ВИ_практика_Новое

x1 x2 ,		x1 0 1,	u t 1,		t 0,5 ,	J u x2 5 x2 5 min;
	u,	x2 0 2,				1	2
x2

1,t 0,1 , 3. u t 0,t 1,2 ,

1,t 2,5 .

x u,

x 0 0,

u t

2,t 0, 4 ,

J u

4 u2 t x2 t 6x t sin 2t dt min;

4.

a) u t 2; b) u t cos2t.

0

x xu,

x 0 1,

u t

2,t 0,2 ,

J u ln x 2 min;

5. a) u t

2; b) u t

0,t 0,1 ,

1; c) u t

1,t 1,2 .

x xu,

x 0 1,

0

u t

12,t 0,2 ,

J u

1

x4 2 min;

6.

a) u t 0; b) u t 1.

4

x1 tu,

x1 0 0,

u t

1,t 0,1 ,

J u x2 1 min;

x

x ,

x

0 0,

2

2

7.

1

a) u t t; b) u t 1;

c) u t 1.

x

x

u,

x

0 0,

u t

1,t 0,1 ,

J u 2x1 1 3x2 1 min;

1

2

1

8.

x2 u,

x2 0

1,

1,t 0,1

2 ,

a) u t 1; b) u t 0;

c) u t 0,t 1 2,1 .

x

u

2

, x

0 1,

x

u t

0,1 ,

J u x1 1 x2 1 min;

1

2

1

0

1,t

x

2

x ,

x

2

1,

1

9.

1,t 0,1 4 ,

a) u t 1; b) u t

0,t 1 4,1 .

x1 u,

x1 0 0,

-1

u t

1,t 0,1 ,

J u x2 1 min;

x

x2

,

x

0

0,

2

2

10.

1

a) u t 1; b) u t 1; c) u t t 2 .

x1 x2u1,

x1 0 0,

x

2 x1 2u2 ,

x2 0 0, u 2

t u 2

t 1,t

1

2

u2 ,

x3 0 0,

x3

11.

u

t 0

u

t 1

2

a)

1

;

b)

1

.

u

2

t 1

u2 t 1 2

x

u

2

,

x

0 1,

x

u t

1,t 0,1 , J

1

2

1

0 1,

x

2

x ,

x

2

1

12.

b) u t

1,t 0,1

2 ,

a) u t 0;

2,1

1,t 1

0, , J u x2 x3 min;

u x1 1 x2 1 min;

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

31

x1 x2u1,

x1 0 0,

x2

2x1 u2

,

x2 0 0, u

2 t u 2 t 1,t 0, , J u x

x

2

min;

1

2

1

u2 ,

x3 0 0,

x3

13.

u

t

1

u t 1

3

a)

1

; b)

1

.

t

u

2

0

u2 t 2 3

J u x2 2 min .

x1

x2 ,

x1 0 1, 1 u t 2, t 0,2 ,

u,

x2 0 0;

1

x2

0,t 0,1 ,

14.

a) u t 2; b) u t 1; c) u t

1,t 1,2 .

x2

,

x1

0 0,

x1

u t 3, t 0, , J u x1 u t dt min

x

2

x u,

x

2

0 0; 2

1

0,t 0,1 ,

0

15.

a) u t 2; b) u t 3; c) u t

.

1,t 1, .

x

x

u,

x

0 0,

u t

t 0,3 ,

J u x1 3 x2 3 min

1

2

1

0 0;

2,

x2 x2 ,

x2

16. a) u t 1;

1,t 0,1 ,

b) u t

0,t 1,2 ,

1,t 2,3 .

x1 x2 ,

x1 0 1,

x

u t 1,

t 0,1 ,

J u x1 1 x2 1 min;

2

x

u,

x

2

0 0;

1

1,t 0,1

17.

