MMATAN01

2)

−5 = 5(cos π + i sin π) = 5 eiπ = 5 e(2k+1)πi,

6

,

3)

−√3 + i = 2

cos 56

+ i sin 6

= 2 e 6

= 2 e

π

5π

5π i

5π + 2kπ i

4)

2i = 2

cos 2

+ i sin 2

= 2 e

2

= e

2

i

,

π

π

π i

π + 2kπ

√

√

2

π

i

5)

2 − i

2 = 2

cos

−

π

+ i sin

−

=

4

4

π

= 2 e− 4

= 2 e − 4

+

,

π

π

kπ

i

6) 4 cos

π− i

3i

−

− 3

3

2kπ

3

e

=

π

sin

π

= 4

cos

π

+ i sin

π

= 4

−

3 i

= 4 e − 3 +

.

Вычислить, используя показательную форму комплексного чис-

ла:

√2 e 4 i

= 25 e

2 i = 32 e 2 + 2π i

= 32 e 2 i

= 32i.

8. (1 + i)10 =

10

π

5π

π

π

π

6

π

6

9. (√

+ i)6 + (√

− i)6 = 2 e 6 i

+ 2 e− 6 i

= 26( eπi + e−πi) =

3

3

= 26(−1 + (−1)) = −27.

10. ((1 + i√

3)(1 − i))20 = 2 e π3 i · √

e−π4 i 20

= 2√

e

π

i 20

12

=

2

2

= 230 e 3

= 230

cos

+ i sin

= 230

#

− i

$ =

3

3

2

2

29

√

√

5π i

5π

5π

1

3

= 2

(1 − i

3).

π

20

1

e

√

e 12

11.

3

=

=

= 210 e

3

=

2

1

i

π i

#

$

#

$

+ i√

20

2

3 i

i

7π i

20

π

35π i

+ 12π i

π

−

2 e−

= 210

cos 3 − i sin 3

=

= 210 e − 3

= 210 e− 3

π

π

= 210

#2

√

$ = 29(1 − i√3).

− i 2

1

3

121

Вычислить все значения корней:

12.Для вычисления первых двух корней используем показательную с периодом форму комплексного числа.

√

1) 4 1 =? Представим подкоренное выражение в показательной форме с периодом: 1 = e2kπi. Тогда все значения корней вычисляются по формуле

√4

2kπi

kπi

4

2

1 = e

= e

,

zk =

где k = 0, 1, 2, 3. Имеем

z0 = e0 = 1,

π

π

π

z1 = e 2 i

= cos

+ i sin

= i,

2

2

z2 = eπi = cos π + i sin π = −1,

3π i

3π

3π

z3 = e 2

= cos

+ i sin

= −i.

2

2

√3

2)

2 − 2i =? Как и в предыдущем случае, получаем

− 4

2 − 2i = √4 + 4

cos

− 4

+ i sin − 4

= 2√2 e

,

π

π

2kπ

π

i

zk = √3

= √

e 2kπ3 −

π

i ,

12

k = 0, 1, 2.

2 − 2i

2

Вычисляем значения корней

√

−

π

i √

π

π

12

z0 =

2 e

2π

π

i

7π

7π

7π i

3

=

2

cos

12

− i sin 12

,

,

z1 = √2 e

− 12

= √2 e 12

=

√2

cos 12 + i sin 12

z2 = √2 e

3

− 12

i

=

√2 e

4

= √2

cos

4 + i sin

4

= −1 − i.

4π

π

5π i

5π

5π

122

√

3) 3 + 4i =? Будем искать значения этих корней в виде x + iy, где x и y подлежат определению.

√

3 + 4i = x + iy, 3 + 4i = x2 − y2 + 2xyi,

			x2 − y2 = 3,	x = ±2,
	√		xy = 2,	y = ±1.
Ответ:			= ±(2 + i).
		3 + 4i

13. Найти действительную и мнимую части:

1). (1 + 2i)2 = −3 + 4i, Re (1 + 2i)2 = −3, Im (1 + 2i)2 = 4. 2). eiϕ(3 + 5i) = (cos ϕ + i sin ϕ)(3 + 5i) =

= 3 cos ϕ − 5 sin ϕ + i(5 cos ϕ + 3 sin ϕ), Re ( eiϕ(3 + 5i)) = 3 cos ϕ − 5 sin ϕ,

Im ( eiϕ(3 + 5i)) = 5 cos ϕ + 3 sin ϕ.

Задачи для самостоятельного решения

Выполнить действия:

1.	(3 + 4i) + (−5 + 3i).
	√		√		√
3.	(	3	− i)(	2	+ i	3).

√

−2 + i

5.√ .

1 + 3i 2

2. (2 + 4i) − (5 + i).

4. (2 + 3i)(4 − 5i) + (2 − 3i)(4 + 5i).

6. 3 + i .

(2 + i)3

Представить в тригонометрической, показательной и показательной с периодом формах:

7.	1.	8.	i.	9.	−1.	10.	−i.
11.	1 + i.	12.	1 − i.	13.	−1 + i.	14.	−1 − i.

123

Вычислить, используя показательную форму комплексного чис-

ла:

15. (1 − i) .																																									16. (−1 + i																			3) + (−1 − i 3) .
								10																																																	√					5																		√						5
17. ((2 + 2i)(																3 + i)) .																									18.			√3 + i																		.
												√											10																								2 + 2i															10
	Найти все значения корней:
	√3																						√6																						√3																												√
19.		i.													20.											−8.															21.						−2 + 2i.																				22.									1 − i.
Ответы																																																																															√
																																																																																							7
																																√									√										√																									5						2			+
1. −2 + 7i. 2. −2 + 5i. 3. 6 + 3 + (3 −																																																								2)i.						4.					46. 5.																							i.
																																																																															19								19
	125 −							π																																	π																											3π
6.	17						31						i. 7.							2kπi																			π2 + 2kπ					i									(π+2kπ)i																									−π2						+ 2kπ							i
							125												e				i		.		8. e																		. 9. e																						. 10.							e																		.
11.					e						3π				+ 2kπ.
	√		2					4 +							2kπ i							12.							√				2 e							− 4 + 2kπ i									.			13.							√				2 e						4 + 2kπ i																.
14.	√2 e −										4													.				√15. −32i.															16. −32√.																	17.√							2			√(√3									√+ i).
							√																																1																													34																					√
																																3																							6									2									6								2
18.	16(− 3+i).																		19. ±															+							i, −i.				20.													±									i,							±										i, ±i							2.
																													2											2												2										2										2							2
									√																√																		√					√																			√																			√
	1 + i,											2			(−																																					2		(
21.																			2 +										3 + i												2 −			3),															2			−							3 − i										2 +								3).
											2																																						2
				√									√																	√
						2	(
22.	±																2 − 1 − i																		2 − 1).
				2

124

Кошелев Виктор Николаевич Лисин Борис Всеволодович

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. ОСНОВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Учебное пособие

Формат 60х84 1/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 7,2. Уч.-изд. 6,4.

Заказ N◦ . Тираж 200 экз.

Издательство Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского.

603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23

Отпечатано в типографии Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского

603000, г. Нижний Новгород, ул. Б. Покровская, 37