теорет.механика

Кинетикалық энергияның екі мəні болуы мүмкін:

T	=	m			(v			− V )2
						0
min	2
								(22)
			m
T	=				(v			+ V )2
							0
max	2

Бөлшектер бұл интервалда біртекті таралады. Ал бөлшектің екіге ыдырауымен салыстырғанда, екіден көп бөлшектерге ыдырағанда, импульстің жəне энергияның сақталу заңдарын қолдану бұндай эффективті болмайды. Мысалы, и.ц.с.ж. ұшып, бөлініп шыққан бөлшектердің энергиясының мəндерінің қатынасы белгісіз болады. Бірақ əрбір ыдыраған бөлшектің өзімен бірге ажыратып алып кететін кинетикалық энергияның белгілі бір жоғарғы шегі бар. Осы шекті есептейік. Ол үшін белгілі бір m1 бөлшектен басқа барлық ыдыраған бөлшектерді бір жүйе ретінде қарастырып, оның ішкі энергиясын Ei′

деп белгілейік. Сонда массасы m1				ыдыраған бөлшектің кинетикалық энергиясы
T10	=	P02		=	M − m1	(Ei − Ei1 − Ei′)	(23)
		2m1
					M

M – бастапқы бөлшектің массасы.

Eы – ыдырау энергиясы болса:

Eы = Ei − Ei1 − Ei′

Егерде Ei′ − min болса, T10 – барынша жоғары мəнді иеленеді. Ол үшін m1 бөлшектен басқа бүкіл ыдыраған бөлшектер бірдей жылдамдықпен қозғалу керек. Сонымен

(T	)	=	M − m1	E		(24)
					ы
10	max		M

Б а қ ы л а у с ұ р а қ т ар ы

1.Ыдырау энергиясы.

2.Лабораториялық санақ жүйесі.

3.Инерция центрі санақ жүйесі.

4.Денелік бұрыш дегеніміз не?

5.Ыдыраудағы кинетикалық энергияның жоғарғы шегі.

61

14 Бөлшектердің серпімді соқтығысы

Егерде екі бөлшектің соқтығысы кезінде олардың ішкі күйлері өзгермесе ол соқтығысу серпімді болады. Сондықтан осындай процеске энергияның сақталу заңдарын қолданғанда ішкі энергиясын ескермеуге болады.

Ei = Ei′

(1)

И.ц.с.ж.

			= 0
P	+ P
10		20			(2)
			=
P′	+ P′			0
10		20
P		= −P
10			20		(3)
P′		= −P′
10			20

И.ц.с.ж. екі дененің соқтығысуы кезінде екі дене инерция санақ жүйесінде тыныштықта болады. Соқтығысуға дейінгі и.ц.с.ж. денелердің жылдамдықтары v01 жəне v02 , олардың л.с.ж. жылдамдықтары v1 жəне v2 былай байланысқан:

v	= v
		+ V
1	01
v	= v
		+ V
2	02
v′ = v′
		+ V
1	01
v′ = v′
		+ V
2	02

				m = m1	+ m2		m v		+ m v
	=	P	=			=
V							1	1	2	2
		m		P = P1 + P2			m1 + m2

(4)

(5)

(6)

(яғни салыстырмалы

V - л.с.ж.-ң и.ц.с.ж.-не

қатысты

жылдамдығы

жылдамдық).

m v

+ m

v

v1

= v01

+

1

1

2

2

m1

+ m2

+

m v

+ m v

(7)

v

= v

1

1

2

2

2

02

m1

+ m2

62

v01 − ?

v

− ?

02

m v

+ m

v

(m + m

)v

− m v

− m

v

m

(v

− v

)

v = v1 − v2

m

v

v

= v

−

1 1

2

2

=

1 2

1

1 1

2

2

=

2

1

2

=

(9′)

=

2

01

1

m1

+ m2

m1 + m2

m1 + m2

m1 + m2

=

m2v

v01

m1 + m2

(8)

= −

m v

v02

1

m + m

1

2

Импульстің сақталу заңы бойынша и.ц.с.ж. соқтығысқан екі бөлшектің импульстері бағыттары бойынша қарама-қарсы, ал мəндері бойынша тең болады. Энергияның сақталу заңы бойынша абсолют мəндері де сақталады.

Енді соқтығысқаннан кейінгі жылдамдықтарын табайық: v′ , v′ – ?

10 20

Ол үшін екі бөлшектің соқтығысқаннан кейінгі жылдамдықтарының

бағыттары n0 вектормен сипатталсын.