2

a) u(t) 0;b) u(t) 1;c) u(t) 1,t 1 2,1 .

x1 0 1,

x1 x2 ,

x

0 1; u(t) 1,

t 0;1 ,

J u x1 1 x2 1 min

2

x

u 2 ,

x

2

1

1,t 0,1 2

18.

a) u(t) t;b) u(t) 1;c) u(t) 1,t 1 2,1 .

u1,

x1 0 0,

1 min

x1

u 2 t u 2 t 1, t 0;1 , J u x 1 x

u2 , x2

0

0;

1

2

1

2

x2

19.		u			t 1
	a)		1			; b)
		u		2	t 0
			x1 x2 ,
			x1 2tu,
	x	2
			u
20.	x3

a) u(t) 1; b)

u t 1
			2
	1						.
		t 1
u			2
	2
	x1	0 0,							t 0, ,
	x2	0 0;	1 u t 4,							J u x2 x3 min .
	x3	0 0
		1,t 0,1
u(t)								.
		4,t 1,

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

32

		x1 u1 u2 ,																	x1 0 0,								u 2 t u 2 t 1, u								1, t 0; ,		J u x				1 min
x																					0 0;							1		3			2							2
	2	x 2u					2	u				3		,					x	2
				1
	u			t 1															u t 1
								2
21. a)		1																			1
	u		2	t	1						; b)								u			t 1.
																					2
				t	1																	t 0
								2
	u		3																u3
x u,				x 0 1;					u t							1,					t 0;1 ,							J u sin x 1 min .
	u(t) t;b) u(t) sin(t); c) u(t)																												1,t 0,1 2
22. a)																													1,t 1		2,1 .
	x1 x2 ,									x1 0 1,													u R,								J u x2 x2							u 2	t dt min
																												t 0, ,
x	2	x u,								x	2		0						0;															1		2
				1																				1,t 0,1 2													0
23.
a) u(t) t;b) u(t) 1;c) u(t) 1,t 1 2,1 .
x1 x2 u1,										x1 0 0,
																							u1 t			1,			u2 t 2; 0;					2 ,		t 0;4 , J u x1 4 x2 4 min
x		x u					,			x			0 0;
	2					2					2
				1
24.	u			t 1						u							t		1					, c)			u t 1			.
a)		1		t		; b)								1														1
	u		2		0							u			2			t 2									u		t 2
																												2

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

33

u 0 t , t T ,

Лабораторная работа №9 Поиск оптимального управления

Если рассматривается линейно-выпуклая задача
		x A t x b u,t , t T t0 ,t1 , x t0 x0 ,
		u t U , t T ,									(20)
		t1
					dt
		J u x t1 f0 x,u,t				min,
		t0
где	A R nxn ,b u,t –	n -вектор-функция, f	0	x,u,t	a	0	x,t b	u,t , функции	x , a	0	x,t вы-
							0

пуклы по x , то принцип максимума для этой задачи является необходимым и достаточным условием оптимальности, т.е. справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.Для оптимальности допустимого управления u 0 t , t T , в задаче (20) необходимо

и достаточно, чтобы вдоль управления u 0 t , t T и соответствующих ему решений										x0 t , t T ,
прямой	и	0 t , t T сопряженной			системы	(16),(17),			где	H x, ,u
' A t x b u,t f			0	x,u,t , выполнялось условие максимума
				H x0 t , 0 t ,u0 t ,t max H x0 t ,		0 t ,u,t ,t t	0	,t	.
					u U			1

Задание:

1.Составить гамильтониан;

2.Составить и найти решение сопряженной системы;

3.Записать условие максимума;

4.Исходя из условия максимума, найти соответствующую оптимальную траекторию;

5.Вычислить значение функционала.

Пример 1. Найти оптимальное управление задачи:
x	x	2	, x 0 0,
1			1	0 0,
x2 u,			x2
u t 1,			t T	0,2 ,

J u x1 2 x2 2 min .

Рассматриваемая задача является линейной и по состоянию и по управлению.

