§3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 8. Функция (x) называется бесконечно малой при xх₀, если .

Пусть (х) и (х) – две бесконечно малые функции при xx₀. Тогда:

1) если = 0, то(x) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем (x);

2) если  0 (А  число), то (x) и (x) называются бесконечно малыми одного порядка;

3) если , то(x) и (x) называются эквивалентными бесконечно малыми ((x)~(x) при xx₀)

Определение 9. Функция f(x) называется бесконечно большой при хx0, если для любого М>0 найдется такое >0, что для любых х (x  x0), удовлетворяющих условию , следует. При этом пишут.

Выражения + и  означают соответственно, что f(x) > M и f(x) < M при ,x  x0.

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций при xx₀ есть бесконечно малая функция.

2. Произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную (постоянную) есть бесконечно малая функция.

3. Величина , обратная бесконечно малой функции(x), есть функция бесконечно большая и наоборот, величина , обратная бесконечно большой функцииf(x), есть функция бесконечно малая.

Пример 5. Вычислить .

Решение. Первые три слагаемых при x неограниченно возрастают, поэтому Следствие 3 Теоремы 1 применить нельзя. Вынесем x³ за скобку. Тогда с учетом определений бесконечно малой и бесконечно большой функций получим

=.

В данном случае функция x³ бесконечно большая при x и , а функции бесконечно малые и их пределы равны нулю при x.

Пример 6. Вычислить .

Решение. При x знаменатель 3x-1 является бесконечно большой функцией, а величина ей обратная 1/(3x  1) есть бесконечно малая функция. Тогда, согласно Свойству 2 бесконечно малых функций, функция 2/(3x  1) также является бесконечно малой и, следовательно, ее предел при x равен нулю, т.е. .

Пример 7. Вычислить .

Решение. При x2 знаменатель x²  4 является бесконечно малой функцией. Тогда величина, обратная бесконечно малой, есть бесконечно большая функция и, следовательно, ее предел ра вен бесконечности, т.е. .

Вычислить пределы

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

41. 42.

§4. Устранение неопределенностей вида и

Пример 8. Вычислить .

Решение. Выражения, стоящие в числителе и знаменателе дроби, при x3 обращаются в нуль, т.е. имеет место неопределенность вида . ПоэтомуТеорему 1 (о пределе частного) непосредственно применить нельзя.

Для устранения неопределенности вида необходимо разложить числитель и знаменатель дроби на множители и сократить общий множитель, стремящийся к нулю.

= ==.

Пример 9. Вычислить

Решение. Имеем неопределенность вида . Для ее устранения умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю и воспользуемся формулой разности квадратов.

Тогда

===

=== 6.

Пример 10. Вычислить .

Решение. При x выражение под знаком предела представляет собой отношение двух бесконечно больших функций, т.е. имеем неопределенность

Для устранения неопределенности вида необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на старшую степень аргумента x и воспользоваться Теоремой 1.

В нашем примере делим числитель и знаменатель на х³.

==.

Пример 11. Вычислить .

Решение. При x функция, стоящая под знаком предела, представляет собой разность двух бесконечно больших величин, т.е. имеет место неопределенность вида (  ). Умножив и разделив функцию на сопряженное выражение , приведем данную неопределенность к неопределенности вида, которую устраним воспользовавшись уже известным правилом.

==

= =.

Вычислить пределы

43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

61. 62.

63. 64.

65. 66.

67. 68.

69. 70.

71. 72.

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.

81. 82.

83. 84.

85. 86.

87. 88.

89. 90.

91. 92.