ВИ_практика_Новое

	2	C 2			2	C 2		2		C 2						3			C	6	,b	6	;
3			9					3								2				2		3
(b)				b2			1 4
			2
												6					1							6
Экстремаль:								y						x					, точка пересечения экстремали и заданной линии								,4	.
											2					3								3

4. Вычислим значение функционала:

																3						3			6 3
	6 / 3							6 / 3
J y				x 6 2 1 3 '3 dx							3		6					dx 3	6				x				3
													2						2
	0							0																0
Варианты
1.	x e x 2 ;												11.				x e x 5 ;
2.	x e2 x 9 ;												12.				x e0.5x ;
3.	x e x 0.5						3 ;						13.				x 5 e x ;
4.	x e x 10 ;												14.				x e x 2 ;
5.	x 2 e2 x ;												15.				x 2 e2 x ;
6.	x 2 e2 x ;												16.				x 3 e x ;
7.	x e x 2 ;												17.				x 4 e x ;
8.	x e x 0.5						2 ;						18.				x 6 e x ;
9.	x e2 x 5 ;												19.				x 10 e2x ;
10.	x 0.5e x 2 ;												20.				x e x 2 ;

6 3 2

26 60.75

21.x 5 e0.5x ;

22.x 10 2e x 2 ;

23.x 5 e x ;

24.x 50 e x 3 ;

25.x 50 e x 3 ;

26.x 0.5e x 2 ;

27.x 50 e x ;

28.x e2x 2 5 ;

29.x 5 e2x ;

30.x 25 e x .

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

21

Лабораторная работа №7 Исследование основной задачи вариационного исчисления.

Обозначим

x, h, h	x	2F x, y x , yx x h2	2	2F x, y x , yx x hh		2F x, y x , yx x h2.		(8)
		y2		x		yx2	x
				y yx

Тогда выражение (2б) для второй вариации 2 J y, h функционала основной задачи вдоль допустимой кривой y Y , x a,b будет иметь вид:

b
2 J y,h x, h x , hx x dx .	(9)
a
Задача минимизации второй вариации (9) на вариациях h(x),	x [a,b]вдоль допустимой
кривой y(x), x a,b называется присоединенной задачей о минимуме:
b (x,h,hx )dx min, h H	(10)
a

Так как задача (10) относится к ОЗВИ, то для неѐ выполняется условие Эйлера. Уравнение Эйлера для присоединенной задачи о минимуме

			d			0	(11)
	h		dx h
					x

называется уравнением Якоби.

Если вычислить полную производную по х в (11), и собрать члены при одинаковых производных функции h, то уравнение Якоби примет вид

a(x)hxx b(x)hx c(x)h 0,

x [a,b]

(11*)

с переменными коэффициентами

a(x)

2 F x, y, y

x

, b(x)

d

2 F x, y, y

x

,

yx2

dx

yx2

y y x

y y x .

c(x)

d

2 F x, y, y

x

2 F x, y, y

x

dx

y yx

y2

y y x

то есть относительно искомой функции h уравнение Якоби (11*) представляет собой обыкновенное линейное дифференциальное уравнение II-го порядка с непрерывными коэффици-

ентами a(x), b(x), c(x) C[a,b] .

Необходимое условие слабого минимума второго порядка:

Теорема (Лежандра-Клебша). Пусть y0	– слабая минималь ОЗВИ, тогда
2F(x, y0 (x), y0		(x))	0 , x a,b .
	x
y	2
	x

ОпределениеПусть y(x) Y некоторая зафиксированная допустимая кривая. Составим для неѐ присоединѐнную задачу на минимум, построим уравнение Якоби, найдѐм общее решение: h h(x,c1,c2) . Исключаем одну из произвольных постоянных с помощью условия h(a,c1,c2) 0 , тогда получим семейство решений: h h(x,c) . Если для некоторогос и для не-

которой точки x* a , выполняется условие: h(x*, c*) 0 , то говорят, что точка x* сопряжена с точкой а, вдоль допустимой кривой у.

Иначе говоря, x* сопряжена с точкой а, если существует такое нетривиальное решение уравнения Якоби h* ( x) ( h* (x) 0 – тривиальное решение), что выполняется условие:

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

22

h*(a) h*(x*) 0.

(12)

где h* – решение уравнения Якоби (одно из них).

