- •Теоретическая часть
- •Теплопроводность
- •Закон Фурье
- •Теплопроводность через цилиндрическую однослойную стенку
- •Экспериментальное определение коэффициента теплопроводности
- •Описание опытной установки и методика проведения эксперимента
- •Обработка результатов экспериментального исследования
- •Вопросы для самопроверки
Теплопроводность через цилиндрическую однослойную стенку
Любая практическая задача теплообмена в итоге сводится к вычислению теплового потока или определения температурного поля.
Для определения температурного поля без внутренних источников теплоты используется дифференциальное уравнение теплопроводности:
, (8)
где – коэффициент температуропроводности, характеризующий скорость изменения температуры в теле,м2/с;ср– удельная массовая изобарная теплоемкость,Дж/(кг.К);– плотность,кг/м3;– оператор Лапласа.
В цилиндрических координатах уравнение (8) имеет вид
, (9)
где – радиус-вектор;– угол наклона радиуса-вектора,z– вертикальная координата.
Для стационарного температурного поля в однослойной цилиндрической стенке (,и)при λ = idem дифференциальное уравнение теплопроводности принимает вид:
. (10)
Для решения дифференциального уравнения (10) введем новую переменную , тогда уравнение (10) запишется в виде
. (11)
После интегрирования дифференциального уравнения (11), получается
. (12)
Потенцируя выражение (12) и переходя к первоначальной переменной t, получаем
. (13)
Уравнение стационарного температурного поля в цилиндрической однослойной стенке получается после интегрирования выражения (13)
. (14)
Постоянные интегрирования С1иС2определяются из граничных условийIрода:
при r = r1 t = tc1; r = r2 t = tc2;(15)
, . (16)
Решение уравнений (16) позволяет найти постоянные интегрирования
,(17)
После подставки полученных значений С1иС2в уравнение (14), окончательно получается уравнение стационарного одномерного стационарного температурного поля в цилиндрической однослойной стенке (рис. 2):
, (18)
где tc1, tc2– температуры на внутренней и наружной поверхностях цилиндрической стенки;r1, r2– внутренний и наружный радиусы;r– текущий радиус (r1 r r2).
Полученное выражение температурного поля представляет собой уравнение логарифмической кривой.
Рис. 2. Стационарное температурное поле
в цилиндрической однослойной стенке
Так как температура в рассматриваемом случае изменяется только в зависимости от текущего радиуса, то температурный градиент с соотношений (13) и (17) определяется следующем образом:
. (19)
Тепловой поток, передаваемый теплопроводностью через цилиндрическую однослойную стенку, определяется по закону Фурье (5) с учетом выражения температурного градиента (19) и площади поверхности (F = 2πrl) теплообмена:
=, (20)
Тепловой поток, отнесенный к единице длины цилиндрической стенки l, называется линейной плотностью теплового потока.
,Вm/м(21)
Значения теплового потока Qи линейной плотности теплового потокаqlне меняются во времени и по толщине стенки.
Формулы для определения теплового потока (20) и линейного теплового потока (21) можно представить в виде:
Q=,(22)
где R=,Rl=R/l − полное и удельное линейные термические сопротивления теплопроводности однослойной цилиндрической стенки.
Из соотношений (22) видно, что при стационарной теплопроводности перепад температур на цилиндрической стенке прямо пропорционален термическому сопротивлению и обратно пропорционален величине коэффициента теплопроводности.