- •Примеры решения задач по классической механике Порядок решения задачи на уравнение траектории
- •Порядок решения прямой задачи
- •Порядок решения обратной задачи
- •Задачи на формулы связи консервативной силы с потенциальной энергией
- •Примеры решения задач по электромагнетизму и волнам
- •Примеры решения задач по квантовой механике
- •Задачи по термодинамике
- •Задачи по специальной теории относительности
- •Примеры толкования формул
Задачи на формулы связи консервативной силы с потенциальной энергией
Задача 29. Найдите силу, действующую в поле, потенциальная энергия которого равна ЕP = 2x2y + 5xy3, Дж. Ответ: , Н.
Решение.
Вектор силы равен градиенту потенциальной энергии со знаком минус:
Задача 32. Найдите потенциальную энергию в поле сил F = ( 4/r4 6/r3 ), H. Ответ: , Дж.
Решение.
Если потенциальная энергия и сила зависит только от расстояния (радиуса), имеем
Возьмем неопределенный интеграл:
Имеем приИ окончательно
Примеры решения задач по электромагнетизму и волнам
Задача. Найти напряженность электрического поля в точке посередине между двумя точечными зарядами.
Решение.
Напряженность электрического поля – это вектор, начало которого находится в заданной точке. Этот вектор лежит на прямой, проходящей через точечный заряд и заданную точку. Вектор направлен в сторону от заряда, если он положительный, и к заряду, если он отрицательный.
Модуль вектора напряженности согласно формуле
прямо пропорционален величине заряда и обратно пропорционален квадрату расстояния от заряда до данной точки. Если точка находится посередине между двумя точечными зарядами, то модуль вектора напряженности поля больше у того заряда, который больше.
Пусть первый заряд больше второго. Сделаем рисунок для случая, если заряды одного знака. Векторы исмотрят в разные стороны.
– –
В этих двух случаях
Пусть первый заряд больше второго. Сделаем рисунок для случая, если заряды разного знака. Векторы исмотрят в одну сторону.
–
В этом случае
Задача на движение заряженной частицы по окружности в магнитном поле под действием силы Лоренца. Использовать термин: область локализации заряженной частицы. Найти период обращения частицы, радиус дуги окружности, скорость и импульс частицы, отношение заряда частицы к ее массе, величину вектора магнитной индукции.
Решение.
На движущуюся в магнитном поле заряженную частицу действует магнитная сила – сила Лоренца
где– угол между вектороми вектором магнитной индукции.
Если скорость заряженной частицы перпендикулярна вектору магнитной индукции, движение частицы происходит по окружности радиуса .Область локализации частицы в этом случае равна 2.
Запишем уравнение второго закона Ньютона: произведение массы частицы на нормальное ускорение равно силе Лоренца:
Откуда
Период обращения частицы по окружности равен
Импульс частицы равен
Задача. на закон Ома для замкнутой цепи. Найти напряжение на внешнем участке, напряжение на внутреннем участке и разность потенциалов на зажимах источника тока.
Решение.
Закон Ома для замкнутой цепи:
откуда
Напряжение на внутреннем участке цепи равно произведению силы тока на сопротивление внутреннего участка цепи:
Напряжение на внешнем участке цепи равно произведению силы тока на сопротивление внешнего участка цепи:
Разность потенциалов на источнике тока по модулю равна напряжению на внешнем участке цепи:
Задача на гармонические колебания. Найдите максимальное значение скорости частицы и максимальное значение силы, действующей на частицу.
Решение.
Уравнение гармонических колебаний частицы представляет собой уравнение зависимости координаты частицы от времени:
Для нахождения скорости и ускорения частицы дважды берем от производную по времени:
откуда максимальные значения скорости и ускорения соответственно равны
Максимальное значение силы равно
Задача на составление уравнения волны при любой паре заданных характеристик. Использовать все формулы связи между .
Решение.
Каноническое уравнение волны выглядит следующим образом:
где
циклическая частота колебаний, – период колебаний,– частота колебаний (число колебаний в единицу времени),
волновое число,
длина волны, а – скорость волны.
Если записано уравнение волны в канонической форме, то нам известна циклическая частота и волновое числопо числам, которые стоят соответственно переди.
Из этих формул получим
Скорость волны находим по формулам
Другая форма записи уравнения волны:
И так далее.
Задача. Напишите уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся со скоростью , если источник колебаний колеблется по законуs(t) = cost.
Решение.
Из данного закона колебаний нам известны амплитуда колебаний и циклическая частота. Для написания уравнения волны в канонической форме нам нужно только узнать величину волнового числа, которую мы найдем по формуле
Получим