Примеры решения типовых задач

Задача 1. В вершинах квадрата расположены равные положительные заряды +2·10^‑7 Кл (рис. 1). В центре квадрата помещен отрицательный заряд. Вычислить, какой величины должен быть отрицательный заряд, чтобы уравновесить силы взаимного отталкивания зарядов, расположенных по вершинам квадрата.

Решение

Для определения величины q₅используем закон Кулона. Зарядыq₁,q₂,q₃,q₄одинаковы и расположены симметрично. Поэтому рассуждения проводим для одного из четырех зарядов. Определим условие, при котором один из зарядов, напримерq₁, находился бы в равновесии с зарядомq₅.

F₁₃

Рис. 1

Установим силы отталкивания, которые испытывает заряд q₁от положительных зарядовq₂,q₃,q₄. По принципу суперпозиции поле каждого зарядаq₂,q₃иq₄действует на зарядq₁независимо. Это позволяет составить векторную сумму сил отталкивания (F₁₂,F₁₃,F₁₄). Чтобы установить условия равновесия зарядовq₁иq₅необходимо положить, что векторная сумма действующих на них сил равна нулю. С учетом сказанного:

, (1)

где F₁₂, F₁₃, F₁₄, F₁₅ – силы, действующие со стороны зарядов q₂, q₃, q₄ и q₅ на заряд q_1. Учитывая расположение зарядов (см. рис. 1), заменим в выражении (1) F₁₂ + F₁₄ на F, после чего получим:

. (2)

Переходим от векторного выражения к скалярному:

, . (3)

Определяем величину заряда q₅ по закону Кулона:

.

Так как q₁ = q₂ = q₃ = q₄ = q, то

. (4)

Кроме того, по условию r₁₂ = r₁₄ = r₂₃ = r₃₄, тогда

(5)

Подставляя в (4) r₁₃ и r₁₅ из (5), после преобразований получаем . Производим вычисление в единицах СИ:.

Задача 2. Установить, как изменятся емкость и энергия плоского воздушного конденсатора, если параллельно его обкладкам ввести металлическую пластину толщиной 1 мм. Площадь обкладки конденсатора и пластины 150 см², расстояние между обкладками 6 мм. Конденсатор заряжен до 400 В и отключен от батареи.

Решение

Емкость и энергия конденсатора при внесении в него металлической пластины будут изменяться. Это вызвано тем, что металлическая пластина уменьшает расстояние между пластинами с dдо (d‑d₀) (рис. 2). Используем формулу электроемкости плоского конденсатора:

. (1)

где S ‑ площадь пластины; d ‑ расстояние между пластинами.

Рис. 2

В нашем случае

.

Проводим вычисления в единицах СИ

Проверим единицу измерения емкости C

Так как электрическое поле в плоском конденсаторе однородно, плотность энергии во всех его точках одинакова и равна:

, (2)

где E ‑ напряженность поля между обкладками.

При внесении металлической пластины параллельно обкладкам напряженность поля осталась неизменной, а объем электрического поля уменьшился на . Следовательно, изменение энергии (конечное значение меньше начального) произошло вследствие уменьшения объема поля конденсатора

. (3)

Напряженность поля E между обкладками плоского конденсатора определяется через разность потенциала на обкладках и расстояние между ними

, (4)

где U ‑ разность потенциалов. Расчетная формула (3) с учетом формулы (4) принимает вид:

, (5)

Подставляя числовые значения (в единицах СИ) в формулу (5), получаем:

Проверяем единицу измерения полученной величины:

.

Задача 3. Катушка без сердечника длиной содержитвитков. По катушке течет ток.Определить объемную плотность энергии магнитного поля внутри катушки.

Решение

Объемная плотность энергии магнитного поля равна:

, (1)

где – энергия магнитного поля катушки,– объем катушки,LиS– индуктивность и площадь катушки. Индуктивность катушки дается выражением:

. (2)

Подставив все выражения в формулу (1), найдем объемную плотность энергии магнитного поля внутри катушки:

. (3)

Вычисляя с учетом табличных значений, получаем . Проверим единицу измерения полученной величины:

.

Задача 4. Электрон, влетев в однородное магнитное поле с магнитной индукцией , движется по окружности радиусом.Определить магнитный момент p_m эквивалентного кругового тока.

Решение

Так как движение электрона по окружности эквивалентного круговому току, то магнитный момент кругового тока:

, (1)

где e– заряд электрона,– период обращения электрона по окружности,– площадь, ограниченная окружностью, описываемой электроном.

Электрон совершает движение под действие силы Лоренца F_л. Согласно второму закону Ньютона:

, или . (2)

Из выражения (2) получим, что скорость , а период обращения:

. (3)

Подставив выражения для SиTв выражение (1), получим искомый магнитный момент эквивалентного кругового тока:

. (4)

Вычисляя с учетом табличных значений, получаем . Проверим единицу измерения полученной величины:

.