Средняя геометрическая
Средняя геометрическая рассчитывается также по формуле простой и взвешенной7.
Простая:
Взвешенная:
Средняя арифметическая взвешенная получила наиболее широкое примение при анализе рядов динамики для расчета среднего темпа роста.
Средняя квадратическая
Для средней квадратической существуют формулы постой и взвешенной:
- простая;
-взвешенная .
Наиболее широко эту среднюю применяют при анализе вариационного ряда для расчета дисперсии и коэффициента вариации.
В статистике находят применение степенные средние и более высокого порядка.
Структурные средние
В статистике употребляется еще две разновидности средних величин, которые вытекают из характеристики статистических рядов и не являются результатом каких – либо алгебраических действий – это структурные средние: мода и медиана. При условии недостаточности исходных данных, которая в ряде случаев объективно может возникнуть при сборе информации (например, коммерческая тайна), предпочтение отдается структурным, или позиционным средним – моде или медиане.
Модой называют значение признака, которой наиболее часто встречается в данной совокупности. Т.е. это величина признака с наибольшей частотой или частостью.
Существуют случаи, когда два и даже более значений признака повторяются одинаково максимальное число раз. В этом случае имеют дело с бимодальным распределением признака и его мультимодальным его распределением. Наличие двух и более модальных значений может означать неоднородность исследуемой совокупности.
При отсутствии повторяющихся значений признака в совокупности первичных данных для определения моды необходимо предварительно выполнить группировку, в результате чего получить интервальный ряд распределения.
Тогда мода определяется по формуле8:
,
где
-
нижняя граница модального интервала,
-
частота модального интервала,
- частота
предмодального интервала,
- частота
послемодального интервала,
d – величина модального интервала.
Модальным называется интервал, которому соответствует наибольшая частота.
Итак, приведем пример расчета моды из интервального ряда на основании данных проходки на долото.
Таблица 2
Проходка на долото
|
Проходка на долото,м |
Число долот |
Кумулятивная частота |
|
0,5 – 3,0 3,0 – 5,5 5,5 – 8,0 8,0 – 10,5 10,5 – 13,0 |
15 42 19 8 6
|
15 57 76 84 90 |
|
Итого |
90 |
* |
Источник: В.П.Калинина, Т.В. Диденко «Статистика нефтяной и газовой промышленности», часть I, Москва, 1983, с.46
Для нахождения моды, в первую очередь, нужно определить модальный интервал. Модальным будет интервал, которому соответствует наибольшая частота. В данном примере наибольшей частотой обладает(42) обладает интервал (3,0 – 5,5), где значение варианты лежит в пределах от 3,0 до 5,5м. Это и есть модальный интервал.
Его нижняя граница 3,0 величина модального интервала, определяемая как разность между максимальным и минимальным значением признака. равна: 42 -15=27; 42 -19=23.
Следовательно:
Медиана – это значение варьирующего признака, которое делит ранжированный ряд данных на две равные части. Вследствие, 50% единиц исследуемой совокупности имеют значения признака меньше, чем медиана, а 50% - значения признака больше чем медиана.
Если число членов ряда нечетное, медианой будет средний член ряда по порядку: при 9 членах ряда – пятый, при 5 – третий и т.д. Когда число членов ряда четное, медианой является средняя из двух вариант, находящихся в середине ряда.
Когда медиану определяют по несгруппированным (первичным)
данным, сначала
необходимо расположить их в порядке
возрастания. После определяют номер
той единицы, значение признака у которой
будет соответствовать медиане:
,
порядковый
номер медианы,
n – число единиц совокупности.
Когда расчет медианы производят по сгруппированным данным, то медиана соответствует варианте, стоящей в середине ранжированного ряда9:
,
где
- верхняя граница предмедианного
интервала;
- частота медианного
интервала;
d- величина медианного интервала;
- сумма накопленных
частот в интервале, предшествующем
медианному.
Медианным называют интервал, кумулятивная (накопленная) частота которого равна или превышает полусумму накопленных частот ряда и ближе всего к ней расположена.
Кумулятивную частоту образуют путем постепенного суммирования частот, начиная с первого интервала.
Далее приведем пример расчета медианы в интервальном ряду на основе данных таблицы 2.
Медианным будет интервал от 3,0 до 5,5. Расчет медианы будет следующий:
Далее необходимо отметить, что медиана обладает свойством, которое заключается в том, что сумма абсолютных величин линейных отклонений от медианы минимальна10.
Это свойство очень важно при практическом применении медианы.