теорет.механика

VI ҚАТТЫ ДЕНЕ ҚОЗҒАЛЫСЫ

21 Абсолют қатты дене. Оның еркіндік дəрежелері. Абсолют қатты дененің координаттары. Эйлер бұрыштары

Абсолют қатты дененің механикасы екі сатыдан: кинематика жəне динамикадан тұрады. Абсолют қатты дененің кинематикасы дененің қозғалысын осы дененің əрбір нүктелерінің өзара арақашықтықтары өзгермейтіндей етіп қарастырады, яғни дененің пішіні мен өлшемі қозғалысты қарастырғанда ешқандай рөл атқармайды жəне дене т$тас орта ретінде қарастырылады.

Сонымен қатар айта кететін жағдай табиғатта осындай денелердің болмауымен қатар, физикалық теорияда дененің қасиеттерін идеалдандырып жəне қарапайымдандырып отырмыз. Осындай жағдайларда денелердің қозғалысының шарттарын да өзгертуге тура келеді.

Қатты дененің қозғалыс кинематикасы ортаның қозғалмайтын ортада немесе онымен тығыз байланысқан кординаталар жүйесіндегі орны жəне орын ауыстыруын түсіндіреді.

Қатты дененің өзінде координаттар жүйесін енгіземіз. Осы координатаға байланысты өзгермейтін ортаның əрбір нүктесінің орнын анықтауға болады. Бұл жүйе қозғалыстағы кеңістіктегі өзгермейтін жүйені құрайды. О1 нүктесін қозғалыстағы жүйенің кез-келген нүктесіне орналастыруға болады жəне оны полюс деп атайды, ал осьтерін ζ ,η,θ деп белгілейміз.

Қатты дененің кеңістіктегі орнын анықтау үшін оның полюсімен жəне осьтерінің бағыттары ζ ,η,θ -ны қозғалмайтын ОХУZ санақ жүйесімен байланыстырамыз. О1 полюсінің орны r0 -радиус векторымен анықталады:

	r0 = x0 ex + y0 e y + z0 ez				(1)
Қозғалыстағы осьтердің бағыттары былайша анықталады:
	eξ	eη	eθ
ex	α11	α12	α13
e y	α 21	α 22	α 23	α	11
	α 31	α 32	α 33
ez
α11 ,...α 33 11 – еζ , еη ,еθ –	қозғалыстағы	осьтің	жəне		ех,еу,еz – қозғалмайтын

осьтердің арасындағы бұрыштың косинустары. α ік – тоғыз мəні бар орттардың ортогональдық шарттарды қолдансақ, олардың арасындағы байланысты былай табуға болады:

91

	3
соsαζη =( еζ , еη )= ∑ α i1*α і2=0		( еζ , еζ )=1
	і=1
	3
соsαζθ =( еζ ,еθ )= ∑ α i1*α і3=0		( еη , еη )=1
	і=1
	3
соsαηθ =( еη ,еθ )= ∑ α i2*α і3=0		(еθ ,еθ )=1
	і =1
ал енді үш өзара байланысы 1-ге тең болады
∑α ik α is = δ ks = 1, k = s		(2)
3
i=1	0, k ¹ s

Сонымен қозғалыстағы осьті қозғалмайтын оське қатысты анықтайтын α ік тоғыз мəнді шамасы алты шаманың мəнімен анықталады. Қатты дененің кеңістіктегі қозғалыс бағытын үш тəуелсіз параметрлермен анықтайды. Осы шамаларды абсолют атты денені айналуы еркіндік дəрежесі деп атайды.

Қатты дененің қозғалысы оның инерция центрінің үш координаттары x′, y′, z′ - тің қозғалмайтын x,y,z жүйесіне қатысты айналуын сипаттайтын үш бұрыштармен анықталатыны жоғарыда айтылды. Осы аталған бұрыштарды Эйлер б$рыштары деп атау көп жағдайда ыңғайлы болып табылады.

Қазіргі жағдайда бізді тек осьтердің өзара бір-біріне қатысты бұрыштары қызықтыратындықтан, екі жүйенің де басын бір нүктеде қарастырамыз.

