Электротехника Ч1
.pdf21
Схема рис. 2.1 содержит 5 ветвей (N=5), 3 cложных потенциальных узла (n = 3) и 3 независимых контура (к=3). Значит, в систему необходимо включить два уравнения по первому закону Кирхгофа (например, для уз- лов 1 и 2) и три уравнения по второму закону Кирхгофа (для контуров I, II, III).
Обозначим на схеме стрелками условно принятые положительные на- правления токов ветвей и направления обхода контуров. Будем полагать, что индексы токов ветвей совпадают с индексами пассивных приемников электрической энергии. Тогда система уравнений по законам Кирхгофа принимает вид:
I1 + I2 = I3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= I3 + I5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
I1 |
− R2 I2 = E1 − E2 . |
||||||||||
R1 |
|||||||||||||
R I |
|
+ R I |
|
|
+ R I |
|
= E |
|
|||||
|
2 |
|
|
2 |
3 |
|
3 |
|
4 |
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
I5 − R4 |
|
I4 |
= −E3 |
|
|
||||
− R5 |
|
|
|
|
|
|
Далее необходимо решить систему из пяти уравнений относительно токов. Точность расчетов может быть проверена с помощью уравнения ба- ланса мощностей источников и приемников электрической энергии:
n |
m |
∑ |
Ек I к = ∑ Rк I к2 . |
к =1 |
к =1 |
22
В левой части уравнения слагаемые имеют знак плюс, если направления Э.Д.С. и токов совпадают. В противном случае они имеют знак минус.
2. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Когда в состав электрической цепи входит только один источник Э.Д.С., его ток определяется общим сопротивлением пассивных приемников электрической энергии. Такое сопротивление называют эквивалентным – Rэкв. Очевидно, что если известно Rэкв, то цепь можно представить в виде двух последовательно соединенных элементов – источника Э.Д.С. и Rэкв, а определение тока источника сводится к применению закона Ома. Процесс перехода от электрической цепи с произвольной топологией к цепи с Rэкв называется эквивалентным преобразованием. Такое преобразование и положено в основу рассматриваемого метода анализа.
Приемы преобразования электрической цепи определяются способами соединения пассивных элементов. Различают четыре основных способа со-
единения: последовательное, параллельное, треугольником и звездой. Рас-
смотрим сущность эквивалентных преобразований при каждом из названных способов.
2.1. Последовательное соединение элементов.
Электрическая схема с последовательным соединением элементов приведена на рис. 2.2, а. Такая цепь имеет только один контур. Через все элементы контура протекает один и тот же ток I. Согласно второму закону Кирхгофа, можно записать
R1 I + R2 I +…+ Rn I = Rэкв I,
23
откуда
Rэкв = R1 + R2 +…+ Rn, |
(2.1) |
а
I = U / Rэкв.
Таким образом, видим, что схема из n последовательно соединенных резистивных элементов может быть заменена схемой с одним элементом, сопротивление которого определяется по (2.1).
2.2. Параллельное соединение элементов.
Параллельным называют соединение, при котором все элементы цепи присоединяются к двум сложным потенциальным узлам и находятся под воздействием одного и того же напряжения. Схема такой цепи приведена на рис. 2.3. Ток каждой к – ой ветви этой цепи определяется напряжением источника U и проводимостью Gк соответствующей ветви:
Iк = Gк U. |
(2.2) |
Определим правило эквивалентной замены разветвленной схемы рис.2.3, а на простейшую схему рис 2.3, б. Условием эквивалентности схем является равенство токов на зажимах 1 – 1′, т. е.:
I = I1 + I2 + ··· + In. |
(2.3) |
Подставляя в (2.3) значение токов из (2.2), получим:
24
|
U |
|
= |
U |
+ |
|
U |
+ + |
U |
, |
(2.4) |
|||
|
R |
|
|
|
R |
|||||||||
|
|
R |
R |
|
|
|||||||||
|
экв |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
= ∑ |
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Rэкв |
к=1 Rк |
|
|
|
|||||
или в единицах проводимости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Gэкв |
= ∑Gк. |
|
|
(2.5) |
к=1
Таким образом, цепь, состоящая из n параллельных резистивных элементов, может быть заменена простейшей цепью, эквивалентное сопротивление которой определяется выражением (2.5).