Точки x* и x** сопряжены с точкой а.
Теорема (Якоби). Вдоль неособой минимали y0 x , x a,b (то есть	2 F		y	0 )не существу-
	x			0
	y x

ет точек x* a,b	,	сопряжѐнных с точкой a .
Определение 1Пусть			y(x)	–	допустимая кривая,						она удовлетворяет усиленному условию
Лежандра, если верно условие:
					2F x, y, y	x				0, x [a,b]
					y2
					x				y y( x)
Определение 2Пусть			y(x)	–	допустимая кривая,						онаудовлетворяет усиленному условию

Якоби, если вдоль этой кривой не существует точек из a,b , сопряженных с точкой x a ,

Теорема(достаточное условие слабой минимали). Пусть y(x) – допустимая кривая и пусть она:

1является экстремалью,

2удовлетворяет усиленному условию Лежандра,

3удовлетворяет усиленному условию Якоби,

тогда y(x) – слабая минималь основной задачи вариационного исчисления.

Задание. Построить и исследовать экстремали ОЗВИ на слабую минималь в зависимости от параметра :

1.Составить уравнение Эйлера;

2.Найти общее решение уравнения;

3.Построить экстремаль задачи;

4.Проверить выполнение условия Лежандра-Клебша и усиленного условия Лежандра;

5.Если усиленное условие Лежандра выполняется, то для экстремали составить уравнение Якоби и найти его общее решение;

6.Исследовать экстремаль на слабую минималь в зависимости от параметра, т.е. найти или доказать отсутствие сопряженных точек с точкой a .

Пример

	2		2				2		(1)
J y y'				4 y sin 2x dx ,	y 0 0 ,	y
		y						sin2 ,	y x C[0, ]
							3
0

Решение.

1. Составляем уравнение Эйлера: y'' y 2sin 2x, x 0, .

2. Общее решение уравнения: y C1 sin x C2 cosx 23 sin2x,

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

23

3. Строим экстремаль задачи. Исходя из условий y 0 0 и y 23 sin2 ,находим

C1 C2 0 .

Таким образом, экстремаль имеет вид y 23 sin2x, x 0, .

4. Проверим выполнение условия Лежандра-Клебшаи усиленного условия Лежандра:

	2 F		2 , x 0, .Следовательно, допустимая кривая y(x) удовлетворяет условию Лежан-
	y2
	x
дра-Клебша и усиленному условию Лежандра. Она может быть слабой минималью.
5. Составляем уравнение Якоби. Согласно (12*):
	F x, y, y' y'2 y2 4 y sin 2x;
	F	2 y', a x 2 F 2,b x		d	2 F 0,c x	d	2 F x, y, yx	2 F x, y, yx		2
	yx		yx2	dx yx2		dx y yx		y2

hxx h 0

Общее решение уравнения Якоби: h x c1 sin x c2 cos x . Исходя из условия h(a,c1,c2) 0

c2 0

h x,C C sin x, x 0,

Найдем сопряженные точки с точкой a 0 исходя из уравнения (12) h*(a) h*(x*) 0. h 0 C sin 0 C sin x* 0.

C 0 , поскольку тогда решение тривиально.

Множество сопряженных точек x* 0, (для усиленного условия Якоби) – x* k ,k .

Наименьшая сопряженная с точкой a 0 точка x* 6. Таким образом:

а)экстремаль y 23 sin2x, x 0, является слабой минимальюОЗВИ если , т.к. для нее выполняется достаточное условие слабого минимума;

б) если , то для экстремали y																																		2	sin2x, x 0, не выполняется необходимое усло-
																															3
вие Якоби и, следовательно, у задачи нет слабых минималей;
в) если , то экстремаль																													y			2	sin2x, x 0, остается подозрительной на слабую ми-
																															3
нималь.
Варианты
b	1																					3
1.											e 2x y'2 e2x y														e 2x y 2						dx, y 0 0, y b 1
0	2																					2
b	1											2	y' y 2e						x				2					1		2
2.											y'									x									y		dx, y 0 0, y b 1
0	2																											2
b	1											2				x				1		2
3.											y'		4xe				y				y			dx, y 0 0, y b 1
0	2																			2
b	1											2		x				2x						x			2
4.											y'		e			3e				y e						y		dx, y 0 0, y b 1
0	2
b	1
5.											e 3x y'2 e 3x y sin x e3x y2 dx, y 0 0, y b 1
0	2
Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.																																				24

