Часть 2
.pdf
|
2 |
|
|
4 |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
||
m |
|
|
; |
|
|
; |
|
|
|
= |
|
|
|
; |
|
|
|
; 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 5 2 5 2 5 |
|
|
5 5 |
|
|
|
3)C(8; 0; 0), |
D(1; 0; 2) CD (1 8;0 0; 2 0) ( 7; 0 ; |
2) ; |
||
AB (2; 4; 0). |
|
|
|
|
Скалярное |
произведение |
векторов |
a (xa ; ya ; za ) |
и |
b (xb ; yb ; zb ) |
находится по формуле: a b xa xb ya yb za zb. |
Тогда AB CD 2 ( 7) 4 0 0 ( 2) 14 .
4) B в треугольнике ABC - это угол между векторами BA и
BC .
AB (2; 4; 0) BA ( 2; 4;0) .
B(2; 4; 2), C(8; 0; 0) BC = (8 2; 0 ( 4); 0 2) (6; 4; 2).
Угол между векторами a (xa ; ya ; za ) и b (xb ; yb ; zb ) находит-
ся по формуле |
cos(aˆ; b ) |
|
xa xb ya |
yb za zb |
|
. |
Тогда cos B |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x2 |
y2 |
z2 |
x2 |
y2 |
z2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
a |
|
|
|
b |
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 6 ( 4) 4 0 ( 2) |
|
|
|
|
|
12 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
7 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
( 2)2 ( 4)2 02 62 42 ( 2)2 |
|
|
20 56 |
|
|
4 70 |
|
|
10 |
|
|
0,7 .
5)C(8; 0; 0), D(1; 2; 2) CD (1 8; 0 0; 2 0) ( 7; 0; 2);
AB (2; 4; 0);
n AB CD = (2 ( 7); 4 2; 0 ( 2)) (9; 4; 2).
n 92 42 22 121 11.
6)B(2; 4; 2), D(1; 0; 2) BD = (1 2; 0 ( 4); 2 2)
( 1; 4; 4);
BC = (6; 4; 2); |
|
2BC = (2 6; 2 4; 2 ( 2)) (12; 8; 4). |
|
|
|
|
|||||||||||||
p 2BC BD =(12 ( 1); 8 4; 4 ( 4)) (11;12; 8); |
|
|
|
|
|||||||||||||||
AB = (2; 4; 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пр |
|
AB |
p |
AB |
|
, |
тогда Пр |
|
AB |
11 2 12 4 |
( 8) |
0 |
|
|
72 |
|
. |
||
p |
|
|
|||||||||||||||||
|
p |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
112 122 |
|
329 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 8)2 |
|
|
21
7) Векторное |
|
произведение |
векторов |
|
|
a (xa ; ya ; za ) и |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
j |
k |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
b (xb ; yb ; zb ) находится по формуле: a b |
x |
a |
y |
a |
z |
a |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xb |
yb |
zb |
|
|
||||
BC = (6; 4; 2), |
BD = ( 1; 4; 4), |
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
i |
j |
k |
|
4 |
2 |
|
6 |
2 |
|
|
|
6 4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
BC BD |
6 |
4 2 |
i |
j |
|
k |
|
|||||||||||
|
1 |
4 |
4 |
|
4 |
4 |
|
1 |
4 |
|
|
|
1 4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
i ( 16 8) j ( 24 2) k (24 4) 8i 26 j 28k ( 8;26; 28). |
8) Площадь треугольника BCD равна половине длины векторно-
го произведения векторов BC и BD (по свойствам векторного произведения).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
BC BD = ( 8; 26; 28) |
S BCD |
|
( 8)2 262 282 |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
(ед2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1524 |
381 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) Смешанное произведение векторов a (xa ; ya ; za ) , |
|||||||||||||||||
b (xb ; yb ; zb ) , |
c (xc ; yc ; zc ) находится по формуле: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xa |
ya |
za |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b c |
xb |
yb |
zb |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xc |
yc |
zc |
|
|||
|
|
AB = (2; 4; 0); |
|
A(0; 6; 2), C(8; 0; 0) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
AC = (8 0; 0 ( 6); 0 2) (8; 6; 2); |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
A(0; 6; 2), D(1; 0; 2) AD =(1 0; 0 ( 6); 2 2) (1; 6; 4). |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
AB AC AD |
8 6 |
2 |
2 6 ( 4) 8 6 0 4 ( 2) 1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
6 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 6 0 8 4 ( 4) 6 ( 2) 2) 48 8 ( 128 24) 76.
