16. Инерция моменттері бас остері. Ассимметриялы ұршық.

координаттық осьтер арқылы кинетикалық энергия былай жазылады:

,

Бас осьтердегі инерция моменттері инерцияның бас моменттері деп аталады. Олар ,, – деп белгіленген.

Бас инерция моменттерінің мәндері әр түрлі болған жағдайда денелер ассимметриялы ұршық деп аталады.

_{17. Инерция моменттері бас остері. Симметриялы ұршық.}

координаттық осьтер арқылы кинетикалық энергия былай жазылады:

,

Бас осьтердегі инерция моменттері инерцияның бас моменттері деп аталады. Олар – деп белгіленген.

бас инерция моменттерінің екеуі бір-біріне тең болса, ол I₁=I₂≠I₃ — симметриялы ұршық деп аталады.

_{18. Инерция моменттері бас остері. Сызықтық ұршық.}

координаттық осьтер арқылы кинетикалық энергия былай жазылады:

,

Бас осьтердегі инерция моменттері инерцияның бас моменттері деп аталады. Олар ,, – деп белгіленген.

Бас инерция моментінің екеуі бір-біріне тең I₁=I₂I₃=0, үшіншісі нөлге тең болған жағдайда бұл дене сызықтық ұршық немесе ротатор болып табылады. Ротатордың тек екі ғана айналу еркіндік дәрежесі бар, яғни тек қана x` және y` осьтерінің маңында айналады, ал түзудің өз маңында айналуы жағдайы қарастырылмайды.

_{19. Қатты дененің импульс моменті.}

Қатты дененің еркіндік дәрежесі алтыға тең болғандықтан, қозғалыс теңдеулер жүйесі алты тәуелсіз теңдеулерден тұруы керек. Оларды дененің импульс және момент векторларының уақыт бойынша туындысы ретінде жазуға болады.

–импульс моменті

, – қатты дененің импульс моменті,

–импулсь моментінің тензоры.

–тензорлық түрде.

20. Қатты дененің қозғалыс теңдеулері.

, (1)

(2), (3)

(4), (5),

,

21. Күш моменті.

қозғалыс теңдеулерін импульс моментінің уақыт бойынша туындысы ретінде алайық.

Таңдап алған санақ жүйесінде , болады. және векторлары бағыттас болғандықтан;

болғандықтан,

, Себебі

–векторы күшінің моменті деп аталады. Сондықтан – денеге әсер ететін барлық күштердің моменттерінің қосындысына тең болып табылады.

қатты дененің біртекті өрісте қозғалысы кезінде өрістің әсері радиус векторы нүктеге берілген бір ғанакүшімен сипатталады.

22. Бір нүктесі бекітілген абсолют қатты дене үшін Эйлердің қозғалыс теңдеулері.

,

(1)

қозғалыс теңдеулерін x,y,z қозғалыстағы координаттар үшін жазайық.

- кез-келген бір векторының тыныштықтағы координаттар жүйесіне қатысты алғандағы уақыт бойынша өзгерісі деп алайық.

(2)

(3)

Осы жалпы формуланы пайдаланып (1) өрнекті қайта жазамыз:

Уақыт бойынша дифференциалдау қозғалыстағы санақ жүйесінде жүргізілгендіктен, теңдеулерді осы осьтердегі проекциялары арқылы жаза аламыз:

Мұндағы 1,2,3 индекстері x`,y`,z` осьтеріндегі осы теңдеулердің құраушыларын білдіреді.

алмастырып:

,,,

Осы теңдеулер Эйлер теңдеулері деп аталады.

23. Инерциалды емес санақ жүйелеріндегі қозғалыс.

(1), (2),

(3) (инерциалды емес санақ жүйесінде Лагранж функциясы)

Лагранж теңдеуі, (4), (5)

(6)

(7) үдеу

(8),

(9),

(10),

(11) қозғалсы теңдеуі.

24. Инерциалды емес санақ жүйелеріндегі денелердің айналмалы қозғалыс теңдеуі.

, (1),

(2),

(3)

(4)

(5),

(6)

(7)

–кориолис күші, – центрден тепкіш күш.

25. Инерциалды емес санақ жүйелеріндегі толық энергия.

(үдеу), (бұрыштық жылдамдық)

(1)

,

,

,

Центрден тепкіш потенциалдық энергия.

.

26. Пуассон жақшалары. Пуассон жақшаларының қасиеттері.

функциясын – координата, импулсь және уақыттың функциясы ретінде қарастыралық. Оның уақыт бойынша толық туындысын қарастыратын болсақ,

(1),

Гамильтон теңдеулерін қолданамыз,

,(2)

(1)-ге қойғанда

,

Мынадай белгілеу енгізсек,

,

және - ке арналған өрнекті Пуассон жақшалары деп атайды.

Егер де функциялардың орнын алмастырса, жақшаның таңбасы өзгереді:

Егер функциялардың бірі тұрақты шама болса, жақша нөлге айналады:

27. Якоби теңдігі.

Егер және функцияларының бірі импульс немесе координаттың бірімен сәйкес келсе, Пуассон жақшалары жай ғана дербес туындыны көрсетеді деуге болады,

,,

,,

Сонымен Пуассон жақшаларының үш функциялар арқылы жазылған қатынасты Якоби теңдігі деп атайды:

28. Гамильтон-Якоби теңдеуі.

Ең аз әсер принципі бойынша:

(1) (1)

мұндағы әсер ұғымы уақыт пен координатаның функциясы ретінде берілген.

(2) (2)

Әсердің анықтамасы бойынша оның траекторияның бойымен алынған уақыт бойынша толық туындысы

(3) (3)

(4)

(5) немесе

(6) (6)

және еске түсіре отырып, функциясын қанағаттандыратын теңдеуді аламыз:

(7) (7)

бұл бірінші ретті дербес туындылы теңдеу; оны Гамильтон-Якоби теңдеуі деп атайды.

29. Гамильтон-Якоби теңдеуінің математикалық құрылысы. Толық интегралы.

Гамильтон-Якоби теңдеуін жазатын болсақ,

(1) (1)

Декарт координаттар жүйесінде:

(2)

Полярлық координаттар жүйесінде:

(3)

Жалпы жағдайда бірінші ретті дербес туындылы диференциалды теңдеулердің шешімі кез-келген функцияға тәуелді болады. Мұндай шешімді жалпылама шешім немесе жалпы интеграл деп атайды. Механикада Гамильтон-Якоби теңдеуінің жалпы интегралы емес, көбіне толық интегралы негізгі рөл атқарады. Дербес туындылы диференциалды теңдеулердің толық шешімі деп қалауымызша алынған неше тәуелсіз тұрақты болса, соншама тәуелсіз айнымалысы бар болатын теңдеулердің шешімін айтады.

Гамильтон-Якоби теңдеулерінде тәуелсіз айнымалылар – уақыт пен координата болып табылады.

Гамильтон-Якоби теңдеулерінің толық интегралы:

(4)

(5)

осыны ары қарай шешіп, координатасын уақыттың функциясы ретінде және кез-келген тұрақтыларын табамыз. Импульстің уақытқа тәуелділігінтеңдеуі арқылы алуға болады.

Гамильтон-Якоби теңдеуі – функциясы уақытқа тәуелсіз берілген жағдайда немесе жүйе консервативті болғанда анағұрлым қарапайымырақ болады. Әсердің уақытқа тәуелділігі былай беріледі:

(6)