	b	1							2															1							2
6.	0						y'			2 y' 4 y sin x																		y						dx, y 0 0, y b 1
		2																						2
	b	1																																						2
7.	0						e 5x y'2 4x2e 3x y																						2e5x y													dx, y 0 0, y b 1
		2
	b			1					2								2													1								2
8.							y'			3y' x								x 1																y						dx, y 0 0, y b 1
				2																										2
	0
	b	1
9.	0						e 4x y'2 e 4x y' e 4x																													12x2 6x y dx, y 0 0, y b 1
		2
	b	1												3
10.							e 5x y'2									e 5x y' 3e 5x y 2																									dx, y 0 0, y b 1
	0	2												5
	b	1							2								x			1						2
11.							y'			2 y' 4e								y					y						dx, y 0 0, y b 1
	0	2																		2
	b	1																				1
12.							e 2x y'2 4e x y																			e 2x y 2														dx, y 0 0, y b 1
	0	2																				2
	b	1												3																														3
13.							e 2x y'2										e 2x y' 4e x y																														e 2x y 2 dx, y 0		0, y b 1
	0	2												2																														2
	b	1												3																											3
14.							e 2x y'2										e 2x y' 4e x y																											e				2x y 2 dx, y 0 0, y b 1
	0	2												2																											2
	b	1							2								x			1						2
15.							y'			3y' 4e								y					y						dx, y 0 0, y b 1
	0	2																		2
	b	1
16.							e 3x y'2 18xe 3x y 1 dx, y 0 0, y b 1
	0	2
	b	1							2																	1							2
17.							y'			2 y' 6 y sin 2x																					y					dx, y 0 0, y b 1
	0	2																								2
	b	1																													1
18.							e x y'2 13e x y sin 2x																													e x 2 y 2												dx, y 0 0, y b	1
	0	2																													2
	b	1							2																				2
19.							y'			4 y' y sin 2x 2 y																							dx, y 0 0, y b 1
	0	2
	b	1							2																	1							2
20.							y'			3y' 4xy cos x																					y					dx, y 0 0, y b 1
	0	2																								2
	b	1							2												1							2
21.							y'			y' xy sin x														y							dx, y 0 0, y b 1
	0	2																			2
	b	1						2x			2			2x													5						2x						2
22.							e			y'		e					y sin x													e							y				dx, y 0 0, y b 1
	0	2																									2
	b	1							2																		1							2
23.							y'			3y' 6 y cos 2x																					y						dx, y 0 0, y b 1
	0	2																									2
	b	1							2														1								2
24.							y'			2 y' 2 y sin x																		y						dx, y 0 0, y b 1
	0	2																					2
	b	1						2x			2			2x				2						2x														5				2x						2
25.							e			y'		e					x		y e										xy											e						y		dx, y 0 0, y b 1
	0	2																																				2

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

25

b 1

26.

0 2

y'2 45 y' y cos 3x 2 y 2 dx, y 0 0, y b 1

	b	1
27.										e 5x y'2 8xe 3x y 2e5x xy 2 dx, y 0 0, y b 1
	0	2
	b	1										2									5x				2
28.										y'			5 y' y cos x 2e											y		dx, y 0 0, y b 1
	0	2
	b	1									2x			2		2			5x		2
29.										e			y'		x		y 2e			y			dx, y 0				0, y b 1
	0	2
	b	1									2x			2		2x			2x			2
30.										e			y'		e			y e		xy				dx, y 0			0, y b 1
	0	2

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

26

Лабораторная работа №8Проверка на экстремальность управления для простейшей терминальной задачи

Пусть поведение объекта управления в ограниченной области		X Rn описывается
уравнением
x f x,u,t ,t T t0 ,t1 ,	x t0 x0 ,	(13)
где x x t X – состояние объекта в момент времени t ;	u u t Rr – значение управляю-

щего воздействия; t – скаляр (время); x0 – начальное состояние; t0 – начальный момент, а t1 – конечный момент времени управления.

Класс доступных управляющих воздействий (допустимых управлений) – это кусоч- но-непрерывные функции u t Rr , удовлетворяющие условию

u t U,t T ,

(14)

где U Rr – заданное множество, U – компакт.