0		1			0
A t			, B t b u,t			.
	0	0			1

Следовательно для нее справедлива теорема 1, т.е. принцип максимума необходимое и достаточное условие оптимальности. Поэтому оптимальное управление определим из

условия максимума.

1. Составляем гамильтониан:

H x, ,u,t				x					x				u;
	1		2		2			1		2		2
				u

2. Найдем 0 t , t T .Составляем сопряженную систему:

x 2 x1 2 x2 2 ,

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

34

u 0 t , t T ,

			1				H x, ,u,t				0
															,
										x
			2											1
2				x 2						x 2 x									1
															1
					x														1
										x 2 x2
			0						2 1						1								0	1,
		1						1					1										1
																									,t T
										2 1					1,						2 1		0
		2				1		2					2							2				t 1
																							2

3. Запишем условие максимума:

10 x20 20u0 max 10 x20 20u ,t 0,2 .; u U

Поскольку 10 x20 в обоих частях равенства совпадают, то условие примет вид:

20u0 max 20u ,t 0,2 .,

u 1

t 1 u0			max t 1 u,
					u	1
t 1 u max,													u0					1,t 0,1 ,
									u	1							1, t 1,2
4. Найдем соответствующую оптимальную траекторию:
t 0,1 :
	0	x	0				0	0 0,						x		0	x0 , x0 0 0						x	0			1		t	2	,
				, x
x															1			2 1					1				2
1			2	1				0 0,
x	0	1, x					0							x		0	t							0
	2						2									2									t;
t 1,2 :																						x0
0			0				0				1						0	0 0			1				0				1		2
x1		x2		, x1				1					,		x1			x2 , x1 1						x1						t		2t 1,
																					2								2
											2
x	0	1,			x		0	1 1,									0	t 2							0	t 2;
	2			2											x2									x2

5. Вычислим значение функционала:

J u0 x10 2 x20 2 12 2 2 2 2 1 2 2 1.

Пример 2.Найти оптимальное управление для задачи:

							2			3		x1 0 0,
	x1		x2 2u2							u3	,
							3
															0 0,
	x	2	t	2u u	2	,						x		2
				1
								1,				1				1	,0 ,						t 0;3 ,
	1 u			2, u	2								,					3	3	u	3	1,
			1									2			4

J u x1 3 min .

Рассматриваемая задача является линейно-выпуклой.

0		1					2		u3
					2u
A t			, B t b u,t			2	3			3 .
	0	0			t 2u u
										2
							1

Следовательно для нее справедлива теорема 1, т.е. принцип максимума необходимое и достаточное условие оптимальности. Поэтому оптимальное управление определим из

условия максимума.

1. Составляем гамильтониан:

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

35

																																												2u										2					3
																																								x		2						2									u		3																			2
H x, ,u,t																																																						3													x		2 u										u3			t 2					u					u		;
																												1											2																											1		2										3													2		2
																																																																							1 2									1 3						2 1
																																								t 2u						u			2
																																												1
2. Найдем 0 t , t T . Составляем сопряженную систему:
x 3 x1 3 ,
										1															H x, ,u,t																					0
																																																						,
																																			x
										2																																										1
3												x 3																								x 3 x																								1
																																																					1
																		x																																												0
																																							x 3 x2
										0																								3 1																			1																							0	1,
								1																							1																			1																										1
																																																																																	,t T
																																			3					0													1,												3 0											0
								2													1										2																			2														2													t 3
																																																																												2
3. Запишем условие максимума:
		0			0												0							0							2								0		0		3				2 0									0							0		0									0			0				0				2			0			3				2 0				0
				x				2												u																				u					t									u										u			max									x				2		u							u				t				u			u		;
	1				2												1							2							3								1		3											2 1											2		2				u U					1			2				1		2		3			1		3						2 1			2		2
Поскольку 10 x20																																				в обоих частях равенства совпадают, эти слагаемые можно не учитывать и
условие примет вид:
					0							2							0					3									2										0														0															2						3			2
2u															u												t									t 3 u									t 3 u															max									2u						u					t		t 3 u						t 3 u							;
					2							3							3																							1															2					u U								2		3					3										1							2
2u													2				u								3 t 2 t 3 u																					t 3 u														max,
							2															3																																				2
													3																															1
					u1
1												2,
								1,												1										1		,0 ,
u																									,
			2
																				2										4
																											t 0;3
						3 u												1,
3														3
Последняя система эквивалентна следующим условиям:
					2			t 3 u1																	max,
1)		t
																		2,												t 0;3
		1 u
														1
		1 t u2																	max,
2)																										1								1											0;3
		u2										1,																		,								,0 ,			t
																										2								4
							2										3
										u												max,
3)							3						3											1, t 0;3
		3										u
									3										3
Из данных условий получаем:
1) поскольку t 2 t 3 0 при t 0;3 , то																																																																u 0 t 1,t 0,3 ;
																																																																		1
2) поскольку 1 t 0 при t 0,1																																																										и 1 t 0 при t 1,3 , то
u20 t										0,t 0,1																									;
										1,t 1,3
3) u30 t 3
																					3,t 0,3 .
4. Найдем соответствующую оптимальную траекторию:
t				0;1 :

