ves_sopromat

			- 131 -
Эпюры	M x1	и	M x 2 - симметричные единичные эпюры	от симметричных
единичных неизвестных.
Эпюра	M x3	-	кососимметричная единичная эпюра от	кососимметричной

единичной силы x3 1.

При перемножении симметричной и кососимметричной эпюр результат равен

нулю,	из-за	расположения их площадей в разных знаковых областях, т.е.
13 31	0; 23	32 0 .

Тогда система из трех канонических уравнений распадается на систему из 2-х уравнений с двумя неизвестными и одно уравнение с одной неизвестной:

x		11	x	12			0
	1		2		1 p			и	x3 33 3 p 0 .
			x2 22			2 p 0
x1		21

Итак, при расчете симметричной системы эквивалентную систему следует выбирать так, чтобы все неизвестные были бы симметричными или кососимметричными.

При действии симметричной или кососимметричной нагрузки на симметричную раму можно выбрать эквивалентную систему так, чтобы не только единичные, но и силовые эпюры будут симметричны или кососимметричны. Вследствие этого некоторые перемещения ij и ip окажутся равными нулю.

Пример. Раскрыть статическую неопределимость симметричной рамы при кососимметричном нагружении.

Выбираем рациональную симметричную основную систему и, разрезав по оси симметрии, образуем из нее эквивалентную. В сечении разреза возникает три внутренних силовых фактора: нормальная и поперечная силы и изгибающий момент. Заменяем их единичными силовыми факторами Х1 1 ; Х 2 1 ; Х 3 1. Строим

эпюры изгибающих моментов от силового и единичного нагружений. Составляем 3 канонических уравнения метода сил, в которых некоторые коэффициенты (перемещения) обращаются в нуль.

Исходная система

3 раза статически неопределима

		l/2			l/2
	l/2			симметрии			l/2
Р							Р
	l/2			ось			l/2

Эквивалентная

Кососимметричная

система

силовая эпюра моментов

Х2

= 1

Х1

= 1

l/2

l/2

l/2

l/2

Р

Х3 = 1

Р

Р

Р

l/2

l/2

Mxр

Рl/2

Рl/2

- 132 -

Единичные эпюры моментов

Х1 = 1	1
Mx1

l

l

1

Х2 = 1

Mx2

Симметричная эпюра

Симметричная эпюра

l/2	l/2
	Х3 = 1	l/2
	Mx3
Кососимметричная эпюра

x			x		x						0
	1	11	2	12	3	13			1 p			где: 13 31 0 ; 23 32	0 ; 1Р	0 ;	2 Р 0 .
x1 21			x2 22		x3 23			2 p			0 ,
x		31	x	32	x		33			3 p	0
	1		2		3

Система из трех канонических уравнений распадается на систему из 2-х уравнений с двумя неизвестными и одно уравнение с одной неизвестной :

x1 11 x2 12 0

и

x3 33 3 p 0 , x3

3Р

.

x1 21 x2 22 0

33

Согласно теореме Максвелла 12

21 , следовательно

x1 x2

0 .

Определяем единичное 33

и грузовое 3Р перемещения способом Верещагина.

33

2

l l 2 l

l l l

7l3

;

2 2 2 3 2 EIx

2

2 EIx

12EIx

3P

2

Pl l l

Pl3

.

8EIx

2 2 2 2 EIx

Находим единичный силовой фактор x

3Р

Pl3 12EI

x

3

P .

7l3

3

33

8EI

x

14

Прикладываем все

найденные

единичные силовые факторы x1 0 ;

x2 0 и

x		3	P в проведенном сечении и с их учетом выстраиваем окончательные эпюры
3	14
изгибающих моментов M, поперечных сил Q и нормальных сил N.
				Х2 = 0										3	Pl							3	Pl
										Х1 = 0				28							28
				l/2	l/2				3	l/2		l/2
						X				P
			Р				3					Р											M
								14
				l/2								l/2
																		11	Pl					11	Pl
															28								28

- 133 -

	3	-
	14 P		Q
	Р		Р
	+		+

3	P	3	P
14		14
	+	-	N

Статическая неопределимость раскрыта.

