ves_sopromat

- 61 -

точки и определим для каждой из них

касательные напряжения:

1

0,

т.к. S

0 ;

2

0 , т.к.

S 0 ;

x

x

Q

2R3

2

4Qy

R

4R

2

y

3

, т.к. S

F* y

R3 S

.

3

max

4

2

R

3 R

x

2

3

3

xmax

2R

4

Площадь эпюры касательных напряжений также ограничивается параболой второй степени; направление действия напряжений совпадает с направлением действия поперечной силы.

	y
	1				Эпюра касательных напряжений для
	2	0	x	max	двутаврового сечения имеет перепады из-
h	3				за резкого изменения ширины сечения
	4				при переходе от полок к стенке в точках 2
					и 4.
	5 b

Вывод: зависимость	от у в сечении определяется величиной	статического
момента S ,	следовательно, независимо от формы поперечного сечения,
x
m ax достигается в центре его тяжести, т.к. в нем Sx max ( F max ); а 0
в верхней и нижней точках по высоте сечения, т.к. в них S		0 ( F 0 ).
	x

Касательные напряжения, возникающие в брусе при поперечном изгибе, обычно на порядок меньше нормальных напряжений, поэтому в упрощенных расчетах стальных балок на прочность ими пренебрегают.

Формула Журавского справедлива для достаточно узких и высоких сечений балок (b h), т.к. предполагается, что равномерно распределены по ширине сечения (что подтверждено экспериментально). Для балок иных форм профилей формула Журавского носит приближенный характер.

- 62 -

§28. Рациональные типы сечений балок.

Спроектировать балку рационального сечения означает задать ей такие размеры и форму, которые обеспечат при минимальном расходе материала выполнение условия прочности.

Несущая способность балки пропорциональна моменту сопротивления с ечения, т.е. M x Wx , а расход материала – площади поперечного сечения.

Чем меньше площадь поперечного сечения балки, тем она легче и, соответственно, экономичнее.

В строительной промышленности используются тонкостенные стандартные прокатные профили поперечных сечений: равнополочные и неравнополочные уголки, двутавры, швеллеры, тавры и т.п.

Показателем рациональности сечения балки может служить его коэффиц иент экономичности, определяемый по формуле:

WFhx .

Чем выше коэффициент экономичности , тем экономичнее сечение.

§29. Балки равного сопротивления.

Балка, момент сопротивления сечения которой изменяется пропорционально изгибающему моменту, называется балкой равного сопротивления.

W

M x

.

x

В балке равного сопротивления изгибу нормальные напряжения в любом

.

сечении одинаковы и равны допускаемым напряжениям, т.е.

max

Примером может служить консоль прямоугольного сечения, в которой

постоянна ширина и переменна высота:

b=const, h=f(z).

bh z 2

M x

W

Pz

h

6Pz

,

P

6

b

x

h(z)

h

h z

6P

z

z

b

l

b

параболическая зависимость.

h

0 ,

h

6 Pl

.

z 0

z l

b

Балки параболического очертания из-за сложности изготовления применяются весьма редко, хотя они экономичны по расходу материала.

		RA=P/2	P	RВ=P/2
		l/2		l/2
	Р/2
	Qy
			Рl/4
	Мх
			5
	t/2		4
max			3
		2
=b	t
		1
(l/2)		2
b	t/2		3
			4
			5

t 1

t 2

	t		3
		t		4
			t		5
t	1	2	3	4	5

- 63 -

На практике часто применяют балки равного сопротивления, имеющие постоянную высоту и переменную ширину: h=const, b=f(z).

W

b z h2

M x z

Pz

6

2

x

b z

6Pz

3Pz

2 h2

h2

b z

3Pz

h2

линейная зависимость.

b

3P

bmax ,

b z 0 0 .

2

z

2h

2

Примером балки равного сопротивления изгибу может служить рессора. В рессоре (в любой ее точке по длине) нормальные напряжения одинаковы ( const ), изменяются Мх и Wx .

h 1

				2
					3
h						4
		h		h				5
					h

§30. Напряженное состояние в окрестности точки тела и его виды.

Совокупность напряжений, действующих на различных площадках, проведенных через точку тела, характеризует напряженное состояние в окрестности данной точки.

dx dy :

y

					yx
				zy
							xy
				yz		xz
				zx
							x
	z			y	yx
							xy
					zy
dy			xy	o	zx		x
				yx	dx

- 64 -

Выделим в точке тела бесконечно малый куб ( dV dx dy dz ) и обозначим на его видимых

гранях нормальные и касательные напряжения. Будем считать, что напряжения на

параллельных гранях одинаковы по величине и равномерно распределены по площади, т.е. состояние однородно. На рисунке все напряжения положительны, т.к. направлены в положительном направлении осей.

Выберем плоскость ХОY и покажем все

напряжения, действующие на ней.
Составим	уравнение	сумм	моментов

относительно центра тяжести прямоугольника со сторонами

	Mo	yx	dy	yx		dy	xy	dx	xy	dx	0 ,
			2		2			2		2
	yxdy xydx , т.к.				dy dx , yx					xy .