16 – сурет

′

модульдері тең, ал бағыттары

Яғни бастапқы v10

= v10

′

m vn

= v10 n0

=

2

0

v10

m1

+ m2

′

m vn

= v20 n0

= −

1

0

v20

m1

+ m2

n0 -ға көбейтіледі.

(9)

Енді лабораториялық санақ жүйесінде жазатын болсақ, л.с.ж. бөлшектің соқтығысқаннан кейінгі жылдамдықтарын табу үшін (7′) қоямыз:

63

		m vn				m v + m v
v1′ =			2 0	+			1 1		2 2
							m1 + m2
		m1 + m2
			m1vn0					m1v1	+ m2v2
v2′ = −						+
			m1 + m2					m1	+ m2

Импульстері арқылы жазамыз:

m1m2

m1

P′=

vn +

(P + P )

1

m1 + m2

0

m1 + m2

1

2

m m

+

m

P2′ = −

1

2

vn0

2

(P1

+ P2 )

m1 + m2

m1 + m2

m =

m1m2

– келтірілген масса болса,

m1

+ m2

m1

P′= mvn

+

(P

+ P )

1

0

m1 + m2

1

2

m2

P′

= −mvn

+

(P

+ P ).

2

0

m1 + m2

1

2

Радиустары mv -ға тең шеңбер салып, диаграммасын саламыз

17 – сурет

(10)

(11)

(12)

64

		= mv = mvn
OC
						0
				m1
						1	2
AO =						(P	+ P )	(13)
				m1 + m2
				m2
OВ		=				(P	+ P )
			m1 + m2			1	2

АС = P′= АО + ОС

1

СВ = P2′ = ОВ − ОС

P1 жəне P2 берілген мəндерінде шеңбердің радиусы жəне А мен В нүктелерінің орны өзгермейді, ал С нүктесі шеңбердің бойындағы кез-келген нүкте бола алады. Енді бөлшектердің бірі мысалы m2 соқтығысқанға дейін тыныштықта болсын.

v	= 0;	v = v	Ендеше (14):
2		1
											m
				P′= mv n +										1					P
				1	1 0											1
										m1 + m2
									+					m													(14)
			P′ = −mv n											2									P
			2		1		0				m1 + m2												1
Енді
				OC = mv n						;					OC						= mv
					1		0														v						1
						m									m m
			OВ =			2			P		=					1 2 1											= mv
						m1 + m2								m1 + m2
										1																	1
				OВ = mv ;						ОС			=					ОВ									(15)
					1

Яғни В нүктесі шеңбердің бойында жатады.

		m		m m		P		m
AO =		1	P =	1 2		1	= m	1	v
	m1 + m2		1	m1 + m2 m2				m2	1
Яғни m1 < m2 , AO < OB болады да A нүктесі шеңбердің ішінде жатады. Ал
m1 > m2 болса, AO > OB болып,		A нүктесі шеңбердің сыртында жатады.

65

				18 – сурет
0 <θ1 <θmax				бұрыштары бөлшектердің соқтығысқаннан кейінгі бастапқы (P )
θ	1	жəне θ	2
				1

бағытынан ауытқу бұрыштары.

θ0 – бұрышы n0 бағытымен бірінші бөлшектің и.ц.с.ж.-гі бұрылу бұрышы.

θ0 мен θ1 арасындағы байланысты табатын болсақ:

		19 –		сурет
		P1′sin θ1	= OC sin θ0
		P1′cosθ1	= AO + OC cosθ0
tgθ1	=	OC sin θ0			=		m2 sin θ	0		(16)
		AO + OC cosθ					+ m2 cosθ
				0 m1					0

Енді θ2 табамыз:

DOCB - теңбүйірлі, ендеше ÐC = ÐB

66

ÐC + ÐB + ÐO =180° = π

2ÐB + ÐO = π

=θ0

2θ2

+ θ0

= π

θ2 =

π − θ0

(17)

2

Осы θ0 бұрышы арқылы соқтығысқаннан кейінгі жылдамдықтардың

абсолют мəнін табамыз:

v1′ − ?, v2′ − ?

v¢ = v¢

+ V

v¢ ; v¢

(18)

1

01

v¢ = v¢

+V

01

02

2

02

(11) формуладан аламыз жəне (8)

v¢

=

m2 v1n0

+

m1v1

(19)

m1 + m2

m1 + m2

1

Модулі:

