Лекция 2.Производная сложной обратной функции
.pdfЛекция 2. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ И ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
1.Свойства производных, связанные с арифметическими операциями.
2.Производная обратной и сложной функции.
3.Производные и дифференциалы основных элементарных функций.
4.Таблица производных и дифференциалов.
1.Свойства производных, связанные с арифметическими операциями.
Теорема 1. Производная постоянной функции равна нулю:
(c)' = 0 .
► Постоянную можно рассматривать как функцию, принимающую одинаковые значения при всех значениях аргумента x : y =c x R .
Дадим аргументу x приращение ∆x , тогда y + ∆y = c , откуда
∆y =c −c = 0 .
Следовательно, по определению имеем
y′= lim |
∆y |
= lim |
0 |
= 0 . |
|
∆x |
∆x |
||||
∆x→0 |
∆x→0 |
|
Итак, y′=0 и dy = 0 . ◄
Пусть функции u =u(x) и v = v(x) дифференцируемы в точке x0 и некоторой ее окрестности. Тогда справедливы следующие
правила дифференцирования.
Теорема 2 (правило дифференцирования алгебраической суммы функций). Производная алгебраической суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна алгебраической сумме (разности) производных слагаемых:
(u ±v)' =u' ±v' .
► Рассмотрим функцию y =u(x)+v(x). Дадим фиксирован-
ному значению аргумента x приращение |
∆x . Тогда функции |
|
u =u(x) и v = v(x) |
получат приращения ∆u |
и ∆v , а функция y |
|
18 |
|
– приращение ∆y = ∆u + ∆v . По определению производной имеем:
y′= lim |
∆y |
= |
lim |
∆u +∆v = lim |
∆u |
+ lim |
∆v . |
|
∆x→0 |
∆x |
∆x→0 |
∆x |
∆x→0 |
∆x |
∆x→0 |
∆x |
|
Так как функции ∆u и ∆v дифференцируемы, то |
|
|||||||
|
lim |
∆u |
=u′, lim |
∆v =v′. |
|
|
||
|
∆x→0 |
∆x |
∆x→0 |
∆x |
|
|
|
Следовательно,
y =u +v y′=u′+v′.
Аналогично доказывается (u −v)' =u' −v' ◄
Следствия. 1. dy = du + dv .
2. Если функции u1 (x), u2 (x), ... , un (x) дифференцируемы, то их сумма также дифференцируема:
∑kn=1 uk (x) ' = ∑kn=1 uk′(x), d ∑kn=1 uk (x) ' = ∑kn=1 duk (x).
Теорема 3 (правило дифференцирования произведения функций). Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений производной первого сомножителя на второй и производной второго сомножителя на
первый:
(u v)'=u′v +v′u
► Рассмотрим функцию y =u(x)v(x). Когда аргументу x придают приращение ∆x , то функции u , v и y получают соответственно приращения ∆u , ∆v и ∆y , причем
∆y =(u +∆u)(v + ∆v)−uv =v∆u +u∆v +∆u∆v .
Составим отношение
∆∆yx = v ∆∆ux +u ∆∆vx + ∆∆ux ∆v .
В последнем равенстве приращения ∆u , ∆v и ∆y зависят от ∆x , а u и v не зависят от ∆x ( u , v – значения функции, соот-
19
ветствующие начальному значению аргумента x ). Используя теоремы о пределах функций, находим
lim |
∆y = v lim |
∆u |
+u lim |
∆v + lim |
∆u |
lim ∆v . |
|||
∆x→0 |
∆x |
∆x→0 |
∆x |
|
∆x→0 |
∆x |
∆x→0 |
∆x |
∆x→0 |
Согласно определению производной получим |
|
||||||||
|
lim |
∆y = y′, |
lim |
∆u =u′, |
lim |
∆v |
=v′, |
||
|
∆x→0 |
∆x |
∆x→0 |
∆x |
|
∆x→0 |
∆x |
|
в силу непрерывности функции v = v(x) имеем
lim ∆v = 0 .
∆x→0
Итак, окончательно:
y′=u′v +uv' .◄
Следствия. 1. dy =vdu +udv .
2. Если ui (x), i =1, n , – дифференцируемые в некоторой ок-
n
рестности точки x функции и y =∏ui (x), то
|
i=1 |
n |
n |
y′= ∑ui′(x)∏uk (x), |
|
i=1 |
k =1 |
|
i≠k |
n |
n |
dy = ∑dui (x)∏uk (x). |
|
i=1 |
k =1 |
|
i≠k |
3. Если u =u(x) дифференцируемая в точке x функция, то
c R
(cu)' =c u' .