По остальным двум плоскостям элементарного объема аналогично: zx xz ,

zy yz .

Полученные равенства выражают закон парности касательных напряжений :

касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам равны по абсолютной величине и направлены навстречу друг другу или противоположно.

Напряженное состояние в точке определяется 6 компонентами напряжений: x ,

y ,	z , xy yx ,	zx xz ,	zy yz . Совокупность всех напряжений, представленная в
виде матрицы, называется тензором напряжений:
					x		xy		xz
			Т yx			y		yz .
						zy
			zx					z

Определим напряжения на произвольно ориентированной площадке. Из напряженного тела в окрестности некоторой точки выделим элементарный объем dV dx dy dz , от которого отсечем тетраэдр.

Элементарный тетраэдр имеет наклонную площадку и внешнюю единичную

нормаль к ней.	Обозначим углами , и углы наклона нормали к осям x, y и z,
			Cos ;Cos ;Cos ,		Cos2 Cos2 Cos2 1 или
соответственно,	тогда:

l2 m2 n2 1 (где: l,m,n - направляющие косинусы).

- 65 -

y

dz

dy

о

x

z

dx

y

y

наклонная

площадка

С

единичная

нормаль

p

x

z

А

В

x

z

D

В курсе «Теория упругости» доказывается, что полное напряжение на

наклонной площадке равно:

p

T

, или: p .

Cos

p

x

xy

xz

Действительно:

yx

y

yz

Cos .

zy

zx

z

Cos

Нормальные и касательные напряжения можно определить по формулам:

T

;

p

или:

xl yx m zx n l xyl y m zy n m xzl yz m z n n

l2

m2

z

n2

2

xy

lm 2

yz

mn 2

zx

nl ;

x

y

p2

2 .

- 66 -

§31. Главные направления, главные площадки и главные напряжения.

В любой точке нагружаемого тела всегда существуют 3 взаимноперпендикулярные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, такие площадки называются главными площадками.

Главными направлениями называются направления нормалей к главны м площадкам.

Главными напряжениями называются напряжения, возникающие на главны х

площадках.
Главные напряжения находятся из уравнения									, которое эквивалентно
					P
						T
характеристическому уравнению:
	x S	yx	zx
det	xy	y S	zy	0			,
	xz	yz	z S

корни которого : S 1 ; S 2 ; S 3 называются главными напряжениями.

	y	F
С
Fx	Y		z
	zx				Fz
xz
x	Z	zy	X			В
А
xy		yz				x
yx	y		F
D			y

z

Рассмотрим	элементарный
тетраэдр. Обозначим площадь ∆BCD
= F, тогда:
площадь ABC Fz ,	Fz	F n ;
площадь ABD Fy ,	Fy	F l ;
площадь ACD Fx ,	Fx	F l .
Спроекцируем	все		силы,

действующие на элемент, на оси x, y, z:

XF x Fx yx Fy zx Fz

YF xy Fx y Fy zy Fz , (1); ZF xz Fx yz Fy z Fz

или:	XF x F l yx F m zx F n
	YF xy F l y F m zy F n ,	(2),
	ZF xz F l yz F m z F n
окончательно:
	X x l yx m zx n
	Y xy l y m zy n ,	(3),
	Z xz l yz m z n
где:	X, Y, Z – проекции напряжений.
	Полученные соотношения (3) называются условиями на поверхности.
	Предположим, что площадка BCD – главная, тогда по лное напряжение на ней

(оно же главное напряжение) будет направлено по нормали . Обозначим его через S, тогда:

X S l ;

- 67 -

Y S m ;	(4).
Z S n .
Соотношения (3) примут вид:
S l x l yx m zx n
S m xy l y m zy n ,	(5),
S n xz l yz m z n
или:
( x S) l yx m zx n 0
xy l ( y S) m zy n 0 ,	(6),
zx l yz m ( z S) n 0
или:

( x S )	yx	zx
xy	( y S )	zy
zx	yz	( z S )

	l
		0	,	(7).
m
n

Т.к. l2 m2 n2 1, ( 0), следовательно, определитель равен нулю:

	( x S )	yx	zx
det	xy	( y S )	zy	0
	zx	yz	( z S)

Раскрыв определитель и расположив его члены по степеням S в порядке убывания, получим следующее кубическое уравнение:

S3 S2 I	S I	2	I	3	0 ,	(8).
1

где: I1 , I2 , I3 инварианты напряженного состояния; (величины, не изменяющиеся

при любом повороте системы, т.е. при любом наклоне площадки). Инварианты могут быть отличны от нуля или равны нулю.

			I1 x y z 1 2 3 ;
I	2							2			2		2					;
		x y		y z	z x				xy		yz		zx 1 2			2 3	3 1
			x	yx	zx				1	0		0
		I3	xy	y	zy				0	2		0			1 2 3 .
			xz	yz	z				0	0		3

Корни уравнения (8) – это главные напряжения ζ1, ζ2, ζ3.

Индексы главным напряжениеям присваиваются в порядке убывания их величины с учетом знака, т.е. 1 2 3 .