26 – сурет

92

ON-түзуін − түйіндер сызығы деп атайды, яғни бұл түзу қозғалыстағы x′y′ жазықтығы қозғалмайтын xy жазықтығын қиып түсіреді. Бұл сызық z осіне жəне z′ осіне де перпендикуляр. Оның оң бағытын [zz ′] векторлық көбейтіндінің бағытымен сəйкес аламыз. z, z ′ − z жəне z ′ осьтерінің орттары.

x′, y′, z′ осьтерінің x,y,z осьтеріне қатысты орнын анықтайтын шамалар ретінде мынадай бұрыштарды аламы:

z жəне z ′ осьтерінің арасындағы – θ бұрышы; x жəне N осьтерінің арасындағы – φ бұрышы; N жəне x´ осьтерінің арасындағы – ψ бұрышы. φ жəне ψ бұрыштарын винт ережесі бойынша сəйкесінше z жəне z´осьтерінің маңында бұрылуы бағытын аламыз. Олардың мəндері 0≤θ≤ π; 0≤φ≤2π; 0≤ψ≤2π болады.

Б а қ ы л а у с ұ р а қ т ар ы

1.Абсолют қатты дене дегеніміз не?

2.Тұтас орта.

3.Қатты дене еркіндік дəрежелері.

4.Эйлер бұрыштары.

5.Түйіндер сызығы.

22 Бұрыштық жылдамдық. Жалпы бұрыштық жылдамдықтың қозғалыстағы санақ жүйесінің осьтеріне проекциялары

Қатты дене нүктелік массалардан тұратын болса оның массасы:

m = ∑ mi ;

i

ал егер тұтас ретінде қарастырсақ:

m = ∫ ρdV ;

V

ρ -тұтас дене үшін уақыт пен координаттың функциясы ρ = ρ(r, t ).

Қатты дененің қозғалысын түсіндіру үшін екі координаталар жүйесін қолданамыз: XYZ – “ қозғалмайтын”, яғни инерциалды санақ жүйесін жəне қатты дененің барлық қозғалысына қатысатын, сонымен қатар онымен тығыз бекітілген қозғалыстағы санақ жүйесін енгіземіз.

Қозғалыстағы санақ жүйесінің басы О нүктесіне бекітілген, яғни дененің инерция центрінде орналасқан. R – радиус-векторы қозғалыстағы санақ жүйесі О-ның орнын көрсетеді. Осы осьтің өзгеру бағыты қозғалмайтын оське қатысты үш тəуелсіз бұрыштармен жəне R – векторының үш құраушыларымен, яғни барлығы алты координатамен анықталады. Сонымен қатты дене алты еркіндік дəрежесі бар механикалық жүйе болып табылады.

Қатты дененің шексіз аз орын ауыстыруын қарастырамыз. Бұл қозғалысты екі түрлі қозғалыстың қосындысы ретінде түсіндіруге болады. Біріншіден, дененің шексіз аз параллель орын ауыстыруы. Бұл жағдайда инерция центрі

93

орын ауыстырудың бастапқы нүктесінен соңғы нүктесіне дейін қозғалмайтын оське қатысты бағытын өзгертпейді. Екіншісі инерция центрінің маңында қатты дене шексіз аз бұрылады.

27 – сурет

Қатты дененің кез-келген бір нүктесін алып, оның қозғалмайтын оське қатысты радиус-векторын r -деп белгілесек, дəл осы нүктенің қозғалыстағы оське қатысты радиус-векторын a -деп аламыз. Сонда da - шексіз аз орын ауыстыруы

da = dR + [dϕ × r ],

мұндағы dR -берілген нүктенің инерция центрін қоса параллель	орын
ауыстыруы жəне [dϕ × r ] – d ϕ шексіз аз бұрышқа бұрылғандағы	орын
ауыстыруы. Осы шамаларды dt-ға бөлгенде:

	da		dR
		= v,		= V ,
	dt		dt

dϕ	(3)
= W .

dt

Мынадай өрнекті аламыз:

v = V + [Wr ]

(4)

V – қатты дененің инерция центрінің жылдамдығы немесе оны қатты дененің ілгермелі қозғалысының жылдамдығы десе де болады. W-қатты дененің айналу б$рышты жылдамдығы деп аталады, оның бағыты айналу осінің бағытымен бағыттас. Сонымен қатты дененің кез-келген нүктесінің

94

жылдамдығы (қозғалмайтын оське қатысты ) дененің ілгермелі қозғалысы жəне оның айналуының бұрыштық жылдамдығы арқылы өрнектеледі.

