3. Свойства действий над векторами

1. A + B = B + A

2. A+(B+ C)=(A + B) + C

3.*(* A)=(* )*A , ,  - числа.

4. (+)*A=(* A)+(*A)

5.*( A + B)=(*A)+(*B)

4. Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве задана ось “l” и задан вектор АВ

Через точки А и В проведены плоскости перпендикулярные оси “l”.

Эти плоскости пересекают нашу ось в точках А₁ и В₁.

Определение: Проекцией вектора АВ на ось “l” называют величину направленного отрезка А₁В₁. Если направление вектора А₁В₁ совпадает с направлением оси “l” то проекция вектора - есть

длина отрезка А₁В₁ .

B Если A₁B₁ l, то проекция - величина

- A₁B₁

A l

A₁B₁ , если l A₁B₁

B1 Пр _l AB =

A1 - A₁B₁ , если l A₁B₁

5. Координаты точки на числовой оси, на плоскости и в пространстве

Определение: Числовой осью называют прямую, на которой указано положительное направление, начало отсчета и масштаб. Координатой точки на оси называют проекцию радиус-вектора данной точки на ось.

x

X , M(x), x = Пр_X OM

0 1 M

Определение: Прямоугольной декартовой системой называют две взаимно перпендикулярные оси, которые имеют общее начало отсчета и масштаб.

Y

y M(x,y) x = Пр_XOM

X y = Пр_YOM

O x

Определение: Прямоугольной декартовой системой в пространстве называются три взаимно перпендикулярные оси с общим началом отсчета и масштабом.

Z

Z x = Пр_XOM

M(x,y,z) y = Пр_YOM

O y Y z = Пр_ZOM

x M₁

X

6. Теоремы о проекции вектора на ось

Теорема 1: Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и числовой осью.

Пр_lAB = AB * cos ,  = ( AB, l )

Доказательство: рассмотрим 2 случая:

1)B A₁B₁ l , cos = AC / AB

A  C

l AC = AB *cos,

A₁ B₁ A₁B₁ = AB * cos

Пр_lAB = AB * cos

Что и требовалось доказать.

2)B  A₁B₁ l

C

A l AC = AB * cos ( 180⁰-)

B₁ A₁

A₁B₁ = - AB * cos 

- A₁B₁ = AB * cos  , т.о. Пр_lAB = AB * cos

Что и требовалось доказать.

Теорема 2: Проекция вектора на числовую ось равна разности координат начала и конца вектора.

A(X_A,Y_A,Z_A) , B(X_B,Y_B,Z_B), Пр_XAB = X_B - X_A , Пр_YAB = Y_B - Y_A Пр_ZAB = Z_B - Z_A ,

Доказательство:

A₁B₁ = OA₁ + OB₁ , OA₁ = X_A ; OB₁ = - X_B

B

C A₁B₁ = X_A – X_B , - A₁B₁ = X_B – X_A

A l

B₁ О A₁ Пр_XAB = X_B - X_A

Что и требовалось доказать.

Теорема 3: Проекция суммы двух векторов на числовую ось равна сумме проекций этих векторов на данную ось.

Пр_l(a + b) = Пр_l a + Пр_l b

Доказательство:

A2 Поскольку длина A₁^’ A₃^’ = A₁^’ A₃^’ + A₁^’ A₃^’ ,

a b

A3 то Пр_l A₁A₃ = Пр_l A₁A₂ + Пр_l A₂A₃ ,

A1

a + b l то есть Пр_l(a + b) = Пр_l a + Пр_l b ,

A₁^’ A₂^’ A₃^’

что и требовалось доказать.

Теорема4: При умножении вектора на число его проекция также умножается на это число (отличное от нуля):

Пр_l (*  ) = * Пр_l 

Доказательство:

*  (>0)

 = (  , l )



 l ₁ = (*  , l ), если  <0

₁

*  (<0)

1) >0, Пр_l (*  ) = *  * cos =  *  * cos = *  *cos =

= * Пр_l 

2)<0, Пр_l (*  ) = *  *cos(180⁰-)= - * * cos = -  *  *cos =

= * Пр_l  ,

что и требовалось доказать.

Если в пространстве задан вектор , то для него вводят координаты (_x, _y, _z) , _x = Пр_x  , _y = Пр_y  , _z = Пр_z  .

Следствия из теорем:

1) = (_x, _y, _z) ,

b = (b_x, b_y, b_z) ,   b = (_x b_x, _y b_y, _z b_z)

2) *  = (*_x, *_y, *_z)

3) Условие коллинеарности векторов:

 b = _x / b_x = _y / b_y = _z / b_z