2m v (n m v )

v1¢

m2 v2

m2 v2

+

v2

{m2

+ m1 + 2m1m2 cosθ

0 }

2

= (m1 + m2 )2

+ (m1 + m2 )2

(m1

+ m2 )2

1

= (m1 + m2 )2

2

1

1

1

2

1

0

1

1

2

2

v¢

=

v1

m2

+ m2

+ 2m m

cosθ

(20)

m1 + m2

0

1

1

2

1

2

v2 = 0; v = v1

болғандықтан:

v¢

= -

m1v1n0

+

m1v1

(21)

m1 + m2

+ m2

2

m1

Модулі:

v¢2

=

m12 v12

+

m12v12

-

2m12v1 (n0 v1 )

=

m12v12

{1

+1 - 2 cosθ

} =

(m1 + m2 )2

(m1 + m2 )2

(m1 + m2 )2

(m1 + m2 )2

2

0

2m2 v2

(1 - cosθ

) =

cosθ0 = 1 - 2 sin 2 θ0

2m2 v2

θ

0

4m2v2

1 1

2

=

1

1

1 -1 + 2 sin 2

=

1 1

si

(m1

+ m2 )2

(m1

+ m2 )2

(m1

+ m2 )2

0

cos 2α = 1 - 2 sin2 α

2

67

′	=	2m1v1		sin	θ0	(22)
v2		m1	+ m2		2

θ1 + θ2 = екі бөлшектің соқтығысқаннан кейінгі ұшу бағыттарының арасындағы бұрышы.

Егер m < m	2	θ	1	+ θ	2	> π	немесе m > m	2	θ	1	+ θ	2	< π
1						2	1						2

20 – сурет

Егер θ0 = π ; яғни екі бөлшек бетпе-бет соқтығысып, бір түзудің бойымен

қозғалса, С нүктесі AO түзуінің ортасында орналасады ( P1′ жəне P2′ бір-біріне бағыттары бойынша қарама-қарсы болады) немесе бір бағытта болады.

21 –

сурет

P′ = −P′

1

2

v1

v2

v1′

2′

v

m v

m v

+ m v

m − m v

v1′ = −

2 1

+

1 1

2 2

=

1

2 1

m1

+ m2

m1

m1

+ m2

+ m2

(23)

2m1v1

v2′ =

m1 + m2

егер m1 = m2 болса

68

v1′ = 0

біріншісі тоқтап қалады

v2′ = v1

Егер m1 < m2 болса, бірінші бөлшектің жылдамдығы соқтығысқаннан кейін кез-келген бағытта бола алады.

Егер m1 > m2 болса, ол ауытқу бұрышы қандайда бір максимал мəнінен арта алмайды.

22 – сурет

sinθmax	=	OC	=		m1v1				=	m2
		OA					m1	v1		m
					m					1
							m2
Сонымен
sinθmax			=	m2						(24)
				m1

Енді m1 = m2 болса жəне бөлшектің бірі соқтығысқанға дейін тыныштықта болса A жəне B нүктелері шеңбердің бойында болады.

69

																23 –				сурет
													θ	1	= θ0					;
																		2
																															(25)
													θ			=		π − θ0
														2						2
								θ		1	+ θ	2	= θ0 + π − θ0 = π																		(26)
																2				2					2
																																		v cos θ0	= v cos θ0
																							1 +			2 cos2 θ0	− 1 =
	v1′ =	m1v			=		2	v									=				2	v							2
				2 + 2 cosθ0					1 + cosθ0																								2
		2m1																											2
						2														2					2						2				2
																(27)
											cos 2α = 2 cos2 α − 1
											cosθ					0		= 2 cos2 θ0							− 1
																							2
													′								θ0
														= v cos
												v1
																				2											(28)
																					θ0
													′
												v2		= v sin
																				2

Яғни бөлшектер соқтығысқаннан кейін бір-біріне тік бұрыш жасай ұшып кетеді.

Б а қ ы л а у с ұ р а қ т ар ы

1.Серпімді соқтығыс дегеніміз не?

2.Ауытқу бұрыштары.

3.Нысанамен соқтығысу.

4.m1 < m2 жағдайы.

5.m1 > m2 жағдайы.

15 Бөлшектердің шашырауы

Екі бөлшектің соқтығысуының нəтижесін көрсету үшін ( χ бұрышын анықтау үшін) бөлшектердің əсерлесу заңын ескере отырып, қозғалыс теңдеуін шешу керек.

Жалпы заңдылықтарды қолданып, массасы m бөлшектің қозғалмайтын потенциалы U (r ) болатын күш центрінен ауытқуын қарастырамыз.

70