Скалярное произведение векторов в координатной форме.

Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы:

= (х₁,у₁,z₁), = (х₂,у₂,z₂). Тогда

∙= x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂.

В частности

Если даны точки А(х₁,у₁,z₁) и В(х₂,у₂,z₂), то, как известно, =(x₂-х₁,y₂-у₁,z₂-z₁) и значит.

-формула расстояния между двумя точками.

Так как , то

15

и тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

х₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = 0.

Определители второго и третьего порядков

Определение. Таблица, составленная из чисел, записанных в следующем виде:

называется квадратной матрицей n-го порядка или просто матрицей n-го порядка. Первый индекс i элемента а_ij матрицы А указывает на номер строки, а второй индекс j - на номер столбца, на пересечении которых стоит элемент а_ij.

Пусть дана квадратная матрица А второго порядка:

Определителем (детерминантом) матрицы А второго порядка называется число Δ равное:

16

то а₁₁а₂₂>О, т.е. коэффициенты а₁₁ и а₂₂ оба отличны от нуля и имеют одинаковые знаки, совпадающие со знаком I₁=a₁₁+а₂₂. Будем в дальнейшем считать, что I₁>О, т.е. а₁₁>0 и а₂₂>0 (если это не так, то умножим обе части (18) на — 1). Заметим, что при такой операции (нормировании) знак I₂ не меняется.

Теорема 1.3. Пусть уравнение (1) КВП — эллиптического типа (I₂>О) нормировано так, что I₁>О. Тогда при I₃<0 — это уравнение эллипса. При I₃=0 — единственная точка (уравнение вырожденного эллипса). При I₃>0 — пустое множество точек (уравнение мнимого эллипса).

Доказательство. Так для уравнения (18), I₁=а"₁₁+а"₂₂,

I₂=а"₁₁а₂₂, то из условия I₁>О, I₂>0 следует, что а"₁₁>О, а"₂₂>0. Поэтому уравнение (18) можно записать так:

, при I₃<0; (19)

, при I₃=0; (20)

, при I₃>0; (21)

Теорема доказана.

Теорема 1.4. Пусть уравнение (1) - КВП гиперболического типа (I₂<0). Тогда при I₃0 — это уравнение гиперболы, а при I₃=0 - пара пересекающихся прямых.

Доказательство. Так как для уравнения (18):

57

члена 2а'₁₂х'у'. Ясно, что в этом случае а'₁₂=0 и из формул (4) следует, что

Следовательно, при а₁₂0

(16)

Именно при таком выборе угла поворота, уравнение (3) принимает вид:

(17)

Вывод: путем параллельного переноса приводим уравнение кривой к виду (14)

путем поворота, если а₁₂О, приводим уравнение (14) к виду:

(17)

в системе координат О"Х"У".

Линии эллиптического и гиперболического типов

Если I₂>О, то уравнение (17), согласно (15), можно записать так:

(18)

Так как

56

Для матрицы А третьего порядка, где

ее определитель Δ есть число, которое вычисляется следующим образом:

Δ = а₁₁а₂₂а₃₃ + а₁₂а₂₃а₃₁ + а₁₃а₂₁а₃₂ – а₁₃а₂₂а₃₁ – а₁₁а₂₃а₃₂ – а₁₂а₂₁а₃₃.

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства берутся со знаком "+", а какие со знаком "–", полезно использовать следующее правило треугольников:

Легко проверить, что

=

- разложение определителя по элементам первой строки.