45. Определение вычета в конечной точке комплексной плоскости и в бесконечно удаленной. Вычисление вычетов.

Пусть точка является изолированной особой точкой однозначной аналитической функцииf(z). Согласно предыдующим рассмотрениям в окрестности этой точки функция f(z) может быть единственным образом разложена в ряд Лорана: (1), где(2) , и в частности(3)

Вычетом аналитической функции f(z) в изолированной особой точке называется комплексное число, равное значению интегралавзятому в положительном направлении по любому лежащему в области аналитичности функцииf(z) замкнутому контуру , содержащему единственную особую точкуфункцииf(z).

Для вычисления вычета может быть применена формула:

Однако в ряде случаев может быть указан более простой способ вычисления вычета.

1. Пусть точка является полюсом первого порядка функцииf(z). Тогда в окрестности этой точки имеет место разложение:

Умножив обе части на и перейдя к пределу приполучим:. Заметим, что в данном случае функцияf(z) в окрестности точки может быть записана в виде отношений двух аналитических функций:, причем≠0, а точкаявляется нулем первого порядка функции, т.е.

Тогда формула вычисления вычета в полюсе первого порядка:

2) Пусть точка является полюсом порядкаm функции f(z). Согласно предущему в окрестности этой точки имеет место разложение:

Умножим обе части на получим:

Возьмем производную порядка (m-1) от обеих частей этого равенства и перейдя к пределу при получим: :

3) Пусть точка z=∞ является изолированной особой точкой аналитической функции f(z).

Вычетом аналитической функции f(z) в точке z=∞ называется комплексное число, равное значению интеграла , где С-произвольный контур, вне которого функцияf(z) является аналитической и не имеет общих особых точек, отличных от ∞. Очевидно в силу определения коэффициентов ряда Лорана имеет место формула:

46. Основная теорема теории вычетов

Пусть функция f(z) является аналитической всюду в замкнутой области β, за исключением конечного числа изолированных особых точек лежащих внутри области β.

Тогда , гдепредставляет собой полную границу области β, проходимую в положительном направлении.

Доказательство:

Выделим каждую из особых точек функцииf(z) замкнутым контуром , не содержащим внутри других особых точек кроме точкиРассмотрим многосвязную область, ограниченную контуром Г и всеми контурами. Внутри этой области функцияf(z) является всюду аналитической. Поэтому по теореме коши получим :

Большое практическое значение этой формулы заключается в том, что во многих случаях оказывается гораздо проще вычислить вычеты функции f(z) в особых точках, лежащих внутри области интегрирования, чем непосредственно вычислять интеграл, стоящий в левой части.

______________________________________________________________

47 Теорема о сумме вычетов в расширенной комплексной плоскости

Пусть функция f(z) является аналитической на некоторой расширенной комплексной плоскости за исключением конечного числа особых точек с включение точки. Тогда:

Доказательство: Действительно, рассмотрим замкнутый контур С, содержащий внутри все (n-1) особые точки расположенные на конечном расстоянии от точкиz=0. По основной теореме вычетов: .Но в силу:

Интеграл стоящий слева, равен вычету функции в точке z=∞, взятому с обратным знаком, откуда и получим теорему о сумме вычетов в комплексной плоскости.

Доказанная теорема иногда позволяет упростить вычисления интеграла от функции комплексной переменной по замкнутому контуру. Пусть функция f(z) является однозначной аналитической на всей комплексной плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек, и требуется вычислить интеграл от f(z) по некоторому замкнутому контуру Г. Если внутри Г сожержиться много особых точек функции f(z), то вычисление может быть весьма трудоемким. При этом может оказаться что, вне Гf(z) имеет лишь несколько особых точек , значения вычетов в которых, а также вычет в бесконечно удаленной точке определяется достаточно просто. Тогда удобно вместо прямого вычисления искомого интеграла воспользоваться следствием:

______________________________________________________________