10) Модуль смешанного произведения векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (по свой-
22
ствам смешанного произведения). Объем пирамиды равен 16 объе-
ма параллелепипеда.
|
V |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
AB AC AD |
|
|
1 |
|
|
76 |
|
|
|
76 |
|
38 |
12 |
2 |
(ед3). |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
пир. ABCD |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
; |
|
2 |
|
;0 ; 3) |
AB CD 14; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ответ: 1) |
AB |
5 ; |
2) |
m |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11; |
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4) cos B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
0,7; |
|
|
5) |
|
6) |
Пр |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
329 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) BC BD ( 8; 26; 28); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8) S BCD |
381 (ед2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) AB AC AD 76; 10) |
V |
|
|
|
|
12 |
2 |
|
(ед3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пир. ABCD |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Задание 1.3.2. Даны векторы |
a1 , a2 , a3 , |
b . Показать, что век- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
торы a1 , |
a2 , |
|
a3 образуют базис трехмерного пространства и най- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ти координаты вектора b |
|
в этом базисе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Номер |
|
|
Координаты |
|
|
Координаты |
|
|
|
|
Координаты |
|
Координаты |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
варианта |
|
|
вектора a1 |
|
|
|
вектора a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ветора a3 |
|
вектора b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
(1; 2; 3) |
|
|
|
(-1; 3; 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3; 0; 7) |
|
|
(-2;2;6) |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
(2; -3; 0) |
|
|
|
(7; 0; 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4;1; 3) |
|
|
(5; -2; 2) |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
(-1; 3; -2) |
|
|
(0; 5; 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1; 6; 2) |
|
|
(-2; 0; 3) |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
(3; 5; 1) |
|
|
|
(2; 3; 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7; 5; 2) |
|
|
(-1; 3; 3) |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
(3; -1; 2) |
|
|
|
(5; 0; 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6; 1; 2) |
|
|
(0; 2; 5) |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
(0; 2; 3) |
|
|
|
(3; 1; 7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1; 2; 5) |
|
|
(-1; 0; 4) |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
7 |
|
|
|
|
(-2; 3; 1) |
|
|
|
(0; 5; 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(-1; 6; 0) |
|
|
(-3; 4; 5) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
(1; 0; 5) |
|
|
|
(3; 2; 7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(-2; 4; 5) |
|
|
(0; 2; 8) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
9 |
|
|
|
|
(-5; 0; 1) |
|
|
|
(3; -3; 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4; 1; 1) |
|
|
(2; -2; 3) |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
10 |
|
|
|
|
(2; -1; 3) |
|
|
|
(7; 0; 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(-3; 2; 0) |
|
|
(5; -3; 4) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение |
23
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
11 |
(1; 0; -1) |
(2; -1; 3) |
(0; -1; -2) |
(1; -2; 3) |
|
|
|
|
|
12 |
(2; -3; 4) |
(0; 1; 3) |
(5; -1; 1) |
(0; -3; 0) |
|
|
|
|
|
13 |
(4; 0; 1) |
(3; -1; 0) |
(2; -2; 1) |
(0; -1; 5) |
|
|
|
|
|
14 |
( 1; 2; 3) |
(-1; 3; 4) |
(5; 0; 3) |
(2; -1; 4) |
|
|
|
|
|
15 |
(1; 0; 3) |
(-2; 1; 5) |
(3; 2; 6) |
(-1; 3; 3) |
|
|
|
|
|
16 |
(0; -1; 4) |
(3; 2; 7) |
(2; -5; 4) |
(1; 2; 5) |
|
|
|
|
|
17 |
(3; 0; -1) |
(6; 2; -3) |
(4; -1; -5) |
(2; 2; -2) |
|
|
|
|
|
18 |
(0; 1; -2) |
(2; 4; -3) |
(1; 3; -2) |
(3; -1; -4) |
|
|
|
|
|
19 |
(-3; 5; 1) |
(-1; 7; 6) |
(0; 4; 3) |
(-2; 1; -1) |
|
|
|
|
|
20 |
(4; -1; -1) |
(7; 0; 3) |
(5; -2; 0) |
(1; -3; -5) |
|
|
|
|
|
21 |
(2; -1; -3) |
(4; 0; 2) |
(-1; 2; -3) |
(5; 1; 0) |
|
|
|
|
|
22 |
(3; -1; 2) |
(5; 1; 3) |
(0; 2; 6) |
(7; -1; -2) |
|
|
|
|
|
23 |
(1; 2; 2) |
(-1; 4; 7) |
(3; 0; 3) |
(-2; 2; 5) |
|
|
|
|
|
24 |
(-2; 0; -1) |
(0; 3; 1) |
(-4; 2; 0) |
(1; 3; -5) |
|
|
|
|
|
25 |
(1; -1; 0) |
(-2; 3; 1) |
(3; -2; 2) |
(5; -3; -2) |
|
|
|
|
|
26 |
(-3; 0; -1) |
(2; -4; -3) |
(0; 5; -5) |
(-6; 3; 2) |
|
|
|
|
|
27 |
(1; -3; 2) |
(-2; 0; 4) |
(5; -2; 3) |
(-1; -4; 4) |
|
|
|
|
|
28 |
(5; 0; -1) |
(2; -3; 3) |
(6; 2; -3) |
(4; -2; 2) |
|
|
|
|
|
29 |
(-2; 3; 4) |
(0; -1; 5) |
(-3; 2; 2) |
(-4; 0; 6) |
|
|
|
|
|
30 |
(3; 1; -2) |
(1; 2; -5) |
(4; 3; -2) |
(2; -3; -1) |
|
|
|
|
|
Примерный вариант
Даны векторы a1 (1;2; 1) , a2 (1;1;2) , a3 (2;1;3), b (3;6;1) .
Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора b в этом базисе.
Решение.
Вычислим определитель, составленный из координат векторов
a1 , a2 , a3.
24
|
2 |
1 |
|
|
|
1 2 |
|
|
|
1 2 |
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
1 1 2 ( 1) 1 ( 1) 4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
1 |
3 |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как 0 , |
то векторы |
a1 , |
a2 , |
a3 |
некомпланарны и, следо- |
||||||||||||||||||||
вательно, образуют базис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Разложим вектор b |
по базису b x a1 |
y a2 |
z a3 , где x, y, z – |
||||||||||||||||||||||
искомые координаты вектора b |
в базисе |
a1 , |
a2 , |
a3 . Записав коор- |
|||||||||||||||||||||
динаты векторов |
a1 , |
a2 , a3 , |
b |
в столбцы, представим разложение |
|||||||||||||||||||||
вектора b |
в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
x |
2 |
y |
1 |
z |
1 |
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Приравняв координаты векторов, стоящих в правой и левой частях равенства, получаем систему линейных уравнений относитель-
но x, y, z:
x y 2z 3,2x y z 6,
x 2 y 3z 1.
Решаем систему уравнений, например, методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и применим к ней элементарные преобразования:
1 |
|
|
( 2)(1) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|||||||||
|
2 |
1 |
1 |
6 |
|
~ |
|
0 |
1 |
3 |
0 |
|
(3) |
~ |
|
0 |
1 |
3 |
0 |
|
: ( 1) ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
1 |
|
|
|
0 3 |
5 |
4 |
|
|
|
|
0 0 |
4 |
4 |
|
: ( 4) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
1 1 |
2 |
|
3 |
|
|
1 |
1 |
0 |
|
5 |
|
1 |
0 |
0 |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
~ |
0 |
1 |
3 |
|
0 |
|
~ |
|
0 |
1 |
0 |
|
3 |
( 1) |
~ |
0 |
1 |
0 |
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
1 |
( 3)( 2) |
|
0 |
0 |
1 |
|
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, x = 2, y = 3, |
z = -1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следовательно, b 2 a1 |
3 a2 |
a3 или b (2; 3; 1). |
|
2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
2.1. Прямая на плоскости
Задание 2.1.1. Даны координаты вершин треугольника A, B, C. Найдите: 1) уравнение стороны АB; 2) уравнение медианы АE; 3) уравнение и длину высоты CD; 4) уравнение прямой CN, параллельной AB.