Р

Р

Ответ: Н А

P ; R

3

P ;

M

11

Pl ;

A

А

14

28

Н B

P ; R

3

P ;

M

11

Pl .

B

A

B

B

14

28

H A P

H

B

P

M

11

Pl

M

11

Pl

3

A

3

B

28

28

R

P

R

P

A

14

B

14

Пример. Раскрыть статическую неопределимость симметричной рамы при симметричном нагружении.

Проводя рассуждения по аналогии с рассмотренным выше примером, разрежем данную раму по оси симметрии и построим силовые и единичные эпюры моментов.

Исходная система

3 раза статически неопределима

l/2 l/2

q			l	симметрииось	l			q

Эквивалентная	Симметричная силовая
система	эпюра моментов

	Х2 = 1	Х1 = 1
	l/2	l/2			Mxр
q	Х3	= 1	q	q	q
	l	l
				ql2/2	ql2/2
Единичные эпюры моментов

Х1 = 1	1
Mx1

l

l

1

Х2 = 1

Mx2

Симметричная эпюра

Симметричная эпюра

l/2	l/2
	Х3 = 1	l/2
	Mx3
Кососимметричная эпюра

- 134 -

Составим канонические уравнения метода сил:

x

x

x

0

1

11

2

12

3

13

1 p

где: 13 31 0 ;

23 32

0 ; 3Р

0 .

x1 21 x2 22

x3 23

2 p

0 ,

x

31

x

32

x

33

3 p

0

1

2

3

Система из трех канонических уравнений распадается на систему из 2-х

уравнений с двумя неизвестными и одно уравнение с одной неизвестной:

x1 11 x2 12

1P 0

и x3 33 0

, x3 0 .

x2 22

2 P 0

x1 21

Определяем единичные 11 ,

22 ,

12 21

и

грузовые

1Р , 2 Р

перемещения

способом Верещагина:

l l 2l

3

1

3l ;

l l 1

2

11 2

2l

;

22

2

1 l

1 l 1

12

21 2

l

;

2 3EIx

3EIx

2 EIx

EIx

EIx

2 EIx

EIx

2

ql2

l 3l

ql4

2

ql2

l 1

ql3

.

;

2P

1P

2 3 4 EIx

4EIx

2 3 EIx

3EIx

Решив систему уравнений, получаем величины единичных силовых факторов:

x 5 ql ;

x 1 ql2 .

1

12

2

36

Прикладываем все найденные единичные силовые факторы с учетом знака в

проведенном сечении и выстраиваем окончательные эпюры нормальных сил N,

поперечных сил Q и изгибающих моментов M.

5

X 3

0

5

5

X1

ql

ql

ql

l/2

12

12

12

l/2

X 2 ql

2

5

-

-

+

12 ql

z0 5 l

36

12

q

l

l

q

N

+

Q

-

7

ql

7 ql

5 l

12

12

Эпюра Q меняет знак на длине

z0

от верхней

точки каждой

стойки,

12

следовательно, в этих сечениях на эпюре М возникнут экстремумы:

														5	2
						ql	2		5		5		q		l		17
														12
M										ql		l						ql	2	.
			5			36			12		12			2			288
	z0			l
			12
					ql 2									ql 2

	36		36
17	ql 2		17	ql 2
288			288
	ql 2	ql 2	M
	9	9

q

q

7

A

B

HB

7

ql

HA 12 ql

ql2

12

M A

2

M

ql

9

RB 0

B

RA 0

9

- 135 -

Статическая неопределимость раскрыта.

Ответ: Н А

7

ql ;

RА 0 ;

M A

ql2

; НB

7

ql ;

RB

0 ; M B

ql2

.

12

12

9

9

Вывод: а) при действии на систему симметричной нагрузки, кососимметричные неизвестные равны нулю.

