- •4.1. Функция двух переменных
- •4.2. Основные понятия и определения
- •4.3. Предел функции нескольких переменных
- •4.4. Частные производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •4.5. Связь между дифференцируемостью и существованием частных производных
- •4.6. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции нескольких переменных
- •4.7.1. Геометрический смысл частных производных
- •4.7.2. Геометрический смысл полного дифференциала
- •4.8. Дифференцирование сложных функций
- •4.9. Инвариантность формы дифференциала
- •4.10. Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •4.11. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •4.12. Экстремум функции нескольких переменных
- •4.13. Наибольшее и наименьшее значения функции
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
4. |
Функции нескольких переменных |
|
|
|
|
|
|
|||
4.1. |
Функция двух переменных |
|
|
|
|
|
|
|
||
СР |
z |
|
Определение. Пусть заданы два множества |
|||||||
z f (M ) |
|
, |
|
(множество |
задано на плоскости |
|||||
|
|
|
). Если каждой паре чисел |
по неко- |
||||||
|
|
|
торому правилу |
ставится в соответствие число |
||||||
|
|
|
, то говорят, что на множестве |
задана (опре- |
||||||
|
|
|
делена) функция двух переменных со значениями |
|||||||
|
|
|
во множестве |
|
и пишут |
|
1) или |
|
||
|
|
|
или |
|
. Также говорят, что задано |
|||||
O |
|
y |
отображение |
из множества |
во множество . |
|
||||
|
|
|
и |
называются независимыми переменны- |
||||||
|
|
(D) |
ми, а |
– зависимой переменной или функцией. |
||||||
x |
|
Множество |
называют |
областью |
определения |
|||||
M (x; y) |
|
|||||||||
|
|
|
функции, а множество |
– |
множеством значе- |
|||||
|
Рис. 4.1 |
|
ний функции. |
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично определяется функция трех, четырех и более переменных. Функция |
||||||||||
переменных задается на |
-мерном вещественном пространстве |
. Применяются сле- |
||||||||
дующие обозначения: для функции трех переменных - |
|
|
или |
, |
для |
|||||
функции |
переменных - |
|
. Во всех случаях применяют обозначение |
. |
||||||
Графиком функции двух переменных является некоторая поверхность (рис. 4.1). |
||||||||||
Функции более двух переменных не имеют геометрического представления. |
|
|
Пример. Найти область определения функции |
|
. |
|||||
|
y |
|
|
|
►Учитывая область определения логарифма, полу- |
||
|
|
|
|
чаем: |
. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
. Границей области определения является парабола |
|||
|
|
|
|
|
. Граница не принадлежит |
, так как неравен- |
|
|
|
|
|
ство строгое. Берем любую точку, находящуюся не на |
|||
|
|
x |
параболе, например, выше параболы: |
. Проверяем, |
|||
|
|
принадлежит ли эта точка |
. |
– ложно. Следо- |
|||
|
|
|
|
||||
O |
|
|
|
вательно, заштриховываем область ниже параболы (рис. |
|||
|
|
|
|
4.2)◄ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.2 |
|
|
Пример. |
. |
|
► |
. Графиком функции является поверхность |
- эллиптический |
параболоид. Множеством значений является |
◄ |
4.2.Основные понятия и определения
Как известно, расстояние в -мерном вещественном пространстве |
между двумя |
|||||||
точками |
и |
|
|
|
находится по формуле: |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
(M1 , M 2 ) |
( yi |
xi )2 |
|
|
( y1 x1 )2 ... ( yn xn )2 |
(4.1) |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
1) |
читается так: «функция |
задана на множестве и имеет значения во множестве » (или « |
|
||
отображает множество в множество |
», или кратко: «отображение из в ») |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
Определение. |
-окрестностью |
|
точки |
|
|
|
называется |
|
|
множество |
точек |
||||||||||||||||||
|
таких, что расстояние от этих точек до точки M 0 меньше : |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
U |
|
(M |
0 |
) M Rn : (M |
0 |
, M ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определение. Проколотой |
|
-окрестностью точки |
|
|
называется множество |
||||||||||||||||||||||||
точек |
|
|
, отличных от точки |
и таких, что расстояние от этих точек до точки |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
) |
M Rn : |
0 < (M |
|
, M ) . Или |
|
|
) U |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
меньше : U (M |
0 |
0 |
U (M |
0 |
|
(M |
0 |
) \ {M |
}. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||
Пространство |
можно дополнить бесконечно удаленной точкой . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Определение. |
-окрестностью называется множество |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
( ) {M Rn : (M ,O) }, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где O(0,..., 0) - начало координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Примеры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– точка на плоскости |
. Тогда |
|
|
|
|
y |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
-окрестностью точки M 0 |
|
является круг с центром в точке M 0 и |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
радиусом |
|
|
без |
границы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
(рис. |
4 . 2 ), |
|
-окрестностью будет множество |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 0 |
|
||
2. |
В пространстве |
|
|
|
-окрестностью точки |
|
будет шар |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||
с центром в |
точке |
и радиусом |
|
без границы (без сферы): |
|
|
O |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис. |
|
|
|
|
|
|
|
4 . 3 ). |
- |
окрестностью |
|
|
|
в |
|
|
будет множество |
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. ◄ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
Если множество |
содержит свою границу, то множество на- |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
зывается замкнутым. Если множество |
|
не содержит свою границу, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
M 0 |
|
||||||||||||||||||||||||
то оно называется открытым. Точки множества |
|
, |
не принадле- |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
жащие его |
границе, называются внутренними точками множества |
|
|
O |
|
y |
|||||||||||||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
На рис. 4 . 4 |
изображено множество . Точка |
M |
1 |
- внутренняя |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точка множества . |
Точка M 2 |
являются граничной точкой множе- |
|
|
Рис. 4.3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ства . Точка M 3 |
не принадлежит множеству . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 3 |
|||
Множество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
яв- |
|
|
M1 |
|
|
|
|
|||||
ляется замкнутым, так как оно содержит свою границу – эл- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
липсоид – |
|
|
|
|
|
. Множество |
|
|
|
|
|
||||
|
|
является открытым, так как оно не содер- |
|||||
жит свою границу – окружность – |
◄ |
M 2
Рис. 4.4
23
4.3.Предел функции нескольких переменных
Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки M 0 , за исключением, может быть, самой точки M 0 . Число A называется пределом функции при M M 0 , если
|
|
0 ( ) 0 : M U (M0 ) f (M ) U ( A) |
(4.3) |
Для пределов функции нескольких переменных верны те же свойства, что и для пределов функции одного переменного. Но для пределов ф.н.п. не существуют понятия односторонних пределов.