Енді мынадай жағдайды қарастырайық: қатты денемен тығыз байланысқан O – координата жүйесі осы қатты дененің инерция центрінде емес O – нүктесінен b – қашықтықта орналасқан O′ нүктесінде болсын. O′ жүйесінің орын ауыстыру жылдамдығы V/, ал оның айналуының бұрыштық жылдамдығы Ω / болады.

Тағы да қатты дененің бойынан кез-келген бір P – нүктесін аламыз. Оның O′ осіне қатысты радиус-векторын r / деп алсақ:

r = r ′ + b

болады.Осыны (2)-ге қоямыз. Сонда:

	′	]	(5)
v	= V + [Ωb ]+ [Ωr

Ал бір жағынан V жəне Ω / анықтамасы бойынша v = V ′ + [Ω′r ′] болу керек

еді.

V ′ = v − [Ω′r ′]; V + [Ωb ]+ [Ωr ′]− [Ω′r ′]= V + [Ωb ]

немесе

Ω/ = Ω

(6)

Ω/ = Ω физикалық маңызы зор, яғни қатты денені тұтас дене ретінде алғанда оның əрбір нүктесінің бұрыштық жылдамдықтары бірдей болады. Қозғалыстағы санақ жүйесіне тығыз байланысқан координата жүйесінде əрбір уақыт моментінде осы жүйенің айналуының бұрыштық жылдамдығы жүйеге тəуелді емес. (5) формуладан v барлық нүктелердің жылдамдықтары бір жазықтықта жатыр жəне бұл жазықтық Ω бұрыштық жылдамдыққа перпендикуляр. Сондықтан кез-келген уақытта О/ санақ жүйесін V/ жылдамдығы ноль болатындай етіп таңдап алуға болады. Осы жағдайда қатты дененің қозғалысы тек осы О/ осінің маңындағы айналуы (айналмалы қозғалысы) болып табылады. Осындай осьті дененің лездік айналу осі деп атайды.

Осыдан ары қарай біз қозғалыстағы координата жүйесінің басы ретінде дененің инерция центрін аламыз жəне дененің айналуы да осы центр арқылы болады. Дененің қозғалысы кезінде Ω бұрыштық жылдамдықтың бағыты да

абсолют мəні де өзгереді деп есептеуге болады.

→

Енді Ω бұрыштық жылдамдық векторының x′, y′, z′ қозғалыстағы осьтеріне қатысты құраушыларын Эйлер б$рыштары жəне олардың

95

туындылары арқылы өрнектейміз. Ол үшін осы осьтерге θɺ,ϕɺ, Ψɺ бұрыштық

.

жылдамдықтарын проекциялаймыз. θɺ бұрыштық жылдамдығы ON түйін сызығы арқылы бағытталған жəне оның x´,y´,z´ осьтеріндегі құраушылары׃

.

θɺ1 = θɺcosψ ,

.

θɺ2 = −θɺsinψ ,

			.
			θɺ3 = 0	(7)
ɺ		осінің бойымен бағытталған.
ϕ бұрыштық жылдамдығы z
		ϕɺ1	= ϕɺsin θ sinψ ,
		ϕɺ2	= ϕɺsin θ cosψ ,
		ϕɺ3	= ϕɺcosθ	(8)
ɺ		z´ осімен бағытталған. Осыларды		əрбір осьтің
ψ	бұрыштық жылдамдығы

құраушылары арқылы біріктіріп׃

Ω1 = ϕɺsinθ sinψ + θɺcosψ

Ω2 = ϕɺsinθ cosψ − θɺsinψ

Ω3	= ϕ cosθ +ψ		(9)
	ɺ	ɺ

Егер x′, y′, z′ осьтері қатты дененің бас инерция осьтері арқылы алынған болса Эйлер бұрыштары арқылы өрнектелген айналмалы кинетикалық энергиясын есептеу үшін׃

	T =		1	(I	Ω 2 1 + I		Ω 2 2		+ I		Ω 2 3 )	(10)
						2				3
2				1
пайдаланып, I1 = I 2 ¹ I 3 болатын симметриялы ұршық үшін ׃
T =	I1	(ϕɺ2 sin2 θ + θɺ2 )+						I3	(ϕɺ cosθ +ψɺ)2			(11)
2							2

96

Симметриялы	ұршықтың	′	′	бас	инерция осьтерінің бағытын
		x , y
қалауымызша алуға	болатынын пайдалансақ,				x′ осі ON түйін осімен бірдей

болады да ψ=0 тең болады. Осыдан бұрыштық жылдамдықтың құраушылары׃

Ω = θɺ,
1
Ω2 = ϕɺsin θ
Ω3 = ϕɺ cosθ +ψɺ	(12)

Эйлер бұрыштарына арналған өрнектердің көмегімен симметриялы

ұршықтың еркін қозғалысын өрнектеуге қолдануға болады.