4.Пусть функции u1 (x), u2 (x), ... , un (x) имеют производные
вточке x . Тогда линейная комбинация этих функций равна та-
кой же линейной комбинации соответствующих производных: y′=c1u1′(x)+c2u′2 (x)+... +cnun′(x).
Теорема 4 (правило дифференцирования частного функ-
ций). Производная частного двух дифференцируемых функций равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель представляет собой разность между
20
произведением знаменателя данной дроби на производную ее числителя и произведением числителя на производную знаменателя:
u |
' |
|
u'v −v'u |
|
|
||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
v2 |
|
|||||
v |
|
|
|
|
|
||||
► Рассмотрим функцию |
|
y = |
u |
, где u =u(x), v = v(x) |
– диф- |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
ференцируемые функции, |
v(x)≠ 0 . Придавая фиксированному |
аргументу x приращение ∆x , находим приращение функции y :
∆y = |
u + ∆u u v∆u −u∆v |
||||||||
|
|
|
− |
|
= |
|
|
. |
|
v + ∆v |
v |
v(v +∆v) |
|||||||
Составим отношение |
∆u |
|
∆v |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
∆y = |
v |
∆x |
−u ∆x |
. |
||||
|
|
|
|
||||||
|
∆x |
v(v +∆v) |
|||||||
Переходя к пределу при |
∆x →0 с учетом того, что |
lim ∆v = 0 (из дифференцируемости функции следует, что она |
|||||||||||
∆x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непрерывна), получим |
|
|
|
|
|
|
∆u |
|
|
∆v |
|
|
∆y |
|
|
v lim |
−u lim |
||||||
lim |
= |
|
∆x→0 |
∆x |
|
∆x→0 |
∆x |
. |
|||
∆x |
|
|
v lim |
(v +∆v) |
|
||||||
∆x→0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
∆x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y |
= |
|
u v −v u |
. ◄ |
|
|
|||
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
Следствие. dy = vdu −udv . v2
2. Производная обратной и сложной функции.
Теорема 5. Пусть функция y = f (x) монотонна на отрезке [a;b] и имеет во всех точках интервала (a;b) ненулевую производную y′= f ′(x). Тогда обратная функция x =ϕ(y) дифференцируема во всех точках интервала (f (a); f (b)) и для любого
21
y (f (a); f (b)) ее производная равна |
1 |
|
. |
|
|||
f '(x) |
[a;b] и |
||||||
|
|
|
|
||||
► Пусть функция |
|
y = f (x) монотонна на отрезке |
|||||
имеет производную y |
′ |
′ |
|
|
|
f (b)= β . |
|
|
= f (x)≠ 0 . И пусть f (a)=α , |
Тогда существует обратная функция x = f −1 (y)=ϕ(y), которая является непрерывной и монотонной на (α; β).
Дадим фиксированному значению аргумента y обратной функции x =ϕ(y) приращение ∆y . Этому приращению соответ-
ствует приращение обратной функции, причем в силу ее монотонности ∆x ≠ 0 . Найдем производную обратной функции. По определению
x′y =ϕ′(y)= lim |
∆x |
= lim |
1 |
= |
1 |
|
= |
1 |
|
. ◄ |
∆y |
∆y |
|
∆y |
f ′(x) |
||||||
∆y→0 |
∆x→0 |
|
lim |
|
|
|||||
|
|
|
∆x |
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x→0 |
|
|
|
|
||
Пусть y = f (u(x)) сложная функция. |
|
|
|
|
|
|
Теорема 6. Если функция u =u(x) имеет производную в точке x , а функция y = f (u) имеет производную в точке u =u(x), то сложная функция y = f (u(x)) имеет в точке x производную
и справедлива формула
y′= fu′(u) u′(x).
► Придадим фиксированному значению аргумента x приращение ∆x . Этому приращению соответствует приращение ∆u функции u(x). Приращению ∆u , в свою очередь, соответствует
приращение |
∆y функции |
y = f (u) |
в точке x . Составим отно- |
|||||||||
шение |
(u)− f (u0 ) |
|
|
(u)− f (u0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆y = |
f |
= |
f |
|
u −u0 |
, т.е. |
∆y |
= ∆f |
∆u . |
|||
|
|
|
|
|
∆x |
|||||||
∆x |
x − x0 |
u −u0 |
|
x − x0 |
∆u |
∆x |
||||||
При ∆x →0 приращения ∆u , ∆f |
|
в силу дифференцируемо- |
сти соответствующих функций стремятся к нулю. По определению производной
lim |
∆u |
=u′(x), |
lim |
∆f |
= fu′(u). |
∆x→0 |
∆x |
|
∆x→0 |
∆u |
|
|
|
22 |
|
|
|
Тогда
y′= fu′(u) u′(x) ◄.
