Лабораторная работа № 10

Проблемы собственных значений

а) Найти собственные числа и собственные векторы матрицы A методом

непосредственного вычисления определителя (ε = 0.5 · 10^-3 )

б) Методом А. Н. Крылова найти характеристический полином матрицы

Изученные теоретические вопросы:

Собственным значением (или характеристиче­ским числом) квадратной матрицы А называется такое число λ, что для некоторого ненулевого вектора х имеет место равенство Ах= λ х. (5.0)

Любой ненулевой вектор х, удовлетворяющий этому равенству, называ­ется собственным вектором матрицы А, соответствующим (или принадле­жащим) собственному значению λ. Очевидно, что все собственные век­торы матрицы определены с точностью до числового множителя.

Условием существования у однородной системы (5.0) ненулевого решения (для наглядности запишем эту систему в виде (А— λ Е)х = 0 является требование

|А- λ Е| =

Это уравнение обычно называют вековым (или характеристическим) уравнением матрицы А. Такие уравнения часто встречаются в приложе­ниях. Левая часть векового уравнения |А- λ Е| = (-1)ⁿ (λⁿ – p₁ λ^n-1- p₂ λ^n-2 - …., - р_п)

носит название характеристического полинома матрицы А. Старший коэффициент этого полинома равен (—1)^п. Иногда вместо характеристи­ческого полинома рассматривают полином, отличающийся от характери­стического множителем (-1)^п. Этот полином Р( λ ) = λⁿ – p₁ λ^n-1- p₂ λ^n-2 - …., - р_п обычно называют собственным многочленом матрицы. Собственные зна­чения матрицы являются корнями собственного многочлена. Совокуп­ность всех собственных значений λ₁, λг, .... , λ_п матрицы А, где каждое собственное значение выписано столько раз, какова его кратность как корня собственного многочлена, называется спектром этой матрицы. Собственными же векторами матрицы А являются нетривиальные реше­ния однородной системы (5.0), в которой вместо λ подставлены соб­ственные значения λ_i матрицы. В том случае, когда для данного собствен­ного значения система (5.0) имеет несколько линейно независимых решений, этому собственному значению принадлежит несколько собст­венных векторов.

Задачу вычисления собственных значений и собственных векторов матрицы А можно разбить на три естественных этапа:

1) строение собственного многочлена Р( λ ) матрицы;

2) решение уравнения Р(λ)=0 и нахождение собственных значе­ний λ_i (i=1, 2,... , п) матрицы;

3) отыскание нетривиальных решений однородных систем (А- λ_i Е)х = 0),(i=1,2.. ,n),

т. е. нахождение собственных векторов матрицы.

Каждый из трех отмеченных этапов решения проблемы собственных значений представляет собой достаточно сложную вычислительную задачу.

Таким образом, задача отыскания собственных значений и собственных векторов матрицы сводится к отысканию коэффициентов характеристического урав­нения, определению его корней, и к отысканию нетривиальных решений системы Ах = Х, в которой вме­сто X рассматривают одно из найденных собственных значений.

Метод А. Н. Крылова

Пусть D(λ) ≡ det(λ E - A) = λⁿ + p₁ λ^n-1 + p₂ λ^n-2 + …., + р_п (5.1)— характеристический полином (с точностью до знака) матрицы А. Согласно тождеству Гамильтона — Кели, матрица А обращает в нуль свой характеристический полином; поэтому Aⁿ + p₁ A^n-1 +…+ p_n E = 0. (5.2)

Возьмем теперь произвольный ненулевой вектор y ⁽⁰⁾ =

Умножая обе части равенства (5.2) справа на y⁽⁰⁾ получим: Aⁿ y⁽⁰⁾ + p₁ A^n-1 y⁽⁰⁾ +…+ p_n y⁽⁰⁾ = 0. (5.3)Положим: A^k y⁽⁰⁾ = y^(k) (k=1, 2, ..., п); (5.4) тогда равенство (5.3) приобретает вид

y⁽ⁿ⁾ + p₁ y^(n-1) +…+ p_n y⁽⁰⁾ = 0. (5.5) или (5.5^*)

где y^(k) =, (k=1, 2, ..., п). Следовательно, векторное равенство (5.5^*) эквивалентно системе уравнений p₁ y_j ^(n-1) + p₂ y_j ^(n-2) + …., + р_п y_j⁽⁰⁾ = - y_j⁽ⁿ⁾ (j = 1. 2. . . ., n), (5.6)

из которой можно определить неизвестные коэф­фициенты p₁, p_2,....., р_п .

Так как на основании формулы (5.4) y^(k) =A y ^{(k -1)}, где (k = 1, 2, . . ., п), то координаты y₁ ^(к) , y₂ ^(к) , …, y_n ^(к) вектора y^(k) последовательно вычисляются по формулам , ,…,(5.7)Таким образом, определение коэффициентов p_j характеристи­ческого полинома (5.1) методом А. Н. Крылова сводится к решению линейной системы уравнений (5.6), коэффициенты которой вычи­сляются по формулам (5.7), причем координаты начального вектораy ⁽⁰⁾ =

произвольны. Если система (6) имеет единственное решение, то ее корни р₁, р₂, ..., р_п являются коэффициентами характеристического полинома (5.1). Это решение может быть найдено, например, методом Гаусса. Если система (5.6) не имеет единственного решения, то задача усложняется . В этом случае рекомендуется изменить начальный вектор.