T

,

Таким образом, доказано, что P

n

x

xy

xz

T

где:

T

T

– транспонированная матрица:

yx

y

yz

.

zx

zy

z

Существует три вида напряженного состояния:

одноосное;

двухосное;

- 68 -

трехосное.

§32. Линейное напряженное состояние.

Линейным (одноосным) напряженным состоянием называется такое состояние, при котором только одно из главных напряжений отлично от нуля, а два оставшихся равны нулю;

Линейное напряженное состояние возникает при растяжении-сжатии (как центральном, так и внецентренном) и при чистом изгибе.

Рассмотрим центральное растяжение:

1 0 , 2 0 , 3 0 .

		n
1		1
		p

n Сos ; Sin - нормаль к наклонной площадке; p – полное напряжение;

– нормальное напряжение;

– касательное напряжение.

							0 Cosa			1Cos ; 0 ;
p			n			1
					0		0 Sina
			p	Cosa Cos Cos Cos2 ;
						1				1
			p	Sin Cos Sin 1 Sin2 .
						1				2
Итак, получено:									Cos2 ;					1	Sin2 .
										1			2

Рассмотрим экстремальные значения напряжений при 0 900 :

а) 0 Sin0 0, Cos0 1 ;

					Cos2									;
									1				1
							1			Sin2 0, (т.к.						Sin 0 ) – главная площадка.
						2
б)									90						Sin90 1; Cos
												Sin									Cos90 0 ;
						2							2							2
						Cos2 0 , (т.к.										Cos 0 );
									1
								1			Sin2 0 (т.к.					Sin1800 0 ) – главная площадка.
									2
в)									45						Sin45		2						Cos45		2
												Sin							; Cos									;
						4							4				2					4			2

- 69 -

										2		1
				2			2						;
			Cos		1
			1				2					2
			1	Sin2 1		Sin90						1		max	.
			2	2								2

Максимальные касательные напряжения возникают на площадках под углом 45° к оси стержня.

§33. Плоское напряженное состояние.

Плоским (двухосным) напряженным состоянием называется такое состояние, при котором два главных напряжения отличны от нуля, а одно равно нулю.

Плоское напряженное состояние возникает при попереч ном изгибе, при кручении, в тонкостенных оболочках, нагруженных внешним или внутренним давлением.

Рассмотрим элемент при двуосном напряженном состоянии:

1 0 ; 2 0 ; 3 0 .

По закону парности касательных напряжений: .

	n			2					n
	-							p	1
	1
						-
	p
				2

Зададим наклонные площадки и единичные нормали к ним:

n Cos ; Sin ;

n Cos ; Sin .

Полное напряжение определяется по формуле:

							p
										,
или:	p n Cos ;Sin .
	Определим нормальные и касательные напряжения на наклонных площадках:
	p n p Cos ; Sin ;
			p n p Cos ; Sin .
					1	0	0	Cos					1	0	Cos
						2
	p ( ) n			0			0			Sin				2
				0		0	0			0			0			Sin

( 1Cos ; 0Sin ; 0Cos ; 2 Sin ) ( 1Cos ; 2 Sin ) ;

p n 1Cos ; 2Sin Cos ; Sin 1Cos2 2Sin2 .

С учетом того, что Cos Sin и Sin Cos имеем:

p n 1Cos ; 2Sin Cos ; Sin 1Cos ; 2Sin Sin ; Cos

1Cos Sin 2Sin Cos 1 2 Sin2 2

- 70 -

Итак, получено:

Cos2

2

Sin2

;

a

1 2

Sin2 .

1

2

С учетом того, что Sin Cos и Cos Sin имеем:

p n 1Cos ; 2Sin Cos ; Sin 1Cos2 2Sin2 1Sin2 2Cos2 ;

p n 1Cos ; 2Sin Cos ; Sin

p n 1

2

Sin2 .

2

Итак, получено:

Sin2

2

Cos2

;

1 2 Sin2 .

1

2

Таким образом:

Рассмотрим экстремальные значения напряжений:

а) 0 ; 1 ;

0 ;

б)

90

;

2 ; 0 ;

2

в) 45

;

1 2

;

1 2

max

.

4

2

2

Площадки, по которым касательные напряжения достигают экстремальных

значений (max; min) называются площадками сдвига. Они всегда наклонены к

главным площадкам под углом

45 .

4

y

Рассмотрим, как определяются главные

yx

y

n Cos ; Sin

напряжения

при

заданных

нормальных и

касательных напряжениях.

xy

Дано: x ; y ; xy yx .

x

x

x

Найти: 1 ; 2 .

xy

yx

y

x

yx

0 .

Запишем определитель:

det

xy

y

Транспонируем определитель:

x

(

y

) 2

2 2

2 (

x

y

)

2

0 .

xy

x y

x

y

xy

x y

xy

a x

2

x

b

c

1

Получили

квадратное

уравнение

вида: ax2 bx c 0 ,

корни

которого

определяются по формуле: x

b

b2 4ac

.

1;2

2a

Определим max

как корни этого уравнения:

min

x

y

x y 2

4 1 x y

xy2

max

2

min