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

36

							2		3																									0		1			4	2t,
		0	0		0			0		0								0				0				0							x1					t
x1			x2		2u2			u3	,	x1	0 0,					x1			x2				2, x1				0	0								12
							3											0					2		0	0										1 3
		0	2 0		0					0																								0
			t u1		u2 ,					x2 0 0,						x			t					, x			0
																		2							2										t ;
x2																															x2
t 1;3 :																																				3
		0	0		0		2	0	3	0		25						x			0	x0			4, x0			1		25					x0						1		t 4		1	t 2	5t	5	,
x1			x2		2u2			u3	,	x1	1				,															12											12				2			2
																				1				2			1									1
							3					12
x		0	t 2u0		u0 ,					x0	0		1	,							0				2		0	1		1						0					1		3
		2																				t				1, x2																t		t	1;
				1	2					2								x2																	x2
													3																	3											3

5. Вычислим значение функционала:

J u0 x10 3 121 3 4 12 3 2 5 3 52 614 .

Варианты

1

x

x

2

,

x

0 1,

1

1

0 0;

x2 u,

x2

1 u t 2, t 0,2 ,

J u x2 2 min .

1

2

x

x

2

u,

x 0 0,

1

1

0 0;

x2 x2 ,

x2

u t 2,

t 0,3 ,

J u x1 3 x2 3 min .

3

x1

0 0,

x1 x2 ,

x

2

x u, x

2

0 0;

1

t 0, ,

2 u t 3,

J u x1 u t dt min .

0

4

x

x

2

u ,

x 1

0,

1

1

1

x2 x2 u2 ,

x2 1 0;

1, t 1; , J u x1 x2 min .

u1 t 2;

1; 0;

2; 3 ,

u2 t

5

x u, x 1 5;

t 1;2 ,

2

3 u t 1,

J u x t u t dt

min .

1

6

x u, x 0 1;

t 0;2 ,

2

x t u 2 t dt min .

u t

2,

J u x 2

0

7

x1

0 1,

x1 x2 ,

x

2

x u,

x

2

0 0;

1

u t 1,

t 0,1 ,

J u x1 1 x2 1 min .

8

x u, x 0 x0 ;

2

u t

1,

t 0;1 ,

J u

1

x2 t

u 2 t dt

min .