Допустимое управление u t U называется программой, если соответствующая ему

траектория x t X удовлетворяет заданным начальномуи конечному состояниям (

x t0 x0 ,

x t1 x1 –для данной задачи конечное состояниене указано).

Цель задачи оптимального управления – минимизация функционала (критерия каче-

ства, целевого функционала)

t1

f0 x t ,u t dt min .

J u x t1

(15)

t0

Оптимальными называют программу u0 t ,t T и соответствующую ей траекторию

x0 t ,t T , которые минимизируют критерий качества:

J u0 x0 t

t1

x t

t1

f

0

x0 t ,u0 t dt min

f

0

x t ,u t dt min J u ,

1

1

t0

t0

где минимум вычисляется по всем программам.

Функционал (15) представляет собой сумму терминального и интегрального функционалов.

Задача оптимального управления (13)-(15) называется задачей оптимального управ-

ления типа Больца (задачей оптимального управления со свободным правым концом тра-

ектории). Минимизация интегрального функционала – это задача Лагранжа, если критерием качества служит терминальный функционал J u x t1 – это задача Майера (про-

стейшая терминальная задача).

Существование оптимальных программ.
Предполагаем, что X Rn – ограниченное множество,		U Rr – компакт,	функции
x , f x,u , f0 x,u , x X ,u U , непрерывны вместе с	x x, f x,u x, f0 x,u x ,		траекто-

рии динамической системы существуют, единственны, продолжимы на весь промежуток времени и принадлежат множеству X .

Теорема Если при каждом x X функция	f0 x,u ,u U и	множество	скоростей
f x,U f x,u : u U выпуклы, то задача (13)-(15)	имеет решение	в классе	измеримых

управляющих воздействий.

Введем в рассмотрение функцию t R n ,t T , принимающую в момент времени t1 значение:

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

27

t	x t1 .		(16)
1	x
Определим функцию t ,t T , как решение уравнения
H x t , ,u t ,t		,t T (сопряженная система),	(17)
	x
где H x, ,u ' f x,u f0 x,u – гамильтониан (функция Л.С. Понтрягина).			(18)

Необходимое условие оптимальности программ

Теорема (Принцип максимума Л.С. Понтрягина) Для оптимальности программы

u0	t ,t T , в задаче (13)-(15) необходимо чтобы вдоль нее и соответствующих ей решений
x0	t , 0 t t T , исходной (13) и сопряженной (17),(16) систем выполнялось условие макси-
мума:
	H x0 t , 0 t , u 0 t , t max H x0 t , 0 t , u, t , t t	0	, t	(19)
	u U		1

Допустимое управление u * t ,t T называется экстремальным управлением (экстремалью Понтрягина), если для него и соответствующим ему траекторий x * t , * t ,t T , основной и сопряженной систем выполняется условие максимума (19)

Теорема (свойства гамильтониана).
1)	Вдоль экстремальных управлений гамильтониан H x t , t ,u t ,t непрерывен в каждой
точке t t0 ,t1 .
2)	В каждой точке непрерывности экстремального управления выполняется равенство
				dH x t , t ,u t ,t	H x t , t ,u t ,t .
				dt		t
3)	Вдоль экстремального управления в случае стационарной системы (13) (т.е. x f x,u , не
зависит от t) гамильтониан постоянен:
				H x t , t ,u t ,t const ,t t0 ,t1 .
При вычислении		dH	в условии 2) сначала в			гамильтониан подставляются функции
		dt
x t , t ,u t , а затем производится дифференцирование							по t ; при вычислении H сначала

t

функция дифференцируется по t , а потом в результат подставляются x t , t ,u t .

Задание. Проверить заданные допустимые управления на экстремальность:

1.Составить сопряженную систему;

2.Проверить выполнение условия максимума. В случае, если условие максимума не выполняется, привести соответствующий пример.

Пример. Пусть n=2, r=1

x		u,	x			(0) 0
1			1						, t T 0,1 – уравнение движения объекта,
		x 2 ,
x	2				x	2		(0)	0
		1
U u R :					u		1 [ 1,1],
J (u) x2 (1)							– терминальный критерий качества.
									1,	t 0,1 3	.
1 Выберем в качестве управления u(t): u(t)										1,t 1 3,1

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

28

Это допустимое управление, поскольку существует одна точка разрыва 1/3 (кусочнонепрерывная функция) и u t U,t T ,

u

1

					x1
					1
1/3						t
					ψ1
-1

Подсчитаем порожденную этим управлением траекторию.

