 0; 3) |
|
|
(-2; 1; 5) |
|
(3; 2; 6) |
(-1; 3; 3) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
16 |
(0; -1; 4) |
|
|
(3; 2; 7) |
|
(2; -5; 4) |
(1; 2; 5) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
17 |
(3; 0; -1) |
|
|
(6; 2; -3) |
|
(4; -1; -5) |
(2; 2; -2) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
18 |
(0; 1; -2) |
|
|
(2; 4; -3) |
|
(1; 3; -2) |
(3; -1; -4) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
19 |
(-3; 5; 1) |
|
|
(-1; 7; 6) |
|
(0; 4; 3) |
(-2; 1; -1) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19
|
|
|
|
Продолжение |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
20 |
(4; -1; -1) |
(7; 0; 3) |
(5; -2; 0) |
(1; -3; -5) |
|
|
|
|
|
|
|
21 |
(2; -1; -3) |
(4; 0; 2) |
(-1; 2; -3) |
(5; 1; 0) |
|
|
|
|
|
|
|
22 |
(3; -1; 2) |
(5; 1; 3) |
(0; 2; 6) |
(7; -1; -2) |
|
|
|
|
|
|
|
23 |
(1; 2; 2) |
(-1; 4; 7) |
(3; 0; 3) |
(-2; 2; 5) |
|
|
|
|
|
|
|
24 |
(-2; 0; -1) |
(0; 3; 1) |
(-4; 2; 0) |
(1; 3; -5) |
|
|
|
|
|
|
|
25 |
(1; -1; 0) |
(-2; 3; 1) |
(3; -2; 2) |
(5; -3; -2) |
|
|
|
|
|
|
|
26 |
(-3; 0; -1) |
(2; -4; -3) |
(0; 5; -5) |
(-6; 3; 2) |
|
|
|
|
|
|
|
27 |
(1; -3; 2) |
(-2; 0; 4) |
(5; -2; 3) |
(-1; -4; 4) |
|
|
|
|
|
|
|
28 |
(5; 0; -1) |
(2; -3; 3) |
(6; 2; -3) |
(4; -2; 2) |
|
|
|
|
|
|
|
29 |
(-2; 3; 4) |
(0; -1; 5) |
(-3; 2; 2) |
(-4; 0; 6) |
|
|
|
|
|
|
|
30 |
(3; 1; -2) |
(1; 2; -5) |
(4; 3; -2) |
(2; -3; -1) |
|
|
|
|
|
|
|
Примерный вариант
Заданы координаты |
|
точек: A(0; 6; 2), |
B(2; 4; 2), |
С(8; 0; 0), |
|||||||||
D(1; 0; 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos B в |
|||||
Найдите: 1) |
AB |
; 2) m , |
если |
m AB ; 3) |
AB CD ; 4) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
треугольнике |
ABC ; |
5) |
|
n |
|
, |
если |
n AB CD ; 6) Прp AB , |
если |
||||
|
|
||||||||||||
p 2BC BD ; |
7) |
|
BC BD ; |
8) |
площадь |
треугольника |
BCD ; |
||||||
9) AB AC AD ; 10) |
объем пирамиды ABCD. |
|
|
|
|||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) A(0; 6; 2), B(2; 2; 2) |
AB =(2 0; 2 ( 6); 2 2) (2; 4; 0). |
Длина вектора a (xa ; ya ; za ) находится по формуле:
a xa2 ya2 za2 .
Тогда: AB 22 42 02 20 25 .
2) m AB (2; 4; 0) |
x |
y |
m |
|
|
|
|
z |
m |
|
|
|
|
|||||||||
, m |
|
|
m |
|
|
; |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
m |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
m |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20