2

0

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

37

9				x2 ,
			x1
	x	2	x u 2		,
				1
	u R,			t 0,1 ,

x1 0 x10 , x2 0 x20 ;

	J u	1		1	1	1	t dt min .
			x22			u 2
		2			2
						0

10									x1		0 1,
			x1 x2 ,
	x	2	x u2 , x							2	0 1;
			1	t 0,1 ,
	u t 1,									J u x1 1 x2 1 min .
11			x		u		2	,		x		0 0,
	x			2
	1					1					1		0 1;
	x	2	x 2u				2	,		x		2
			1
	u1 t 1;												-1 u2 t 2,		t 0; ,
						0; 1;			2 ,									J u x2 u2	t dt min .
																		0
12	x		u ,			x	0 0,
		1	1			1
	x2 u2 ,					x2 0 0;
	u 2	t u		2	t 1,				t 0;1 ,					J u x 1 x		2	1	min .
	1		2											1
13	x		u ,			x	0 0,
		1	1			1		0 0;
	x2 u2 ,					x2
	u 2	t u		2	t	1,				t 0;1 ,				J u x2	1 x		2 1 min .
	1			2										1		2

14 x u ,		x 0
1	1	1
x2 u2 ,		x2 0
u R 2 ,	t 0,1 ,

1,
0;
J u x2	1 x2	1	1	x2	t u 2	t u 2	t dt min .
1	2			1	1	2
			0

15

x2 ,

x1

0 0,

x1

x

2

x 2tu,

x

2

0 0;

1

x

3

u

x

0 0

3

1 u t 4,

t 0, ,

J u x2 x3 min .

16

u1 u2 ,

x1 0 0,

x1

x

2

x 2u

2

u

3

,

x

2

0 0;

1

u 2

t u

2

t 1,

u

2

1,

t 0; ,

J u

x

2

1 min .

1

3

17

x u,

x 0 1;

u t

1, t 0;1 , J u sin x 1 min .

18

x u,

x 0 1;

0 u t ,

t 0;1 ,

J u cos x 1 min .

19

x u4 ,

x 0 1;

u t 2;

1; 0; 1;

2 ,

t 0;1 , J u

1

x2

1 min .

2

20

x

x

2

u

2

,

x

0 2,

1

1

x2 u1,

x2

0 1;

u

t

1,

i 1,2,

t 0,1 ,

J u x2 1

min .

i

1

21

x2 ,

x1

0 1,

x1

x

2

x u,

x

2

0 0;

1

u R,

t 0, ,

J u x2 x2

u 2 t dt min .

1

2

0

22

x 0

0 u t 2,

t 0;2 ,

2

t dt

x x u,

5;

J u 2x t 3u t u 2

min .

0

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

38

23														u,								x1			0 1,
									x1
			x		2				x x									2		,		x	2		0 0;
															1
			u t						1,							t 0;2 ,									J u x2				2 x	2	2 min .
																												1
24			x				x x										2		,		x		0 1,
				1										1								1		0 1;
							x2 u,														x2
			-1 u												t 2,						t				0;3 , J			u x 3				1	3u 2 t dt min .
													2
																													1			2
																																	0
25									x2 u1,													x1			0 0,
			x1
			x		2				x u									2		,		x	2		0 0;
															1													2 , t 0;4 ,
			u1 t									1, u2 t 2; 0;																				J u x1 4 x2 4 min .
26																																		4			u2 t x2 t 6x t sin2t dt min .
			x	u,										x 0 0;									u R, t 0; 4 , J u
																																			0
27			x	u,										x 0 1;									u t				2,	t 0;1 ,			J u			1	1		2 t dt min .
																																			x
																																	2		0
28							x									u		2		,		x		0 1,
			x												2
				1																			1		0 1;
						x					2			x ,								x	2
																1
			u t					1,								t 0,1 ,								J u x1 1 x2 1 min .
	29		x				x									u				,		x		0 1,
				1											2			2					1		0 1;
						x2 u1,																x2
			u		t						1,					i 1,2,						t 0,1 ,						J	u x2		1	min .
				i																									1
	30		x				x									u				,		x		0 0,
				1											2			2					1		0 0;
						x2 u1,																x2
			u		t						1,					i 1,2,						t 0,1 ,						J	u x2		1	min .
				i																									1

Вариационное исчисление. Практика Мережа В.Л., Ратобыльская Д.В.

39