При параллельном соединении двух резистивных элементов с сопротивлениями R1 и R2 их эквивалентное сопротивление равно:
|
|
R |
экв |
= |
|
R1 R2 |
|
, |
(2.6) |
||||
|
|
R1 + R2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а эквивалентная проводимость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G = |
1 |
+ |
|
1 |
= |
|
R1 + R2 |
|
= G + G . |
(2.7) |
|||
|
|
|
|
||||||||||
экв |
R1 |
|
|
R2 |
|
|
|
|
R1 R2 |
1 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Токи двух ветвей при их параллельном соединении определяются по правилу деления токов:
25
I |
|
= |
U |
= I |
Rэкв |
= I |
R2 |
; |
I |
|
= I |
|
R1 |
. |
(2.8) |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
R1 |
|
R1 |
R1 + R2 |
|
|
R1 |
+ R2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3.Соединение элементов звездой или треугольником.
Соединение трех сопротивлений в виде трехлучевой звезды (рис. 2.4, а),
называют соединением «звезда», а соединение, при котором элементы об- разуют стороны треугольника (рис. 2.4, б), – «треугольник».
Очень часто при расчете электрических цепей оказывается целесообразным преобразовать треугольник в звезду. Полезность преобразования наглядно видна на примере схемы рис. 2.5. На рис. 2.5, а приведена схема до преобразования. Пунктиром обведен преобразуемый треугольник. На рис. 2.5, б приведена та же схема после преобразования. Расчет токов в ней значительно проще.
При преобразовании треугольника в звезду следует пользоваться выражениями:
R1 |
= |
R12 |
R13 |
; |
R2 = |
R12 |
R23 |
; |
R3 = |
R13 |
R23 |
. `(2.9) |
|
R12 + R23 + R13 |
|
|
|
|
|||||||||
R12 + R23 + R13 |
R12 + R23 + R13 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
26
2.4. Метод эквивалентных преобразований.
Суть метода:
1.Участки электрической цепи с последовательно и параллельно соединенными элементами заменяют одним эквивалентным элементом. Рядом последовательно выполненных преобразований схему упрощают до элементарного вида.
2.Применением закона Ома находится ток упрощенной схемы. Его значение определяет ток ветви, ближайшей к источнику Э.Д.С. (ток первой ветви). Это позволяет легко вычислить токи остальных ветвей.
Рассмотрим возможность применения метода на примере анализа схемы рис. 2.6, а. Будем полагать, что в схеме известны значение Э.Д.С. – Е и значения сопротивлений всех ветвей. Необходимо определить токи всех ветвей цепи.
Решение:
А) Выполняем ряд эквивалентных преобразований. Для этого:
1) Выделяем участок с параллельно соединенными сопротивлениями R4 и R5. Находим эквивалентное сопротивление этого участка:
R4,5 = R4 R5 .
R4 + R5
27
Приводим схему рис. 2.6, а к схеме рис. 2.6, б.
2) Находим эквивалентное сопротивление цепи относительно узлов а и б:
R= R2 (R3 + R4.5 ) . а,б R2 + R3 + R4,5
Теперь схема представляет контур с последовательно соединенными Е, R1 и Rа, б элементами (рис. 2.6, в), т. е. приведена к простейшему виду.
Б) Определяем токи ветвей. Для этого:
1) Находим ток простейшей схемы (ток первой ветви – I1):
I1 = Е / (R1 + Rа,б).
2) Возвращаемся к схеме рис. 2.6, б. Учитывая, что теперь в схеме известен ток I1, находим токи ветвей R2 и R3..Для этого достаточно применить правило деления токов (2.8):
I |
3 = I1 |
|
R2 |
|
. |
I |
2 = I1 |
|
R3 + R4,5 |
|
; |
R + R + R |
R + R + R |
||||||||||
|
2 |
3 |
4,5 |
|
|
2 |
3 |
4,5 |
|
Очевидно, что после определения тока I2, ток I3 легко вычислить и по первому закону Кирхгофа, т. е. I3 = I1 – I2.
