- •12. Теория вероятностей
- •12.1. Основные понятия теории вероятностей Программные вопросы
- •Решение типовых примеров
- •Задачи контрольной работы
- •12.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.4. Повторные независимые испытания Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.5. Дискретная случайная величина Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.6. Непрерывная случайная величина Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •12.6. Законы распределения непрерывной случайной величины Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Задачи контрольной работы
- •13. Математичемкая статистика
- •13.1. Математическая статистика Программные вопросы
- •Решение типового примера
- •Требуется для признака х:
- •Распределение затрат на животноводство
- •Распределение частот денежных затрат на животноводство
- •Вариационный ряд
- •5) Найдём точечные и интервальные оценки генеральной средней и генерального среднего квадратического отклонения.
- •Тогда из неравенства имеем:
- •Задачи контрольной работы в задачах 13.1-13.20 даны выборки из некоторых генеральных совокупностей. Требуется для рассматриваемого признака
- •Значения функции
- •Приложение 2 Значения функции
- •Приложение 3 Значения функции Пуассона
- •Приложение 4 Критические точки распределения 2
- •Приложение 5 Значения tp(p, n)
- •Приложение 6
12.6. Непрерывная случайная величина Программные вопросы
1. Плотность распределения вероятностей для непрерывной случайной величины. Кривая распределения.
2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение; их свойства и вероятностный смысл.
Решение типового примера
Задача 12.6. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения
.
Найти для неё 1) функцию плотности распределения вероятностей f(х); 2) коэффициент а; 2) вероятности попадания в интервалы (1,5; 2) и (0,5; 1,3); 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Решение. 1) Для непрерывной случайной величины по определению функции плотности вероятностей F’(х)=f(х). Следовательно,
.
2) Так как , тои, следовательно, а=1.
3) Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал находится по формуле: Р(α<Х<β) = F(β) – F(α). Так как а=1, то Р(1,5<X<2)= =F(2)-F(1,5)=(2-1)2 – (1,5-1)2 =1 – 0,52=0,75, а Р(0,5<X<1,3)= F(1,3) – F(0,5) = =(1,3 – 1)2 – 0 = 0,09.
4) Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х находится по формуле:
.
Так как вне интервала [1, 2] f(x)=0 и а=1, то М(Х)= =,
Так как дисперсия непрерывной случайной величины находится по формуле , то в нашем случае
.
Среднее квадратическое отклонение случайной величины
=.
Ответ: 1) 1; 2) 0,09; 3) М(Х) =,.
Задачи контрольной работы
12.6.1. Случайная величина Х задана функцией распределения
Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение в интервале (-1,0).
12.6.2. Случайная величина Х задана функцией распределения
Определить вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, больше 0,5, но менее 0,8.
12.6.3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения:
Определить вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале:
а) (1,3; 1,5);
б) (1,2; 1,8).
12.6.4. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(х). Найти функцию плотности распределения вероятностей f(х).
12.6.5. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(х). Найти функцию плотности распределения вероятностей f(х).
12.6.6. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(х). Найти функцию плотности распределения вероятностей f(х).
12.6.7. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(х). Найти функцию плотности распределения вероятностей f(х).
12.6.8. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения:
Найти вероятность того, что Х примет значение в интервале .
12.6.9. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения:
Найти вероятность того, что значение случайной величины Х содержится в интервале (1,3).
12.6.10. Плотность распределения вероятностей задана формулой .
Найти коэффициент а и функцию распределения вероятностей случайной величины Х.
12.6.11.Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения:
Определить коэффициент а.
12.6.12. Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей f(х). Найти интегральную функцию распределения F(х), если
2.6.13. Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей f(х). Найти интегральную функцию распределения F(х), если
12.6.14. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной дифференциальной функцией распределения f(х):
12.6.15. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной дифференциальной функцией распределения f(х), если
12.6.16. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной дифференциальной функцией распределения f(х):
12.6.17. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной дифференциальной функцией распределения f(х):
12.6.18. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной дифференциальной функцией распределения f(х):
12.6.19. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной дифференциальной функцией распределения f(х):
12.6.20. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной дифференциальной функцией распределения f(х):