Функция u называется промежуточным аргументом, а x – основным аргументом.
Замечание. Полученное правило распространяется на сложную функцию, зависящую от нескольких аргументов. Предположим, что функции y = f (u), u =u(v), v =v(t ), t =t(x) диффе-
ренцируемы. Рассмотрим сложную функцию F переменной x через посредство промежуточных функций f , u , v , t :
F (x)= f (u(v(t(x)))).
Придадим фиксированному значению x приращение ∆x . Тогда t получит приращение ∆t , v – приращение ∆v , u – приращение ∆u .
Запишем ∆∆yx в виде:
∆∆yx = ∆∆uy ∆∆uv ∆∆vt ∆∆xt .
Так как u , v , t дифференцируемы, поэтому и непрерывны, то в силу непрерывности при ∆x →0 приращения ∆u →0 , ∆v →0 и ∆t →0 . Переходя к пределам, имеем
F ′(x)= yu′ uv′ vt′ t′x .
Дифференциал сложной функции. Инвариантность фор-
мы дифференциала. Дифференциал в точке x есть произведение производной от функции f в точке x и дифференциала не-
зависимой переменной: |
′ |
(1) |
|
|
|
||
|
dy = f dx , |
||
где dx = ∆x . |
|
y = f (u), u =u(x). Тогда |
|
Пусть дана |
сложная функция |
||
y′= fu′(u)u′(x) |
и, следовательно, |
dy = fu′(u)u′(x)dx . Так |
как |
′ |
|
|
|
u (x)dx = du , то в случае сложной функции имеем |
|
||
|
|
′ |
(2) |
|
dy = f (u)du . |
Формулы (1) и (2) для дифференциала совпадают по форме записи, однако они имеют различный смысл: в первой из них
23
dx = ∆x , а во второй du =u′(x)dx .
Свойство инвариантности формы дифференциала: диф-
ференциал функции всегда равен произведению производной и дифференциала аргумента и не зависит от того, является ли величина, по которой взята производная, независимой переменной или же только промежуточным аргументом.
Из свойства инвариантности следует, что f ′(x0 )= |
dy |
, т.е. |
|
dx |
|||
|
|
производная функции в точке численно равна отношению дифференциалов функции dy и переменной dx независимо от того,
является ли функция y = f (x) функцией независимой переменной x либо сложной функцией.
3. Производные и дифференциалы основных элементарных функций.
1. Производная и дифференциал логарифмической функ-
ции. Пусть |
|
y =loga x , |
где a >0 , a ≠1. Придадим фиксирован- |
||||||||||||||||||||
ному значению x D(y) приращение ∆x . Тогда |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
∆y = loga (x + ∆x)−loga x = loga 1 + |
|
. |
|
||||||||||||||
Следовательно, по определению |
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
log |
a |
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y′= lim |
∆y |
= lim |
|
|
|
x |
= |
1 |
|
|
+ |
∆x ∆x |
= |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
loga lim 1 |
|
||||||||||||
∆x |
|
|
|
∆x |
|
|
x |
||||||||||||||||
|
|
|
∆x→0 |
∆x→0 |
|
|
|
|
|
|
∆x→0 |
|
x |
|
|||||||||
= |
|
1 |
loga e = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для сложной функции y = loga u(x) имеем |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
y′= |
|
loga e u′(x)= |
u (x) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u(x) |
u(x)ln a |
|
|
|
||||||||||||
Тогда |
дифференциал |
данной |
функции |
имеет вид |
|||||||||||||||||||
du = |
|
du(x) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x)ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В частном |
случае, |
|
при |
a = e |
логарифмическая |
функция |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ln u(x) имеет производную y′= uu′((xx)) и дифференциал
dy = duu((xx)).
2. Производная и дифференциал степенной функции. Пусть y =(u(x))α , α R . Рассмотрим вначале случай, когда u(x)>0 .