→

Ұршықтың тұрақты M моментінің бағытымен қозғалмайтын координаттар жүйесінің z осін бағыттас етіп аламыз. Z´ қозғалыстағы жүйенің осі ұршықтың айналу осімен сəйкес, ал x′ осі осы берілген уақыт моментінде түйіндер осімен

→					құраушылары (6) формуланың
бірдей болсын. Сонда M векторының
көмегімен׃
M = I	1	Ω		1	= I θɺ
1					1	1
M 2= I 2 Ω1			= I1ϕɺsin θ
M 3= I3Ω3 = I3 (ϕɺ cos θ +ψɺ)							(13)
Бір жағынан x′ осі (түйіндер				сызығы) z осіне			перпендикуляр
болғандықтан׃

M 1= 0 ,

M 2= M sinθ ,

M 3= M cosθ .

(14)

(13) мен (14) теңестіріп׃

I θɺ = 0 ,
1
M = I1ϕɺ,
M cosθ = I3 (ϕɺcosθ +ψɺ)	(15)
97

Осыдан

θɺ = 0 ,

		M = I1ϕɺ,
		M cosθ = I3 (ϕɺcosθ +ψɺ)				(16)
		→
Біріншіден θ=const болады. Ұршықтың осінің M				байланысы бұрышы
тұрақты болады.					M cosθ
ɺ	M	S прецессияның бұрыштық жылдамдығы, Ω3	=			S ұршықтың
ϕ =	I1				I 3

өз осінен айналуының бұрыштық жылдамдығы.

Б а қ ы л а у с ұ р а қ т ар ы

1.Қатты дене массасы.

2.Қатты дене бұрыштық жылдамдығы.

3.Лездік айналу осі.

4.Симметриялы ұршық.

5.Қатты дене прецессиясы.

23 Абсолютті қатты дененің инерция тензоры. Инерцияның бас өстері

Қатты дененің кинетикалық энергиясын есептегенде оны дискретті материалдық нүктелер жиыны ретінде қарастырамыз.

T = ∑		mv2		(1)
	2
Мұндағы
				(2)
v = V	+ [Ωr ]

болғандықтан, кинетикалық энергия инерция центріне шоғырланған дененің бүкіл массасының кинетикалық энергиясынан жəне дененің əрбір бөлшегінің салыстырмалы қозғалыстарының кинетикалық энергиясынан тұрады. Қатты

дене жағдайында бөлшектердің салыстырмалық қозғалысы дегені барлық

бөлшектердің бірдей бұрыштық жылдамдықпен Ω инерция центрінің маңында айналуын көрсетеді.

Қатты дененің айналу кинетикалық энергиясын жазамыз. Дененің тығыздығы ρ бүкіл денеде əр түрлі болып таралуы мүмкін. ρ = ρ (x,y,z)= ρ (r), яғни координатаға тəуелді болады. dV - көлемнің элементар массасы

dm = ρdV ,

98

ал айналмалы жылдамдығы v = [Ωr ], сондықтан кинетикалық энергия:

1

2

T =

∫ ρ[Ωr ] dV

(3)

2

[Ωr ]2

= Ω2r2 sin2α = Ω2r 2 (1 − cos2α ) = Ω2r 2 − (Ωr )2

Мұндағы α

–

r

бұрыш,

Ω2 = Ω2

+ Ω2

+ Ω2 ,

Ω мен

арасындағы

x

y

z

r 2 = x2 + y2 + z2 ,

2

x + Ω

y

+ Ω

z)2 = Ω2 x2

+ Ω2 y2 + Ω2 z2 + 2Ω

Ω

xy + 2Ω

Ω

xz + 2Ω

Ω

yz .

