Лекция тема: дифференциальные уравнения.
Опр. Дифференциальным называется уравнение содержащее независимые переменные, функцию этих переменных и ее производные.
Опр. Если диф уравнение относительно функции одной независимой переменной, то уравнение называется обыкновенным диф. уравнением.
Опр. Если функция зависит от одной, двух и более переменных, то его называют уравнением частных производных.
Опр. Порядком диф. уравнения называют порядок старшей производной, входящей в это уравнение.
Примеры:
–обыкновенное диф.уравнение 1-го порядка.
–обыкновенное диф. уравнение 2-го порядка.
, где z=f(x,y) – уравнение 2-го порядка в частных производных.
Диф. уравнение можно записывать в производных и дифференциалах:
заменив
Пример: -диф уравнение в дифференциалах.
Опр. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая будучи подставленной в уравнение, обращает его в верное тождество.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой диф. ур.
Пример:
Проверим является ли функция решением диф уравнения
тоже решение ()
тоже решение диф уравнения (проверить самостоятельно дома)
Для диф уравнения второго порядка , легко заметить решением является.
Таким образом для диф уравнения существует бесконечное множество решений.
Опр. Общим решением диф.ур. называется функция вида
Т.е. для диф.ур. 1-го порядка
для диф.ур. 2-го порядка
для диф.ур. n-го порядка
Если вместо постоянных подставить конкретные значения, то полученная функция будет называться частным решением.
Опр. Решить диф. ур. значит найти его общее решение.
Очень часто решение диф.ур. получается в неявном виде. Т.е. неявно заданное решение диф.ур. – называется интегралом уравнения.
Некоторые типы диф.ур. первого порядка
1. Диф.Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.
Опр. Уравнения вида , называются уравнениями сразделенными переменными.
Решение таких уравнений находится непосредственным интегрированием.
Пример:
На первый взгляд кажется что решение у=х, но это только частное решение
Опр. Уравнения вида , называются уравнениями сразделяющимися переменными.
Сводится к уравнению с разделенными переменными путем деления обеих частей уравнения на
Пример:
2. Однородные уравнения.
Функция называется однородной степениm, если имеет место тождество:
Уравнение называется однородным дифференциальным уравнением, если функцииоднородные функции одной оной и той же степени.
Решаются путем подстановки
Пример:
Функция однородная второй степени
Функция однородная второй степени
Следовательно, это однородное дифференциальное уравнение.
Применим подстановку,
3. Линейные дифференциальные уравнения.
Опр. Диф.ур. называется линейным первого порядка, если его можно представить в виде.
, Р(х) и Q(x)–функции от х и могут быть постоянными.
Решаются такие уравнения с помощью подстановки у= UVвместо функции у, которую нужно найти.
1. Подставим вместо у и у’ у= UV,
2. Сгруппируем 1-е или 2-е слагаемое с третьим
3. введем условие, что выражение в скобках было равно нулю – ЛОДУ 1-го порядка которое мы решали выше и его решением будет
4. Вернемся к брошенному уравнению (в пункте 2). Подставим в уравнение:
решим полученное диф.уравнение:
/dx
получим
5. – решение уравнения в общем виде.
Пример: Решить уравнение вида
Это уравнение линейное, т.к. у и у’ входят в него в первой степени и нет члена с произведением уу’
Положим у=UV, тогда наше уравнение примет вид:
сгруппируем второе и третье слагаемое
Приравняем выражение стоящее в скобках к нулю получим ЛОДУ 1-го порядка.
, проинтегрируем обе части
положим с=0
потенцируем обе части
От первоначального уравнения осталось
запишем решение уравнения у=UV=