Если u(x)>0 , то ln y =α ln u(x). Продифференцируем получен-
ное равенство почленно по правилу дифференцирования сложной функции, считая y функцией от x :
|
|
|
|
|
|
(ln y)′ =(α ln u(x))′. |
|
|||||||
Отсюда |
′ |
|
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|||
|
y |
|
|
|
|
|
|
α−1 |
|
|||||
|
|
|
αu (x) |
|
′ |
|
αu (x) |
|
′ |
′ |
||||
|
y |
= |
u(x) |
|
y |
= y |
u(x) |
|
y |
=α(u(x)) |
||||
|
|
|
u (x). |
Пусть теперь u(x)< 0 . Представим функцию y =(u(x))α в виде (−1)α (v(x))α , где v(x)>0 . Тогда
y′=(−1)α α(v(x))α−1 v′(x)=α(u(x))α−1u′(x).
Тогда дифференциал равен dy =αu(x)α−1 du(x).
3. Производная и дифференциал показательной функции.
Пусть y = au(x ) , где 0 <a ≠1; u(x) – непрерывная функция. Тогда lny =u(x)lna. Дифференцируем левую и правую части полу-
ченного равенства по правилу дифференцирования сложной функции, считая y функцией от x :
yy′ = ln a u′(x).
Отсюда y |
′ |
|
′ |
′ |
= a |
u (x ) |
ln a u |
′ |
|
|
|
||
|
=u ln a u (x) или y |
|
|
|
(x). |
|
|
||||||
Тогда дифференциал равен dy = au(x ) ln a du(x). |
|
|
|||||||||||
В частном |
случае, если |
|
y = e |
u(x ) |
то |
y |
′ |
= e |
u(x ) ′ |
||||
|
|
|
|
u (x) и |
dy =eu(x )du(x).
4. Производные и дифференциалы тригонометрических функций. Пусть y =sin x . Дадим фиксированному значению x
25
приращение ∆x . Тогда
|
|
∆y =sin(x +∆x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
−sin x = 2sin |
2 cos x + |
2 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Согласно определению, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∆y |
|
|
sin |
|
|
|
cos x + |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
y′= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim cos x + |
|
|
|
= cos x . |
|
||||||||||||
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
∆x→0 |
∆x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда дифференциал равен dy = cos xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Для сложной функции |
y =sin u(x) |
имеем |
y |
′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
и |
||||||||||||||||||||||||||
|
=u (x)cosu(x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференциал du = cosu(x)du(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = cosu(x) имеет |
|||||||||||||||||||||||||||||
Аналогично |
доказывается, |
|
что функция |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
производную |
|
|
|
y |
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
дифференциал |
|||||||||||||
|
|
|
|
= −u (x)sin u(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
du = −sin u(x)du(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пусть |
y = tg x . Так как |
tg x |
= |
sin x |
, то для нахождения про- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
cos x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
изводной функции |
|
y = tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
воспользуемся правилом дифферен- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
цирования частного. Если cos x ≠ 0 , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
sin x |
′ |
|
|
(sin x)′cos x −(cos x)′sin x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
y′=(tg x) |
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
cos2 x +sin 2 x |
= |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда дифференциал равен |
dy = |
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для сложной функции |
|
y = tg u(x) |
имеем |
|
y′= |
|
u (x) |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos2 u(x) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференциал dy = |
|
|
du(x) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
cos2 u(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ctgu(x) имеет |
||||||||||||||||||||||||||
Аналогично |
доказывается, |
|
что функция |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du(x) |
|
|||||||
производную y′= |
|
−u (x) |
и дифференциал dy = − |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin 2 u(x) |
sin2 u(x) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Производные и дифференциалы обратных тригономет-
