- •1. Числовые ряды
- •1.1. Основные определения и понятия
- •1.2. Ряд геометрической прогрессии
- •1.3. Основные теоремы
- •1.4. Положительные ряды
- •1.4.1. Теоремы сравнения положительных рядов
- •1.4.2. Признаки сходимости положительных рядов
- •2. Функциональные ряды
- •2.1. Степенные ряды
- •2.2. Ряд Тейлора
- •3. Приложения рядов
- •3.1. Приближенное вычисление с помощью рядов
- •3.2. Приближенное вычисление интегралов
- •3.3. Решение задачи Коши методом последовательного дифференцирования
- •4. Ряды Фурье
- •4.1. Периодические функции
- •4.2. Определение ряда Фурье
- •4.3. Разложение функции в ряд Фурье на произвольном промежутке
- •4.4. Разложения только по синусам или только по косинусам
1
РЯДЫ
1.Числовые ряды
1.1.Основные определения и понятия
Определение. Пусть задана числовая последовательность {an}1 . Выражение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak |
a1 |
a2 ... an ... |
(1.1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
называется числовым рядом. Числа |
, |
|
|
,…, ,… называются членами ряда. Общим |
||||||||||||
членом ряда называется . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Первый член ряда |
, второй член ря- |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
да |
|
|
,…, общий ( -й) член ряда |
|
|
|
◄ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
Будем последовательно складывать члены ряда, составляя суммы. Получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.2) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Определение. Числа Sn ak |
называются частичными суммами ряда (1.1). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Определение. |
Если существует конечный или бесконечный предел |
|
частичных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сумм Sn ряда (1.1) при n , то его называют суммой ряда: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim Sn S . |
|
(1.3) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Если S - сумма ряда (1.1), то S ak . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Определение. |
Если ряд имеет конечную сумму (S ) , то его называют сходя- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
щимся. Если сумма бесконечна ( |
|
|
) или не существует, то ряд называют расходя- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
щимся. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Пример. Найти сумму ряда |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
►Разложим |
|
|
|
на сумму простейших дробей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
. Следовательно, |
, |
|
|
. Та- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Таким образом, исследуемый ряд имеет конеч- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ную сумму: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
◄ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Определение. Если в ряде (1.1) отбросить первые n членов, то получится ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn 1 ak an 1 an 2 an 3 ... , |
|
(1.4) |
k n 1
который называют остатком ряда (1.1).
2
1.2.Ряд геометрической прогрессии
|
|
|
|
Рассмотрим геометрическую прогрессию: , |
, |
,…, |
,…, где |
a 0 . Первый |
||||
член прогрессии |
, знаменатель прогрессии |
. Сумма всех членов прогрессии есть |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд a q k 1 |
a a q a q 2 ... a q n .... Как известно из школьной математики, сумма |
|||||||||||
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
первых |
n |
членов |
прогрессии (частичная сумма |
ряда) вычисляется |
по формуле |
|||||||
S |
|
|
|
a (1 qn ) |
, если q 1. Запишем иначе: |
|
|
|
|
|||
n |
1 |
q |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Найдем предел частичных сумм, если он существует. Рассмотрим несколько случаев.
1.Если
2.Если
3.Если
|
|
|
|
|
|
a |
|
qn |
|
|
a |
|
q |
1, то lim S |
|
lim |
|
|
|
a |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n |
|
1 |
q |
|
|
|
|
1 q |
|
|
|
n |
|
n |
|
1 q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
qn |
|
|
|
|
q |
1, то |
lim S |
|
lim |
|
|
|
a |
|
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
1 q |
|
|
|
|||||
q 1, |
то lim Sn |
lim a a a ... a lim n a . Если |
q 1, то |
||||||||||||
|
|
n |
|
n |
n |
|
|
n a |
|
|
lim Sn |
lim a a a a ... a . При четном n |
Sn 0 , при нечетном n |
Sn a . |
n |
n |
|
|
|
n раз |
|
|
Следовательно, при q 1 частичные суммы не имеют предела.
Таким образом, ряд геометрической прогрессии сходится, если q 1, и сумма ряда
|
S |
a |
|
равна |
|
. |
|
1 q |
1.3.Основные теоремы
Теорема 1 (о ряде и его остатке). Если ряд сходится, то сходится и любой из его остатков. Если сходится остаток ряда, то сходится и сам ряд. При этом верна формула:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
(1.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. 1) Рассмотрим остаток Rn 1 |
|
ak . Обозначим частичные суммы |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n m |
|
|
|
|
|
|
|
|
остатка через S |
: S |
a |
n 1 |
a |
n 2 |
... a |
n m |
|
|
|
a |
k |
. Тогда частичные суммы ряда можно |
|||||||||||||||||
m |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n m |
|
|
|
n |
|
|
|
|
n m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
записать в виде: |
S |
n m |
|
|
a |
k |
|
|
a |
k |
|
|
a |
k |
S |
n |
S |
|
. При фиксированном |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
k n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
lim S |
n m |
|
lim |
S |
n |
S |
S |
n |
lim S . |
(1.6) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
m |
m |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, предел lim Sn m конечен тогда и только тогда, когда конечен предел
m
lim S . Другими словами, ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится его остаток. |
||||||
m |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Докажем формулу (1.5). Пусть ряд сходится и его сумма равна : lim Sn |
S . По |
||||
|
|
|
n |
|
|
|
только что доказанному это равносильно тому, что сходится остаток: lim S |
R |
|
. Тогда |
|||
|
|
m |
m |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из (1.6) получаем: |
|
|
|
|
|
3
Замечание. Теорему 1 можно сформулировать другими словами: отбрасывание конечного числа начальных членов ряда или присоединение в начале его нескольких новых членов не отражается на сходимости ряда.
Теорема 2. Если ряд (1.1) сходится, то его остаток (1.4) стремится к нулю при n :
lim Rn 1 0 .
n
|
|
Доказательство. Если ряд сходится, то из (1.5) Rn 1 S Sn и lim Rn 1 S S 0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
Теорема 3. Пусть ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak |
|
|
(А) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
сходится и его сумма равна . Тогда сходится ряд |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c ak , |
|
|
(В) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
где c 0 , и его сумма равна |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
Доказательство. Частичная сумма ряда (А) |
|
равна Sn ak . Поскольку ряд (А) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
сходится |
|
и |
его |
сумма |
|
равна |
, |
то lim Sn S . |
Частичные суммы ряда |
(В) равны |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
c a |
k |
c |
|
a |
k |
c S |
n |
. Тогда |
lim S c lim S |
n |
c S . Следовательно, |
ряд (В) схо- |
|||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
n |
|
|
|
||||||
|
|
k 1 |
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дится и его сумма равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Теорема 4. Пусть ряды |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak |
|
|
(А) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bk |
|
|
(В) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходятся и их суммы равны соответственно |
и |
|
. Тогда сходится ряд ak bk и |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
его сумма равна |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Задание. Доказать теорему 4 самостоятельно аналогично предыдущ е- |
||||||||||||||||||
му случаю . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Теорема 5 (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд сходится, то его об- |
||||||||||||||||||
щий член стремится к нулю: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim an |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Пусть ряд сходится, |
то есть lim Sn S . Так как Sn Sn 1 an , |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
lim Sn |
Sn 1 S S 0 |
|
|
|
|
n |
|
|||||||||
то lim an |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если общий член ряда не |
||||||||||||||||||
стремится к нулю |
|
|
|
|
|
, то ряд расходится. |
|