Номер |
Координаты |
Координаты |
Координаты |
|
варианта |
точки A |
точки B |
точки C |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
(7; 1) |
(-5; -4) |
(-9; -1) |
|
|
|
|
|
|
2 |
(4; 11) |
(-1; -1) |
(7; |
5) |
|
|
|
|
|
3 |
(-10; 5) |
(14; -2) |
(-4; 22) |
|
|
|
|
|
|
4 |
(1; 5) |
(13; 0) |
(19; 8) |
|
|
|
|
|
|
5 |
(-20; 1) |
(4; -6) |
(-14; 18) |
|
|
|
|
|
|
6 |
(3; 13) |
(-2; 1) |
(6; |
7) |
|
|
|
|
|
7 |
(6; 5) |
(-6; 0) |
(-10; 3) |
|
|
|
|
|
|
8 |
(7; 11) |
(2; -1) |
(10; 5) |
|
|
|
|
|
|
9 |
(-13; 5) |
(11; -2) |
(-7; 22) |
|
|
|
|
|
|
10 |
(-1; 7) |
(11; 2) |
(17; |
10) |
|
|
|
|
|
11 |
(-15; -7) |
(9; -14) |
(-9; 10) |
|
|
|
|
|
|
12 |
(6; 13) |
(1;1) |
(9; |
7) |
|
|
|
|
|
13 |
(8; 0) |
(-4; -5) |
(-8; -2) |
|
|
|
|
|
|
26
Продолжение
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
14 |
(4; 14) |
(-1; 2) |
(7; |
8) |
|
|
|
|
|
15 |
(-13; -5) |
(11; -12) |
(-7; 12) |
|
|
|
|
|
|
16 |
(0; 5) |
(12; 0) |
(18; 8) |
|
|
|
|
|
|
17 |
(-8; 4) |
(16; -3) |
(-2; 21) |
|
|
|
|
|
|
18 |
(6; 10) |
(1; -2) |
(9; |
4) |
|
|
|
|
|
19 |
(6; 1) |
(-6; -4) |
(-10; -1) |
|
|
|
|
|
|
20 |
(4; 13) |
(-1; 1) |
(7; |
7) |
|
|
|
|
|
21 |
(5; 3) |
(29; -4) |
(11; |
20) |
|
|
|
|
|
22 |
(-1; 5) |
(11; 0) |
(17; 8) |
|
|
|
|
|
|
23 |
(-10; 12) |
(14; 5) |
(-4; 29) |
|
|
|
|
|
|
24 |
(6; 11) |
(1; -1) |
(9; |
5) |
|
|
|
|
|
25 |
(10; -1) |
(-2; -6) |
(-6; -3) |
|
|
|
|
|
|
26 |
(4; 10) |
(-1; -2) |
(7; |
4) |
|
|
|
|
|
27 |
(-20; 4) |
(4; -3) |
(-14; 21) |
|
|
|
|
|
|
28 |
(-2; 6) |
(10; 1) |
(16; 9) |
|
|
|
|
|
|
29 |
(-10; 10) |
(14; 3) |
(-4; 27) |
|
|
|
|
|
|
30 |
(6; 14) |
(1; 2) |
(9; |
8) |
|
|
|
|
|
Примерный вариант |
|
|
|
|
|||
Даны координаты |
вершин |
треугольника: |
A (–6; –2), |
||||
B (–3; 2), C (– 8; 4). |
|
|
|
|
|
|
|
Найдите: 1) уравнение стороны АB; 2) уравнение медианы АE; |
|||||||
3) уравнение и длину высоты CD; 4) |
уравнение прямой CN, парал- |
||||||
лельной AB. |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
1) Найдем уравнение стороны АВ по формуле |
x x1 |
|
|
y y1 |
, |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
x 2 x1 y 2 y1 |
||||
учитывая, что A (– 6; – 2), |
B (– 3; 2): |
|
|
|
|
|
|
27
x ( 6) |
= |
y ( 2) |
|
x 6 |
|
y 2 |
4 x – 3 y + 18 = 0. |
3 ( 6) |
2 ( 2) |
|
|
||||
|
3 |
4 |
|
2)Точка E – середина отрезка BC
(рис. 1). Найдем координаты точки E по |
B |
||||||||||||||
координатам B (– 3; |
|
2) и C (– 8; |
4): |
|
|||||||||||
xE |
xB xC |
= 3 ( 8) = |
11 |
, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
D |
||||
yE |
yB yC |
|
= |
2 4 |
= 3 |
|
|||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
11 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|||||
|
|
E |
|
|
|
; 3 |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем уравнение медианы AE по формуле
N
E
С
Рис. 1 |
|
|
|
x x1 |
|
y y1 |
, |
x 2 x1 |
y 2 y1 |
|
|
|
11 |
|
|
|
учитывая, что A (– 6; – 2), |
E |
|
|
; 3 |
: |
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
x 6 |
|
|
y 2 |
|
|
x 6 |
|
y 2 |
|
|
10 x – y + 58 = 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
11 |
6 |
3 2 |
|
1 |
|
|
5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3) |
Так как CD – высота, то CD АB nCD AB |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найдем координаты |
|
|
|
|
|
|
по |
координатам |
A (– |
6; – |
2) и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