рических функций. Пусть y = arcsin x . Найдем производную этой функции. Рассмотрим обратную функцию x =sin y . В ин-
|
− |
π |
; |
π |
|
тервале |
2 |
2 |
она монотонна, ее производная x′y =cos y не |
||
|
|
|
|
обращается в нуль. Следовательно, используя соотношения между производными взаимно обратных функций, имеем
y′x = |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
x′y |
= cos y |
= |
1 −sin 2 y |
= |
1 − x2 |
(перед квадратным корнем выбран знак «+», так как на ин-
|
π |
; |
π |
|
|
|
тервале − |
2 |
cos y > 0 ). |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Тогда дифференциал равен dy = dx . |
|
|||||
|
|
|
|
1− x2 |
|
|
Для сложной функции y = arcsinu(x) |
′ |
и |
||||
имеем y′x = u (x) |
||||||
дифференциал dy = du(x) |
|
1 −u 2 (x) |
|
|||
. |
|
|
||||
|
|
|
1 −u 2 (x) |
|
|
|
Аналогично доказывается, y =arccosu(x) равна y′x = −
dy = − du(x) |
. |
1 −u 2 (x) |
|
что |
производная функции |
′ |
, дифференциал есть |
u (x) |
|
1 −u 2 (x) |
|
Пусть |
y =arctg x . |
Множество возможных значений |
этой |
||||||
функции |
|
π |
; |
π |
существует |
||||
E(y)= − |
2 |
. Для функции y =arctg x |
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
обратная функция |
x = tg y , причем ее производная |
x′y = |
|
1 |
|
||||
cos2 y |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
не обращается в нуль. Используя соотношения между производными взаимно обратных функций, имеем
27
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||
y′x = |
|
= |
|
|
=cos |
|
y |
= |
|
= |
|
|
. |
|
|
|||
x′y |
(tg y)′ |
|
1+ tg2 y |
1 + x2 |
|
|||||||||||||
Тогда дифференциал равен dy = |
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
+ x2 |
|
|
|
′ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для сложной функции |
y =arctg u(x) имеем |
y′= |
|
u (x) |
и |
|||||||||||||
1 +u2 (x) |
|
|||||||||||||||||
дифференциал dy = |
|
du(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 +u 2 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично доказывается, что функция |
y = arcctgu(x) имеет |
|||||
|
′ |
|
|
du(x) |
||
производную y′= − |
u (x) |
и дифференциал dy = − |
||||
|
|
|
. |
|||
1 +u2 (x) |
1 +u 2 (x) |
6. Производные и дифференциалы гиперболических функ-
ций. Для функции y =sh x имеем |
|
|
|
|
|
||||||
′ |
ex −e−x ′ |
|
1 |
x ′ |
|
1 |
−x ′ |
ex −e−x |
|
||
(sh x) |
|
|
|
= |
|
(e ) |
− |
|
(e ) = |
|
= ch x . |
= |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда дифференциал равен dy =ch xdx .
Аналогично, находим производные и дифференциалы остальных гиперболических функций:
y = ch x y′=sh x dy =sh xdx , y = th x y′= ch12 x dy = ch12 x dx ,
y = cth x y′= −sh12 x dy = −sh12 x dx.
4.Таблица производных и дифференциалов.
Основные правила дифференцирования функций:
1.(cu)= cu′.
2.(u +v)'=u′+v′.
3.(uv)'=u′v +v′u .
4.u ' = u′v −v′u .v v2
28
5. |
(f (u(x)))'= fu′(u)u′(x). |
|||
|
|
1 |
|
|
6. |
y = f (x) |
x =ϕ(y) y′x = |
|
. |
x′y |
В таблице 1 приведены формулы дифференцирования основных элементарных функций.
Функция
y = c
y =uα
α R
y = au
y = eu
y =loga u
y = ln u
y =sin u y = cosu
y = tg u
y =ctg u
y =sh u
y = ch u
y = th u
y = cth u
y = arcsin u
Таблица 1
Производная
y′=0
y′=αuα−1u′
y′=αu ln a u′ y′=euu′
y′= u lnu′a y′= uu′
y′=cosu u′ y′= −sin u u′
y′= cosu′2 u y′= −sinu2′ u y'= ch u u' y'=sh u u' y'= chu2' u
y' = − |
u' |
|
||
sh2 u |
||||
|
||||
y′= |
u |
′ |
||
|
|
|||
|
1 −u 2 |
29
|
|
|
|
|
|
y =arccosu |
y′= − |
u′ |
|||
|
|||||
|
|
|
1 −u 2 |
||
y =arctgu |
y′= |
|
u′ |
||
|
1+u 2 |
|
|
||
y = arcctg u |
y′= − |
u′ |
|||
|
1 +u 2 |
|
Приведенные выше правила и формулы дифференцирования функций составляют основу дифференциального исчисления. Используя их, можно найти производную и дифференциал любой элементарной функции.
Вопросы для самоконтроля
1.Сформулируйте правила нахождения производной постоянной функции, производной суммы и разности функций, производной произведения функций, производной частного функций.
2.Сформулируйте правило нахождения обратной функции.
3.Как находится производная сложной функции.
4.В чем заключается инвариантность первого дифференциа-
ла?
30