7
.27
-
120 |
143 |
100 |
156 |
162 |
110 |
114 |
117 |
93 |
125 |
131 |
163 |
149 |
110 |
135 |
149 |
114 |
123 |
111 |
140 |
159 |
129 |
135 |
124 |
117 |
97 |
120 |
108 |
119 |
134 |
157 |
120 |
133 |
130 |
141 |
159 |
162 |
131 |
152 |
160 |
123 |
124 |
128 |
110 |
120 |
100 |
135 |
91 |
112 |
167 |
136 |
110 |
172 |
122 |
93 |
129 |
117 |
138 |
156 |
124 |
110 |
172 |
122 |
93 |
129 |
117 |
138 |
156 |
124 |
97 |
123 |
118 |
134 |
129 |
126 |
131 |
137 |
116 |
140 |
145 |
101 |
147 |
112 |
126 |
148 |
139 |
92 |
113 |
114 |
127 |
151 |
122 |
109 |
122 |
105 |
150 |
125 |
138 |
141 |
117 |
124 |
170 |
144 |
128 |
127 |
145 |
114 |
131 |
124 |
103 |
7
.28
128 |
144 |
108 |
84 |
134 |
107 |
154 |
129 |
133 |
119 |
121 |
110 |
110 |
126 |
113 |
129 |
164 |
98 |
143 |
118 |
122 |
118 |
122 |
103 |
102 |
141 |
142 |
126 |
130 |
189 |
157 |
120 |
133 |
130 |
141 |
159 |
162 |
131 |
152 |
160 |
143 |
146 |
133 |
125 |
116 |
112 |
107 |
134 |
123 |
194 |
120 |
143 |
100 |
156 |
162 |
110 |
114 |
117 |
93 |
125 |
131 |
163 |
149 |
110 |
135 |
149 |
114 |
123 |
111 |
140 |
159 |
129 |
135 |
124 |
117 |
97 |
120 |
108 |
119 |
134 |
123 |
124 |
128 |
110 |
120 |
100 |
135 |
91 |
112 |
167 |
136 |
110 |
172 |
122 |
93 |
129 |
117 |
138 |
156 |
124 |
7
.29
101 |
147 |
112 |
126 |
148 |
139 |
92 |
113 |
114 |
127 |
124 |
159 |
122 |
118 |
136 |
108 |
142 |
126 |
99 |
117 |
130 |
140 |
129 |
108 |
149 |
150 |
123 |
148 |
127 |
141 |
151 |
115 |
126 |
140 |
120 |
93 |
94 |
123 |
139 |
153 |
78 |
150 |
137 |
130 |
132 |
130 |
135 |
131 |
121 |
109 |
109 |
89 |
113 |
103 |
140 |
114 |
96 |
126 |
127 |
123 |
134 |
128 |
105 |
183 |
85 |
118 |
100 |
139 |
123 |
109 |
101 |
117 |
90 |
135 |
121 |
123 |
130 |
110 |
99 |
112 |
134 |
153 |
121 |
150 |
137 |
106 |
131 |
132 |
119 |
113 |
166 |
114 |
136 |
157 |
105 |
171 |
159 |
92 |
142 |
125 |
82
Пример
2. Пять
человек в лифте 8-этажного дома могут
выйти на любом этаже, начиная со 2-го.
Найти вероятность того, что все они
выйдут на разных этажах.
Решение.
Найдем число
всех возможных исходов. Отождествляя
выход из лифта любым из 5 человек (выбор
этажа) с выбором элемента из совокупности
объема 7, заметим, что выбор происходит
с возвращением (два и более человек
могут выбрать для выхода один и тот же
этаж) и набор –упорядоченный (существенно,
на каком именно этаже выходит конкретное
лицо). Т.о. число различных способов
выйти из лифта 5 человек или, другими
словами, число способов выбора любого
из 7 этажей 5 людьми (число выборок объема
5 из совокупности элементов объема 7)
равно 75.
Число
благоприятных исходов подсчитывается
аналогично с этой лишь разницей, что
выбор происходит без возвращения (люди
выходят на разных этажах). Искомая
вероятность равна
.