б) при действии на систему кососимметричной нагрузки, симметричные неизвестные равны нулю.

§59. Многопролетные неразрезные балки. Уравнение трех моментов.

Пролетом балки называется расстояние между двумя соседними опорами, или между двумя соседними заделками, или расстояние между соседними заделкой и опорой.

A

пролет

В

A

пролет

В

система статически

система статически

определима

неопределима 3 раза

A

пролет

В

система статически

неопределима 1 раз

Многопролетными называются балки, имеющие более одного пролета.

Многопролетные балки всегда статически неопределимы.

A пролет

В пролет С пролет

D консоль

Неразрезными

называются

балки,

лежащие более чем на двух

опорах.

Восновной системе лишними связями будем считать не промежуточные опоры

иреакции в них, а изгибающие моменты. Любая опора (шарнирно-подвижная,

шарнирно-неподвижная или заделка) запрещает линейные перемещения. Но в опорах изгибающий момент отличен от нуля, т.к. разрешены угловые перемещения. Следовательно, основной системой будет система однопролетных смежных балок, соединенных на опорах шарнирами, а эквивалентной будет система из ряда простых шарнирно-опертых балок, нагруженных заданной нагрузкой и неизвестными моментами по концам каждой.

Основная система

q		P	q		P	M
0	1	2	n-1	n	n+1	m
		Эквивалентная система
q	M1	P M2	Mn-1 q	Mn	P Mn+1	M
0	1	2	n-1	n	n+1	m

- 136 -

Дополнительное

уравнение

перемещений

для

n лев.

nправ.

каждой «лишней» промежуточной опоры должно

выражать условие равенства нулю взаимного угла

поворота опорных сечений смежных балок, т.е.:

n n лев nправ 0

n лев. n прав.

(1),

Рассмотрим

два

смежных

(соседних)

пролета:

n

(n 1), n

и

n,(n 1) .

Составим

для

них

каноническое

уравнение перемещений:

n (n 1),n Xn 1

n,n Xn n,(n 1) Xn 1

nP 0

(2).

Xn-1=1

q

Xn=1

P

Xn+1=1

Построим силовые эпюры моментов

M

xP

от каждого силового фактора и единичные

ln

ln+1

эпюры

M Xn 1;

M Xn ;

M Xn 1

под

каждым

пролетом, рассматривая его как отдельно

n-1

n

n

n+1

n+1

взятую балку.

MxР

Определим

единичные

и

силовые

перемещения

,

nP :

an

bn

an+1

bn+1

(n 1),n

n,n

,

n,(n 1)

,

1

Mxn-1

(n 1),n

1 ln 1

ln

;

2

EIx

3

6EIx

1

n

n

2/3

2/3

1 ln

2

1 ln 1 2

ln

ln 1

1/2

1/2

1/3

n,n

;

1/3

2 EIx

3

2 EIx

3EIx

Mxn

3

3EIx

n

n 1

n

n 1

n,(n 1)

1 ln 1 1

ln 1

;

1 M

xn+1

2

EIxn 1 3 6EIxn 1

nP

n 1 аn

n 1 1 bn 1 ,

(3).

ln EIx

ln 1 EIx

n

n 1

Подставим (3) в (2):

ln

ln

ln 1

ln 1

nаn n 1bn 1

0 ;

X

n 1

X

n

X

n 1

6EI

3EI

3EI

6EI

l

EI

l

EI

xn

xn

xn 1

xn 1

xn

n 1

xn 1

n

X

l

2X

l

l

X

l

6

а

b

n 1 I

n

n

n 1

n 1 I

n 1

n n

n 1 n 1 .

xn

n

I

xn

I

xn 1

l I

xn

l

I

xn 1

xn 1

n

n 1

Заменив X i

на M i ; получим:

M

l

l

l

M

l

a

b

n 1 n 2Mn

n

I

n 1

I

n 1 n 1 6

n n

l

n 1 n 1

.