Рассмотрим полуинтервал 0,13 . Тогда уравнение движения объекта примет вид:

									x1			1,
														x1(t) t
x			1,		x (0) 0				x		(0) 0						x1(t) t,
	1				1				1
				2									2			3			t	3
x			x				(0) 0											(t)
		2			, x	2				2		t ,			t		x2
			1						x					x2 (t)
												(0) 0							3
															3
									x	2

Рассмотрим отрезок 13,1 . Уравнение движения объекта примет вид:

																			x					1,
																					1										1 x1(t) t											2
									1					1													1
																			x1																							3
x1 1,
							x1																				3				3
								3						3
									1							1					x2				( t								2			2	t	2		4		t			4
					2																														)											,
			x1
						,	x2																										3							3					9
	x2
								3								81
																											1					1
																			x					(					)
																						2
																									3						81
		x (t) t							2	,
			1						3
								t 3			2						4				2
			x		(t)								t	2				t
				2				3			3						9		27

x	2	(t)	t 3		2	t	2		4	t	2
			3		3				9		27

2 Посчитаем цену этого управления:

J (u) x2 (1) 272 .

Проверим для нашего управления выполнение условия максимума.Для этого нужно подсчитать сопряжѐнную траекторию .

3. Гамильтониан примет вид:

u		2

12 x2 1 2 1

1

4.Составим сопряжѐнную систему:H f ( , ) u x .

	H
	x				1			0
						2 2 x1, 2
		x 1				1 0, 1 1
1
					1	2
			x

5. Решим составленную систему, т.е. подсчитаем сопряженную траекторию:

а) t 13,1 :

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

29

			2 x ,												1 0											2												1 0							2										1 0
																									2				t					,											2				t ,
		1				2 1								1									1									2					1							1										1
	2 0, 2 1 1																									3																			3
																						2 0, 2 1 1																					2 1
							2		4							1
				1	t							t
									3							3
			2 1
б) t 0,1 3 :
															1					0															1
			2				x ,																			2t					,							0
		1												1											1					2			1																1											2		1
						2 1
																3																			3							1	2t,				1					0						1	t				,
																																																	3													9
									1																							1
																																																									2 1
	2 0, 2														1									2 0,					2						1						2 1
									3																						3

6Проверим для нашего управления u(t)условие максимума.

							t 2					1					1 1 t 2									1								1
																												,t	0,
												9														9								3
																																									1
Имеем: H (x(t), (t),u(t),t)																																	2							H (t)		,t T.
																																									9
										4							1														2					1		1
							t	2				t							1							1 t											,t			,1
											3 3																				3					9
																																						3
Подсчитаем
											1													1
					t 2							v t 2 ,t								0,
											9													3
H (t, v) H (x(t), (t), v(t))
																							2
						2			4					1							2									1
					t						t						v t						,t									,1
									3					3							3									3
max	H (t, v) H (t) H (t).
V 1,1

Исходное управление удовлетворяет условию максимума и, следовательно, является экстремальным (подозрительным на оптимальное управление).

ЗамечаниеПокажем, что, тем не менее, это управление не является оптимальным. Т.е. принцип максимума не является достаточным условием оптимальности.

Выберем другое управление u(t) 1, t T																																				и подсчитаем траекторию:
				(t) 1, x								0 0											x1 t,
			x
			1								1
	x(t) :										2				0															1				3 , t [0,1].
		x		2	(t) x							, x		2					0						x		2						t
										1
																														3
Тогда J						x				1					1		Таким образом, J																				1		2		J u . То есть управление u лучше чем u
					u				2																										u
															3																				3				27
и управление u не является оптимальным.
Варианты:																	x1 0 0,
				x1 u,
																													u t			1,			t 0,1 ,					J u x2 1 min;
				x				x2					u,				x			0 0,
							2												2
											1												1,t 0,1 3 ,
1.
				a) u t 1									2; b) u t 1,t 1																	3,1 .
				x u,						x 0 0,								u t					2,t 0,1 ,												J u				1	1		2	t dt min;
																																								x
																																							2
																																								0
2.																																	2,t 0,1							2 ,
				a) u t 1; b) u t 2; c) u t 0,t 1 2,1 .

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

30