1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Вероятность
суммы событий А
и В
определяется
выражением
Р(
А + В ) = P(
A
) + P
( B
) –P
(AB)
Если
события А
и В
несовместны, то
P(
A
+ B)
= P(
A)
+ P(B)
Условная
вероятность наступления события А
в предположении,
что событие В
наступило
,
определяется по формуле
.
Аналогично
.
7
Вышеупомянутые
равенства можно записать в следующем
виде:
По
индукции легко получить более общую
формулу
если
Пример
3. Среди 100
лотерейных билетов есть 5 выигрышных.
Найти вероятность того, что 2 подряд
выбранных билета окажутся выигрышными.
Решение.
Через А
и В
обозначим события, состоящие
соответственно в том, что первый и
второй билеты выигрышные Вероятность
того, что первый билет выигрышный, равна
.
Вероятность
того, что второй билет выигрышный, при
условии, что первый билет выигрышный,
равна
(если первый билет выигрышный, то всего
остается 99 билетов, среди которых 4
выигрышных). Искомая вероятность того,
что оба билета выигрышные, равна.
Формула полной вероятности.
Пусть
А
– произвольное событие, события
попарно несовместимы,и.
Тогда имеет место следующая формула
(формула полной вероятности):
8
7
.24
132 |
146 |
134 |
116 |
142 |
154 |
126 |
84 |
108 |
167 |
104 |
145 |
147 |
134 |
90 |
144 |
142 |
155 |
133 |
138 |
107 |
101 |
106 |
133 |
110 |
127 |
121 |
160 |
157 |
117 |
136 |
161 |
100 |
149 |
155 |
132 |
138 |
137 |
123 |
164 |
126 |
97 |
116 |
120 |
140 |
134 |
136 |
89 |
114 |
134 |
212 |
140 |
150 |
169 |
127 |
93 |
127 |
101 |
198 |
122 |
105 |
128 |
89 |
155 |
140 |
146 |
141 |
123 |
151 |
160 |
144 |
147 |
139 |
158 |
133 |
100 |
97 |
156 |
120 |
147 |
134 |
128 |
105 |
183 |
85 |
118 |
100 |
139 |
123 |
109 |
101 |
117 |
90 |
135 |
121 |
123 |
130 |
110 |
99 |
112 |
7
.25
134 |
153 |
121 |
150 |
137 |
106 |
121 |
132 |
119 |
113 |
166 |
114 |
136 |
157 |
105 |
171 |
159 |
92 |
142 |
125 |
152 |
128 |
104 |
154 |
104 |
141 |
118 |
158 |
143 |
103 |
99 |
128 |
129 |
124 |
141 |
120 |
162 |
101 |
128 |
160 |
100 |
147 |
119 |
137 |
124 |
126 |
135 |
125 |
126 |
102 |
170 |
147 |
152 |
121 |
148 |
108 |
95 |
120 |
108 |
127 |
163 |
120 |
118 |
167 |
122 |
139 |
136 |
134 |
92 |
106 |
118 |
116 |
103 |
121 |
111 |
168 |
97 |
107 |
136 |
157 |
125 |
122 |
111 |
345 |
137 |
158 |
124 |
144 |
106 |
102 |
127 |
124 |
140 |
139 |
121 |
131 |
98 |
112 |
148 |
109 |
7
. 26
145 |
162 |
139 |
107 |
129 |
153 |
157 |
149 |
111 |
109 |
126 |
126 |
112 |
159 |
91 |
91 |
110 |
156 |
166 |
132 |
82 |
137 |
79 |
128 |
124 |
142 |
146 |
144 |
124 |
113 |
85 |
134 |
128 |
142 |
148 |
137 |
120 |
139 |
166 |
136 |
125 |
97 |
154 |
87 |
134 |
118 |
129 |
170 |
135 |
165 |
134 |
108 |
127 |
142 |
145 |
140 |
159 |
141 |
146 |
103 |
199 |
121 |
112 |
139 |
105 |
91 |
88 |
142 |
90 |
141 |
116 |
95 |
89 |
147 |
98 |
108 |
156 |
105 |
81 |
122 |
91 |
118 |
126 |
112 |
168 |
90 |
138 |
150 |
129 |
113 |
143 |
146 |
133 |
125 |
116 |
112 |
107 |
134 |
123 |
194 |
81