|
Определение. |
Пусть x (x , x |
2 |
,..., x |
n |
) , |
x |
0 |
(x0 , x0 |
,..., x0 ) . Приращением аргумен- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
n |
|
|||
та в точке x0 называется разность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
Полным приращением функции |
в точке x0 |
называется разность |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Если приращение придается только k - ой переменной, |
то x (0, 0,..., 0, xk , 0,..., 0) . Раз- |
||||||||||||||||||||||||||
ность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
f (x |
0 |
) f (x0 |
,..., x |
0 |
|
, x0 x |
k |
, x0 |
,..., x0 ) f (x0 ,..., x |
0 ) |
|||||||||||||
|
|
|
|
xk |
|
1 |
k 1 |
k |
|
|
|
|
k 1 |
|
n |
1 |
n |
||||||||||
называется частным приращением функции в точке x0 |
по k - ой переменной. |
||||||||||||||||||||||||||
|
Примеры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
Пусть |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
, |
|
|
|
|
. Тогда приращение аргумента в точке |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Найдем соответствующее приращение функ- |
||||||||||||||
|
ции в точке |
|
|
. |
|
. |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Следовательно, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) |
Пусть |
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
. Тогда |
и со- |
|||||||
|
ответствующее |
|
|
приращение |
|
|
функции |
|
|
|
равно |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Теперь придадим приращение только пе- |
|||||||||
|
ременной |
: |
|
|
, |
|
. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
◄ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Функция
lim f (x) f (x0 )
x x0
называется непрерывной в точке x0 , если
или lim f (M ) f (M0 ) или |
lim f (x0 ) 0 . |
M M0 |
x 0 |
4.4.Частные производные и дифференциалы функции нескольких переменных
Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки M 0 . Если существует конеч-
ный предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
f (M |
0 ) |
lim |
f (x0 |
,..., x0 |
, x0 |
x |
, x0 |
,..., x0 ) f (x0 |
,..., x0 ) |
|
|
|
lim |
|
k |
|
1 |
k 1 |
k |
k |
k 1 |
n |
1 |
n |
, |
(4.4) |
|
|
xk |
|
|
|
|
|
xk |
|
|
|
||||
xk 0 |
|
xk 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
то его называют частной производной функции |
по переменной xk и обозначают |
f (x0 ) , fx (x0 ) .
xk k
Примеры
1. f (x1, x2 , x3, x4 ) x12 (x3 sin x4 ) sin3 (3x4 4x34 ) x2 .
|
f |
x2 cos x |
|
3sin 2 (3x |
|
4x4 ) cos(3x |
|
4x4 )3. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
4 |
4 |
4 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
x4 |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. f (x, y) |
e3xy |
f |
|
3ye3xy 3x e3xy 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
◄ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
9x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Определение. Функция |
|
называется дифференцируемой в точке M 0 , если ее пол- |
||||||||||||||||||||
ное приращение в этой точке может быть представлено в виде |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
, |
|
(4.5) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
- скалярное |
|||
произведение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Определение. Если функция |
|
дифференцируема в точке M 0 , |
то выражение A x |
|||||||||||||||||||
называется |
полным дифференциалом функции |
в |
точке M 0 и |
обозначается |
через |
||||||||||||||||||
df (M 0 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Таким образом, если функция |
|
дифференцируема в точке M 0 , то |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
df (M 0 ) A x A1 x1 |
... An xn . |
|
(4.6) |
|||||||||||
|
Дифференциалом независимой переменной |
xk будем называть приращение |
xk и |
||||||||||||||||||||
будем обозначать его через dxk . Таким образом, если |
, , …, |
- независимые пере- |
|||||||||||||||||||||
менные, то формулу (4.6) можно записать в виде: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(4.7) |
Определение. Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого множества, то она называется дифференцируемой на этом множестве.
4.5.Связь между дифференцируемостью и существованием частных производных
Теорема 1 (о необходимом условии дифференцируемости ф.н.п.). Если функция дифференцируема в точке M 0 , то она имеет в этой точке частные производные. При этом
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(4.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Доказательство. Проведем доказательство для функции |
|
|
|
двух переменных. |
|||||||||
В остальных случаях доказательство аналогично. Так как функция |
дифференцируема в |
||||||||||||
точке |
, то |
|
|
|
|
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
. Придадим точке |
приращение только по первой координате |
. Тогда функция |
по- |
||||||||||
лучит приращение |
|
|
|
|
при |
. По определению частной |