I

xn

I

x

x,n 1

l I

xn

I

x,n 1

x,n 1

n

n 1

Если жесткость всех участков EIx const , то:

			l l	М			nаn		n 1bn 1	.
М	l 2М				l	6
		n
	n 1 n		n n 1		n 1 n 1		ln		ln 1

Обозначив все три соседние опоры как левая, средняя и правая, получим

уравнение трех моментов (уравнение Клапейрона):

М лlл 2М ср lл lпр М прlпр		лал			b
	6				nр nр		0 ,
		lл			lnр

- 137 -

где: M л ; Mср ; M пр - моменты на левой, средней и правой опорах двух смежных

пролетов;

lл ; lпр - длины левого и правого смежных пролетов;

л ; пр - площади силовых эпюр моментов под левым и правым пролетами; ал - расстояние от центра тяжести площади силовой эпюры моментов под левым

пролетом л до левой границы левого пролета;

bпр - расстояние от центра тяжести площади силовой эпюры моментов под правым пролетом пр до правой границы правого пролета;

i 1 n - количество силовых эпюр моментов под всеми пролетами.

Число таких уравнений должно быть равно степени статической неопределимости многопролетной балки.

§60. Устойчивость сжатых стержней. Критическая сила.

В системе, находящейся в деформированном состоянии, равновесие между внешними нагрузками и вызываемыми ими внутренними силами упругости может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным.

Центрально приложенная сжимающая сила, превышение которой вызывает потерю устойчивости первоначальной формы равновесия тела, называется

критической силой, т.е. Pкр .

Р < Ркр Р = Ркр Р > Ркр

Устойчивая	Безразличная	Неустойчивая
форма	(критическая) форма	форма
равновесия	равновесия	равновесия

Неустойчивая форма равновесия связана с неограниченным ростом деформаций и напряжений, поэтому при превышении сжимающей силой ее критического значения конструкция разрушается.

Для обеспечения определенного запаса устойчивости необходимо выполнение

условия:

Р P ,

где: P - сжимающая сила;

P Pкр - допускаемая нагрузка; ny

Pкр - критическая сила;

ny - коэффициент запаса устойчивости.

- 138 -

Продольным изгибом называется изгиб стержня, вызванный потерей устойчивости прямолинейной формы его равновесия.

При потере устойчивости прогиб произойдет в плоскости, в которой изгиб ная жесткость стержня минимальна.

Р > Ркр - потеря устойчивости y

x

поперечное сечение стержня

y

x

а

Определим осевые моменты инерции сечения:

Ix 2а а3 а4 ; 12 6

I у а 2а 3 4а4 . 12 6

Ix Imin , ось x – ось минимальной жесткостипрогиб произойдет перпендикулярно оси x.

2а

Рассмотрим

прямой

стержень

постоянного

сечения с шарнирно закрепленными концами под

действием центрально сжимающей силы P.

Р

Дифференциальное уравнение упругой линии стержня имеет вид:

y

M x

(z)

,

или

EImin y M x (z)

(1).

EIx

M x (z) P y

(момент принимаем отрицательным для возможности

обеспечения дальнейшего решения задачи с помощью

l

у

дифференциального уравнения второго порядка).

Введем следующее обозначение:

k 2

P

.

z

EImin

у

Py

Т.к.

EImin y P y ,

то

y

y k 2 y 0

(2).

EImin

у – прогиб

Решение этого уравнения имеет вид:

y(z) Acos(kz) Bsin(kz)

(3).

Произвольные постоянные А и В находим из граничных условий:

1)

y( z 0) 0 , т.е.

0 АCos(k 0) В Sin(k 0) А ,

A 0 ;

1

0

2)

y( z l ) 0 , т.е.

0 АCos(kl) ВSin(kl) ,

Bsin(kl) 0

(4).

0

Итак, Bsin(kl) 0 , если B 0

или sin(kl) 0

Если подставить A=0 и B=0 в выражение (3), то y(z)=0, что не соответствует

условию задачи, следовательно, выражение (4) имеет корень sin(kl) 0 .