(Ωr ) = (Ω

x

y

z

x

y

z

x

y

x

z

y

z

Орнына қоямыз:

T =

1

Ω2x

∫ ρ (y 2 + z 2 )dV +

1

Ω2y ∫ ρ (x 2 + z 2 )dV +

1

Ω2z ∫ ρ (y 2 + x 2 )dV −

2

(4)

2

2

− Ω x Ω y ∫ ρxydV − Ω x Ω z ∫ ρxzdV − Ω z Ω y ∫ ρzydV

Осы өрнектегі интегралдар қатты дененің формасы мен тығыздықтың таралуына тəуелді, ал қозғалысқа əсер етпейді. Сондықтан оларды былай белгілеп қоямыз:

		Jxx= ∫ ρ (z2+y2)dV,	Jxy=- ρxydV ,
		Jyy= ∫ ρ (x2+z2)dV,	Jxz=- ∫ ρxzdV ,
		Jzz= ∫ ρ (x2+y2)dV,	Jyz=- ∫ ρyzdV .
					(5)
I xx , I yy , I zz	–	сəйкес оське қатысты алынған инерция		моменттері	деп
аталады.
I xy , I xz , I yz –	I ik	деп белгілеп оны инерция моментіні тензоры немесе жай
ғана инерция	тензоры деп атайды. I1 , I 2 , I 3		– бас инерция	моменттері	деп

аталады.

Сонымен қатты дененің айналмалы қозғалысының кинетикалық энергиясы:

T =

1

(I

Ω2

+ I

Ω2

+ I

Ω2

+ 2I

Ω

Ω

+ 2I

Ω

Ω

+ 2I

Ω

Ω

) =

1

I

Ω

Ω

, (6)

2

xx

x

yy

y

zz

z

xy

x

y

xz

x

z

yz

y

z

2

ik

i

k

Ал толық кинетикалық энергиясы:

T = μV 2

+

1

I

Ω

Ω

.

(7)

2

2

ik

i

k

99

(7) қатты дененің кинетикалық энергиясына арналған түпкілікті теңдеуі. Бұл шама екі қосындыдан тұрады. Бірінші қосынды қатты дененің массасы оның инерция центрінде шоғырланған жағдайдағы ілгерілемелі қозғалысының кинетикалық энергиясын көрсетеді, ал екінші қосынды қатты дененің инерция центрі арқылы өтетін ось бойынша Ω бұрыштық жылдамдықпен болатын айналмалы қозғалысының кинетикалық энергиясы болып табылады.

Инерция тензоры диагоналдық түрге келетін x′, y′, z′ координаттар жүйесінің осьтері инерция тензорыны бас осьтері деп аталады. Қатты дененің Лагранж функциясын жазамыз

L =	μV 2	+	1	Iik ΩiΩk − U .	(8)
2		2

U – потенциялдық энергиясы қатты дененің кеңістіктегі орнын анықтайтын 6 айнымалының, мысалы, x,y,z координаталары жəне қозғалыстағы координаттар осінің тыныштықтағы координаттар осьтеріне қатысты айналу бұрыштарының үш мəнінің функциясы болып табылады.

O, x, y, z − координаттар жүйесінде Ixx, Ixy, Iyy, Ixz, Izz, Iyz мəндері тұрақты болады. Егер осы қатты денемен байланысқан басқа Ox'y'z' координаттар жүйесін алсақ, нүктелердің бұрынғы координаттар жаңа координаттармен белгілі формула арқылы байланысады:

′

′

′

′

′

′

x = x

cos (x , x) + y

cos (y , x) + z

cos (z , x),

′

′

′

′

′

′

y = x

cos (x , y) + y

cos (y , y) + z

cos (z , y),

′

′

′

′

′

′

z = x

cos (x , z) + y

cos (y , z) + z

cos (z , z).

cos (xi/ , xk ) = Aik белгілеу енгізіп, қосу ережесін қолдансақ

xk

= xi/ × Aik ,

(9)

Сол сияқты Ωk

– ескі координаттар осіне,

Ωi/ –

жаңа координаттар осіне

қатысты алынған түрлендірулер. Осы түрлендірулерді

T =

1

(I xx W/x

2

+ I yy W/y

2 + I zz W/z

2

+ 2I xy W¢x W¢y

+ 2I xz W¢x W¢z + 2I yz W¢y W¢z ),

(10)

2

орнына қоямыз. Осы түрлендіру кезінде Ω′x Ω′y , Ω′x Ω′z , Ω′y Ω′z –

нөлге

айналатындай түрлендірулер жасауға болады. Ω/x2 , Ω /y2 , Ω /z

2 –

болғандағы

инерциясы арқылы белгілесек

100