3) Возвращаемся к схеме рис. 2.6, а. Так как теперь в схеме известны токи I1,I2 и I3, токи I4 и I5 находим по (2.8):
28
I4 = I3 |
|
R5 |
|
I5 = I3 |
|
R4 |
|
|
; |
|
. |
||||
R + R |
R + R |
||||||
|
4 |
5 |
|
|
4 |
5 |
|
Таким образом, анализ электрической цепи рис. 2.6 проведен без со- ставления и решения системы из N = 5 линейных уравнений по законам Кирхгофа. В этом и заключается его основное достоинство.
3. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ КОНТУРНЫХ ТОКОВ
Метод контурных токов оказывается полезным, когда схема электри- ческой цепи содержит несколько источников электрической энергии. Он по- зволяет выполнить анализ такой цепи решением системы из К канонических уравнений, где К равно числу независимых контуров.
Напомним, что канонические уравнения удобны для матричной фор- мы представления системы. В электротехнике матрицы применяют для со- кращенной записи системы уравнений и для упорядочения их решения.
Члены канонических уравнений снабжаются двумя индексами, при- чем первый индекс соответствует номеру строки, а второй – номеру столб- ца. Если ввести понятия контурных токов, контурных сопротивлений и Э.Д.С., а также взаимных сопротивлений, то формально записанное канони- ческое уравнение соответствует уравнению, составленному по второму за- кону Кирхгофа.
Рассмотрим метод на примере схемы, приведенной на рис. 2.7, а. Схе- ма имеет два независимых контура. Для ее анализа методом контурных то- ков необходимо составить систему из двух канонических уравнений:
29
R |
I |
|
+ R |
I |
|
= E |
|
11 |
|
11 |
12 |
|
22 |
11 , |
(2.10) |
R21 I11 + R22 |
I22 |
= E22 |
|
где: I11, I22 – контурные токи, Е11, Е22 – контурные Э.Д.С., R11, R22 – кон- турные сопротивления, R12, R21 – взаимные сопротивления контуров.
Определим введенные понятия.
Под контурными токами понимают условные (расчетные) токи, замы-
кающиеся в соответствующих контурах. На рис 2.7, а направление кон-
турных токов показано стрелками в контурах. Пусть направление этих токов будет одинаковым – по часовой стрелке.
Сопоставляя контурные токи с токами ветвей, можно показать, что значение контурных токов совпадает со значением действительных токов только во внешних ветвях:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I11 = I1, |
|
|
I22 = I4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Токи смежных ветвей равны разности контурных токов соседних кон- туров:
I5 = I11 – I22.
Таким образом, по известным контурным токам легко найти действи- тельные токи всех ветвей. Следовательно, решение системы уравнений (2.10) относительно контурных токов отвечает целям анализа электрической цепи.
Для решения системы уравнений (2.10) определим понятия контурных
30
сопротивлений – R11, R22, контурных Э.Д.С. – Е11, Е22 и взаимных сопротив-
лений – R12, R21:
R11 = R1 + R2 + R5, |
R22 = R3 + R4 +R5; |
|
R12 |
= R21 = −R5 ; |
(2.11) |
Е11 = Е1 + Е5, |
Е22 = Е4 −Е5. |
|
Теперь уравнения системы (2.10) полностью соответствуют парамет- рам схемы рис. 2.7, а. Значение взаимных сопротивлений контуров в (2.11) определено с обратным знаком. Это обусловлено необходимостью привести канонические уравнения (2.10) в соответствие с уравнениями, составленны- ми по второму закону Кирхгофа. Взаимное сопротивление контуров, не имеющих общих ветвей, равно нулю. Решая эту систему уравнений, можно найти контурные токи, а по ним искомые токи ветвей: I1, I2, I3, I4, I5.
Если бы схема содержала три контура, как на рис. 2.7, б, то система канонических уравнений имела бы вид:
R11 I11 + R12 I22 + R13 I33 = E11
R21 I11 + R22 I22 + R23 I33 = E22 .
R31 I11 + R32 I22 + R33 I33 = E33
Таким образом, метод контурных токов более экономен по вычисли- тельной работе. Он позволяет формализовать процесс анализа и упрощает применение ЭВМ к анализу сложных электрических цепей.
4. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ МЕЖДУУЗЛОВОГО НАПРЯЖЕНИЯ
В реальных электрических цепях часто источники и приемники элек- трической энергии включаются параллельно. Схемы таких цепей имеют только два узла. Если напряжение между узлами известно, то определение токов в ветвях цепи сводится к применению закона Ома. Этот факт и поло-