3. 6 Теорема Стокса

Зная в каждой точкеS, можно найти циркуляцию поГвокругS. РазобьемSнаS:

и

- нормаль к элементу поверхности S.

Пусть все S  0, тогда:

Теорема Стокса:

Циркуляции вектора по произвольному контуруГравна потоку векторачерез произвольную поверхностьS, ограниченную данным контуром.

3.7 Циркуляция и ротор электростатического поля

Работа электростатических сил по любому замкнутому контуру равна нулю.

т.е. циркуляция электростатического поля по любому контуру равна нулю.

Возьмем любую поверхность S, опирающуюся на контурГ.

Рис.13

По теореме Стокса:

;

так как это для любой поверхности S, то

Существует тождество:

т.е. силовые линии электростатического поля не циркулируют в пространстве.

3.8 Теорема Гаусса

Найдем электростатического поля. Для точечного заряда густота линий численно равна

Поток через любую замкнутую поверхность равен числу линий, выходящих наружу, т.е. начинающихся на заряде “+” и заканчивающихся на заряде ”-“ :

Знак потока совпадает со знаком q, размерности одинаковы.

Пусть есть Nточечных зарядовq_i.

Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на ₀.

4 Вычисление полей с помощью теоремы Гаусса

4.1 Поле равномерно заряженной бесконечной пластины.

4.2 Поле равномерно заряженной сферической поверхности.

4.3 Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей

4.4 Поле объемно заряженного шара

4.1 Поле равномерно заряженной бесконечной пластины

Введем понятие поверхностной плотности

-заряд на единичную поверхность.

Рис.14

Бесконечная пластина заряжена с постоянной поверхностной плотностью +. Линии напряженности перпендикулярны рассмотренной плоскости и направлены от нее в обе стороны.

В качестве замкнутой поверхности построим цилиндр, основания которого параллельны плоскости, а ось перпендикулярна ей, т.к. образующие цилиндра параллельны E, тоcos=0и поток сквозь боковую поверхность равен 0, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основание.

E’=E’’=E,

То Ф = 2ES;

q = S

Отсюда следует, что Eне зависит от длины цилиндра, т.е. поверхность поля на любом расстоянии одинакова по модулю, т.е. поле равномерно заряженной пластины однородно.

4.2 Поле равномерно заряженной сферической поверхности

Сферическая поверхность радиусаRс общим зарядомq.

Т.к. заряд распределен равномерно, то поле обладает сферической симметрией, т.е. линии плоскости направлены радиально.

Построим мысленно сферу радиуса r  R. Т.к.r R, то весь заряд попадает внутрь поверхности, по теореме Гаусса:

Рис.15

При rRполе убывает с расстоянияrпо такому же закону, как у точечного заряда.

Если r’R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, отсюда следует что внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатического поля отсутствуетЕ=0.

4.3 Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей

Рис.16

Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями + и -.

Поле найдем как суперпозицию, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности.

Вне пластины Е = 0(поля вычитаются, т.к. линии направлены на встречу друг другу).

В области между плоскостями

Е = Е₊ + Е_-

тогда