13.Жиында қорыту және салдар ұғымдары.

а) Жиында қорытудың анықтамасы. Гипотеза ұғымы.

в)Салдар ұғымы және оның мысалдары. Қарапайым қасиеттері.

Пікірлер есептеуінде бip қорыту ережесі бар. Ол ереже модус поненс (modus ponens) деп аталады.

Окылуы: ψ формуласы φ жэне φ—> ψ формулаларының тікелей салдары болады.

Енді математикада аса маңызды ұғымдар - қорыту (дэлелдеу), теорема, гипотеза жэне салдар ұғымдарының анықтамаларын берейік.

Аныктама. Егер пікрлер логикасының формулаларынан туратын

φ,φ....φ

тізбегіндегі әp6ip формула аксиома немесе өзінің алдындағы формулалардан корыту ережесі аркылы алынған (яғни олардың тікелей салдары) болса, онда жоғарыдағы формулалар тізбегін пікірлер есептеуіндегі қорыту (дәлелдеу) деп атаймыз.

Аныктама. Егер соңғы формуласы φ-ге тең пікірлер есептеуінің корытуы табылса, онда φ формуласы пікірлер есептеуінің теоремасы деп аталады. Ал табылған формулалар тізбегін φ формуласының қорытуы деп атаймыз.

Белплеук |-φ.

Лемма 4.1 Пікірлер есептеуінің кез келген φ формуласы үшін

φ—>φ формуласы теорема болады, яғни |- φ—>φ .

Дәлелдеу. Анықтама бойынша, φ—>φ формуласының корытуы болатын формулалар тізбегі табылуы керек. Енді сол корытуды келтірейік.

1. (φ (φ—>φ)) —> ((φ—> ((φ—>φ) —>φ)) -> (φ—>φ)) - Г2 нұсқасы бойынша аксиома.

2. φ—>(φ—>φ) - Г1 нұскасы бойынша аксиома.

3.( φ—>( φ—>φ) —>φ)) —>φ (φ—>φ) -2 -ші және 1-ші формулалардың МР ережесі бойынша тікелей салдары.

4. φ—>((φ—>φ) —>φ) - Г1 нұскасы бойынша аксиома.

5 . φ—>φ -4-ші жэне З-ші формулаларының МР ережесі бойынша тікелей салдары.

Сонымен |- φ—>φ .

Аныктама. Г формулалар жиыны берілсін. Егер φ,φ,....φ формулалар тізбегіндегі әpбip формула аксиома немесе Г жиынының элементі немесе өзінің алдындағы формулалардың тікелей салдары болса, онда бұл формулалар тізбегі Г жиынындағы есептеуінің қорытуы деп аталады. Корытуда кездесетін Г жиынының элементтерін гипотезалар деп атаймыз

Корытудың карапайым касиеттepi

1.Әpбip аксиома теорема болады. Яғни φ аксиома болса, онда |-φ.

2. Әpбip теорема кез келген формулалар жиынының салдары болады.

3.Егер φ€Г, онда Г|—φ. Мысалы, кез келген φ формуласы үшін

φ|-φ.

4. Егер Г|—φ жэне Г€E болса, онда Е|-ф.

5.Егер Г|-φ болса, онда Г жиынының акырлы ішкі жиыны Г₁ (Г₁ €Г) табылып, ол үшін Г₁ |—φ болады. Бұл касиет корытудың финиттілігі деп аталады.

Г, Е - формулалар жиындары берілсін. Егер Г|—φ жэне Г жиыныныц әрбір Ө фомуласы үшін Е|-0 болса, онда Е|-Ө. Бұл касиет корытудың транзиттілігі деп аталады.

В)Анықтама. Егер соңғы формуласы φ формуласы болатын және Г жиынында қорыту болатын φ,φ,...φ формулалар тізбегі табылса,онда φ формуласын Г жиынының салдары деп аталады.

Салдар 4.3 a)φ->ψ,ψ->Ө|-φ->Ө

b)φ->(ψ->Ө)ψ|-φ->Ө

Дәлелдеуі.алдымен (a)

φ->ψ,ψ->Ө|-φ->Ө (*) корытуының орындалатынын көрсетеміз.

φ->ψ - гипотеза,

ψ->Ө - гипотеза,

φ - гипотеза,

ψ- З-iшi және 1-шi формулалардың тікелей салдары,

Ө- 4-шi және 2-шi формулалардың тікелей салдары.

Сонымен (*) корытуы φ->ψ,ψ->Ө|-φ->Ө дәлeлдeндi, енді (*)-ға дедукция теоремасын колдансак, φ->ψ,ψ->Ө|-φ->Ө болады.

(b): Бұл жолы да алдымен φ->(ψ->Ө)ψ|-φ->Ө болатынын көрсетіп алып, артынан дедукция теоремасын колданамыз

Сонымен φ->(ψ->Ө)ψ|-φ->Ө (**) корытуын дәлелдеп алайық.

φ->(ψ->Ө)- гипотеза,

ψ — гипотеза,

φ - гипотеза,

φ->Ө - З-шi жэне 1-шi формулалардың тікелей салдары,

Ө - 2-шi жэне 4-шi формулалардың тікелей салдары.

Сонымен (**) корытуы дәлелденді енді (**)-га дедукция

теоремасын колдансак φ->(ψ->Ө)ψ|-φ->Ө

болады.