АВ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B (– 3; |
2): |
|
|
3 6 ; |
|
2 2 3; 4 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
АВ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найдем |
|
|
|
уравнение |
|
|
|
высоты |
|
CD |
по |
формуле |
||||||||||||||||||||||||||||||||
A (x – x0) + B (y – y0) = 0, |
|
учитывая, что C (– 8; |
4), |
|
nCD 3; 4 : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 (x – (- 8)) + 4 (y – 4) = 0 |
|
3 x + 4 y + 8 = 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Длину высоты CD найдем по формуле расстояния от точки до |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прямой |
d |
|
|
Ax0 By0 C |
|
, |
|
учитывая, что |
C (–8; 4), |
(АB) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A2 B2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 x – 3 y + 18 = 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
4 8 3 4 18 |
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
26 |
5,2. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
5 |
|
|
|
|
|
|
28
Таким образом |CD| = 5,2 (ед). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) Так как прямая CN // АB, |
то |
|
S |
CN AB |
. |
|
|
|
|
|||||||||
Найдем |
уравнение |
прямой |
CN по |
формуле |
x x 0 |
|
y y 0 |
, |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
n |
|
учитывая, что C (– 8; 4), |
|
CN 3; 4 : |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x 8 |
|
y 4 |
4x – 3 y + 44 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
1) (АB): |
4 x – 3 y + 18 = 0; |
2) |
(AE): 10 x – y + 58 = 0; |
||||||||||||||
3) (CD): 3 x + 4 y + 8 = 0, |CD| = 5,2 |
(ед); |
4) |
(CN): 4x – 3 y + 44 = 0. |
2.2. Кривые второго порядка
Задание 2.2.1.
Даны уравнения. Выяснить, какие кривые описывают уравнения. Сделать чертеж.
Номер |
Уравнения |
Номер |
Уравнения |
|
варианта |
варианта |
|||
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
x2 y2 2x 4 y 1 0 |
12 |
y2 2x 4y 14 0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
4x2 9y2 16x 18y 11 0 |
13 |
x2 6x 2 y 7 0 |
|
|
|
|
|
|
3 |
4x2 9y2 16x 18y 29 0 |
14 |
y2 2x 6 y 7 0 |
|
|
|
|
|
|
4 |
x2 2x 8y 1 0 |
15 |
9x2 4 y2 36x 8y 68 0 |
|
|
|
|
|
|
5 |
y2 6x 6 y 9 0 |
16 |
9x2 4 y2 18x 16 y 29 0 |
|
|
|
|
|
|
6 |
x2 4 y2 2x 5 0 |
17 |
4x2 9y2 8x 36y 68 0 |
|
|
|
|
|
|
7 |
x2 4 y2 16 y 0 |
18 |
x2 y2 4x 2y 1 0 |
|
|
|
|
|
|
8 |
x2 4 y2 6x 7 0 |
19 |
y2 8x 2 y 1 0 |
|
|
|
|
|
|
9 |
x2 4 y2 16 y 32 0 |
20 |
x2 6x 6 y 9 0 |
|
|
|
|
|
|
10 |
x2 y2 6x 10y 33 0 |
21 |
x2 y2 10x 6y 33 0 |
|
|
|
|
|
|
11 |
x2 y2 2x 4y 7 0 |
22 |
4x2 y2 6 y 7 0 |
29
|
|
|
Продолжение |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
23 |
4x2 y2 16x 0 |
27 |
4x2 y2 16x 32 0 |
|
|
|
|
24 |
4x2 y2 2 y 5 0 |
28 |
y2 2x 6 y 7 0 |
|
|
|
|
25 |
x2 4x 2 y 14 0 |
29 |
x2 8x 6 y 16 0 |
|
|
|
|
26 |
x2 y2 4x 2y 7 0 |
30 |
4x2 y2 16x 2y 21 0 |
|
|
|
|
Примерный вариант
Выясните какие кривые описывают данные уравнения, сделайте чертеж.
1)x2 y2 8x 2y 8 0;
2)4x2 y2 6 y 7 0;
3)5x2 4 y2 10x 15 0;
4)y2 2x 4 y 2 0.
Решение.
1) x2 y2 8x 2y 8 0 .
Выделяя полные квадраты, получим:
(x2 8x) ( y2 2 y) 8 0;
(x2 8x 16) ( y2 2y 1) 16 1 8 0,
(x 4)2 ( y 1)2 25 – это уравнение окружности с центром С(4; -1) и радиусом R = 5 (см. рис. 2а).
2) 4x2 y2 6 y 7 0 .
Выделяя полные квадраты, получим:
4x2 ( y2 6 y) 7 0,
4x2 ( y2 6 y 9) 9 7 0, 4x2 ( y 3)2 16,
30