1. Основные пакеты, операторы и функции системы аналитических вычислений maple
В настоящем разделе описаны возможности системы для решения задач из различных разделов математики: математического анализа, алгебры, геометрии, теории функций и других. Дано краткое описание пакетов и приведены примеры использования функций для решения различных задач: построения графиков функций, вычисления пределов, производных и интегралов, операций с рядами, решения уравнений, неравенств и их систем, анализ функций, решение дифференциальных уравнений, операции с векторами и матрицами и преобразование комплексных чисел и выражений. Эти примеры взяты из известных задачников для различных разделов математики с тем, чтобы пользователь мог проконтролировать правильность решения задачи с использованием функции системы Maple.
1.1. Пакеты функций
Основой для работы с символьными преобразованиями в Mapleявляется ядро системы. Оно содержит сотни базовых функций и алгоритмов символьных преобразований. Объем ядра достигает 6–7 Мбайт. Имеется также основная библиотека операторов, команд и функций. Многие встроенные в нее функции, как и функции ядра, могут использоваться без какого-либо объявления, другие нуждаются в объявлении. Множество функций, в том числе применяемых довольно редко и в вычислениях специальных видов, реализовано в проблемно-ориентированных, подключаемых пакетах расширения (packages). Подключение пакета осуществляется с помощью команды:with(название пакета).
Описание наиболее часто употребляемых пакетов начнем с пакета двумерной и трехмерной графики plots. Пакет plots содержит полсотни графических функций, существенно расширяющих возможности построения двумерных и трехмерных графиков. Среди этих функций следует отметить средства построения ряда новых типов (в виде линий уровня, векторных полей и других), а также средства объединения нескольких графиков в одном. Особый интерес, при рассмотрении задач динамики систем, представляют функции, обеспечивающие анимацию как двумерных так и одномерных графиков.
Ниже приведено обращение к пакету графики и перечень функций включенных в этот пакет.
> restart:
> with(plots);
Уникальной возможностью системы Mapleявляется возможность решения задач линейной алгебры в символьном виде.
Реализованы также численные методы решения задач линейной алгебры, которые широко используются в основных сферах ее приложения — математическом моделировании, динамике систем, теории управления и других. Пакет решения задач линейной алгебры linalgодин из самых обширных и мощных пакетов в этой области. Для просмотра функций содержащихся в этом пакете достаточно использовать команду:
> with(linalg);
В новых реализациях системы была сделана ставка на использование быстрых алгоритмов линейной алгебры. Их применение обеспечивает эффективное использование систем символьной математики в решении задач, сводящихся к задачам линейной алгебры. Указанные программные средства реализованы в пакете LinearAlgebra. Для загрузки этого пакета используется команда:
> with(LinearAlgebra);
Пакет CurveFittingосуществляет процедуру приближения кривых. Он содержит ряд функций:
with(CurveFitting);
К числу этих функций относятся: функция для вычисления В-сплайновых кривых, полиномиальная и сплайновая аппроксимация, метод наименьших квадратов, функции рациональной аппроксимации и аппроксимации непрерывными дробями, аппроксимация рядом Тейлора и полиномиальная, полиномами Чебышева и аппроксимация Чебышева-Паде.
Для расширенной поддержки интегральных преобразований служит пакет inttrans. Этот пакет вызывается командой:
with(inttrans);
и содержит набор функций, охватывающий такие практически важные области математики, как ряды Фурье, прямые и обратные преобразования Фурье, Лапласа и Гильберта, интегральные преобразования Ханкеля и Меллина.
Пакет student— один из пакетов наиболее привлекательный для студентов и аспирантов. В нем собраны наиболее распространенные и нужные функции, используемые в своей практической работе этой категорией пользователей.
with(student);
Ортогональные полиномы находят самое широкое применение в различных математических расчетах при составлении алгоритмов интерполяции, экстраполяции различных функциональных зависимостей, где свойство ортогональности обеспечивает высокую оценку погрешности. В пакете orthopolyсодержатся следующие ортогональные полиномы: Гегенбауэра, Эрмита, Лагера, Лежандра, Якоби и Чебышева. Пакет вызывается командой:
> with(orthopoly);
Пакет VectorCalculusоткрывает доступ ко многим командам и функциям векторного анализа, теории поля и приложений дифференциального исчисления. Этот пакет ориентирован в первую очередь на решение задач математической физики, использующих методы теории поля и приложения дифференциального исчисления. Вызов этого пакета осуществляется командой:
with(VectorCalculus);
Следует отметить, что данный пакет после загрузки видоизменяет многие операторы, команды и функции, встроенные в ядро системы. Поэтому пользоваться пакетом надо с известной степенью осторожности. Для восстановления роли функций можно использовать команду restart.
Для выполнения ряда специальных операций с полиномами или создания полиномов с заданными свойствами служит пакет PolynomialTools. Этот пакет имеет небольшое число функций:
with(PolynomialTools);
В пакет входят функции расщепления, сортировки и преобразования полиномов и другие.
Решение дифференциальных уравнений самых различных типов — одно из достоинств системы аналитических вычислений Maple. ПакетDEtoolsпредоставляет ряд полезных функций для решения дифференциальных уравнений и систем уравнений:
with(DEtools);
Этот пакет дает самые изысканные средства для аналитического и численного решения дифференциальных уравнений и их систем. Для решения дифференциальных уравнений с частными производными и его визуализации служит специальный инструментальный пакет PDEtools:
with(PDEtools);
Большое количество физических констант, используемых в расчетах, задаются с использованием следующего пакета:
with(ScientificConstants);
> GetConstant(g);
> g:=evalf(Constant(g,units));
В настоящем разделе приведена лишь незначительная часть пакетов прикладных программ используемых для решения задач указанного выше класса. Информацию о других пакетах можно получить в справочнике системы Maple, а также в многочисленной литературе, посвященной описанию данной системы.