Т.к. k

P

, тогда имеем

sin(l

P

) 0 , откуда:

EImin

EImin

l

P

n ,

где: n 1, 2,3...

(5).

EImin

Условие (5) выполняется и при n=0, но тогда из него следует, что P=0, что

противоречит условию задачи.

Наименьшее значение P Pкр

0 будет при n=1,

тогда l

Pкр

,

откуда имеем:

EImin

- 139 -

Pкp	2 EI	min	– критическая сила (Эйлерова сила)	(6).
	l2

Формула для определения критической силы впервые была получена Л. Эйлером.

Леонард Эйлер (1707-1787гг.), математик. С 1730г. действительный член Петербургской Академии наук. В механике занимался вопросами продольной устойчивости сжатых стер жней.

Из соотношения (6) видно, что критическая сила Pкр не зависит от прочностны х свойств материала стержня, т.е. стержни, изготовленные из разных материалов, но

одинаковой длины

и

геометрии сечения Imin

с

одинаковыми условиями

закрепления одинаково изогнутся при одном и том же значении Pкр .

Подставим (6) в y(z) B sin(kz)

(т.е. в выражение (3)):

y(z) B sin

(n )2 EI

min

B sin

n z

, т.е. стержень изгибается по синусоиде.

l2 EI

min

l

Т.о., получено выражение для определения прогиба от действия силы Pкр :

y(z) B sin

n z

(7).

l

Значение постоянной В в выражении (7) характеризуется величиной

максимального прогиба ymax f

, т.е. стрелой, когда sin

n z

1

l

y f sin

n z

(8).

l

Максимум y(z) имеет место при таком z, для которого

d ( y)z

0 , т.е.

dz

d( y)z

f

n

cos

n z

0,

или

сos

n z

0,

n z

dz

l

l

l

l

2

z

l

(9).

2n

где: n – число полуволн синусоиды,		умещающихся на длине стержня l,
	испытывающего продольный изгиб.
Покажем графики функций прогибов yz		при различных значениях n.
	n = 2	n = 1
Р		n = 4
	n = 3

l

Итак, если n 1 , то z 2l - длина, на которой возникает ymax ; если n 2 , то z 4l ; если n 3 , то z 6l ; если n 4 , то z 8l и т.п.

- 140 -

Итак, показано, что при минимальном значении силы Pкр на изогнутой оси стержня умещается только одна полуволна синусоиды.

§61. Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы. Формула Эйлера.

а) Р

б)

Р

Рассмотрим несколько вариантов закрепления

стержня длиной l и определим, сколько полуволн

синусоиды умещается его длине.

Консольный стержень длиной l, центрально

l

сжимается

силой

Р.

Изогнутая

ось стержня

представляет

собой

половину

полуволны

μ = 2

синусоиды. При сравнении консольного стержня

L

(а) со стержнем,

шарнирно-закрепленным по

концам (б), видно, что их оси будут вести себя

одинаково, если длина последнего будет равна

l

L=2l.

Найдем Pкр из условия L=2l.

μ = 1

Pкр

2 EI

min

2 EI

min

n

1

.

(2l)2

2

4l2

Р

l/4

Стержень длиной l с

одним

жестко

закрепленным

концом и другим концом, перемещающимся в подшипнике,

центрально сжимается силой Р. При потере устойчивости

средняя часть стержня изогнется по синусоиде, как и

l/2

l

стержень длиной L=l/2 с шарнирно закрепленными концами,

следовательно:

Pкр

2 EI

min

4 2 EI

min

, n

2 .

(0,5l)2

l2

l/4

μ = 0,5

P

Стержень длиной l с одним жестко закрепленным концом, а другим шарнирно опертым, центрально сжимается силой Р. При потере устойчивости верхняя часть стержня длиной 0,7 l изогнется по синусоиде.

Pкр	2 EI	min		2, 041	2 EI	min	.
	(0, 7l)2			l2

l

0,7 l

μ = 0,7