MMATAN01

9.График функции y = [x] (целая часть числа x) представлен на рисунке 2.2.

10.Легко видеть, что образ множества E = [−1, 2] при отображении f (x) = x2 равен

f (E) = [0, 4].

11.Функция y = ctg πx4 убывает на каждом интервале (4k, 4(k + 1)), где k Z. Поэтому если x [−1, 0), то она убывает от значения −1 до −∞. Если же x (0, 1], то она убывает от +∞ до значения 1. Но тогда при данном отображении множество

E = [−1, 0) (0, 1]

переходит в множество

f (E) = (−∞, −1] [1, +∞).

12. По определению целой части действительного числа
[0, 9] = 0, [0, 99] = 0,	[0, 999] = 0,	[1] =	1.
Но тогда для функции f (x) = 1	+ [x] имеем
f (0, 9) = f (0, 99) = f (0, 999) = 1,		f (1) = 2.

13.Используя значения функции f (−2) = 0, f (0) = 1, f (1) = 5, получаем систему уравнений для нахождения коэффициентов a,

b, c

4a − 2b + c = 0

c = 1 .

a + b + c = 5

Решая ее, находим {a = 76 , b = 176 , c = 1} и

f (x) = 76 x2 + 176 x + 1.

71

После простых вычислений имеем

· 4

· 2 + 1 = 24 .

f (−1) = 6 −

6

+ 1 = −

3 ,

f 2 =

6

+

6

7

17

2

1

7

1

17

1

65

14. Разложением на множители получаем

f (x + y) + f1

−

1

+ a−

−

+ a

−

+ a−

=

2 a

x+y

y

y

x+y

(x

y) =

x

x

ax

+−a−x

+ a−y

1

2

−

ay

=

ax

ay + a

y

+ a x

ay

+ a−y

=

=

ay + a−y ax + a−x = 2

·

= 2f (x)f (y).

2

2

2

15. Если ϕ(x) = sign x и ψ(x) =

1

, то

x

ϕ[ϕ(x)] = sign (sign x) = sign x,

ψ[ψ(x)] = x, x = 0,

ϕ[ψ(x)] = sign

1

= sign x,

x = 0,

x

ψ[ϕ(x)] =

1

= sign x,

x = 0.

sign x

−x2

при x > 0, то

16. Если

x

при x > 0

и

ϕ(x) =

0

при x ≤

0,

ψ(x) =

0

при x ≤

0,

ϕ[ϕ(x)] =

0

при x ≤ 0, = ϕ(x),

x

при x > 0

ψ[ψ(x)] = 0,

ϕ[ψ(x)] = 0,

0при x ≤ 0,

	ψ[ϕ(x)] = −x2 при x > 0	= ψ(x).
17.	По индукции получаем для функции f (x) =		√	x
				1 + x2

f1	(x) = f (x) =	√	x		,
			1 + x	2

72

√

x

x

f2(x) = f (f1(x)) =

1 + x2

=

√

,

2

2

1 + 1 + x2

x

1 + 2x

√

x

x

f3(x) = f (f2(x)) =

1 + 2x2

=

√

,

2

2

1 + 1 + 2x2

1 + 3x

x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

fn(x) = f (fn−1

(x)) =

√

x

.

2

1 + nx

18. После замены

x

= t

получаем x =

t

. Следовательно,

2

x + 1

1 − t

f (t) =

1 − t или

t

f (x) =

1 − x

.

x

2

Задачи для самостоятельного решения

Найти область определения E следующих функций действительного переменного:

1.	y = (x −				2)				1 + x
											.
									1 − x
		√
3.	y =			x		.
		sin πx
	√
5.							2	πx.
	y = x sin

2.a) y = lg(x2 − 4);

б) y = lg(x + 2) + lg(x − 2).

4. y = lg[cos(lg x)].

√

6. y = 4 ln tg x.

7.Найти область определения E и множество значений f (E) следующей функции действительного переменного

y = 2 + x − x2.

73

Найти образ f (E) множества E при отображении, заданном функцией действительного переменного:

8.	f (x) = lg x,	E = (100, 1000).
9.	f (x) = |x|,	E = [−2, −1] "[1, 2].

10.Найти f (0), f (1), f (3), f (4), если f (x) = x4 − 6x3 + 11x2 − 6x.

11.Найти f (−1), f (−0,001), f (100), если f (x) = lg x2.

12.Найти f (−2), f (−1), f (0), f (1), f (2), если

2x	при 0−< x < + .
f (x) = 1 + x	при	∞ < x ≤ 0,
		∞

	1			1
13.	Найти f (0), f (−x), f (x + 1), f (x) + 1, f		,		, если f (x) =
		x		f (x)

1− x .

1+ x

14.Пусть f (x) = ax2 + bx + c. Доказать, что

f (x + 3) − 3f (x + 2) + 3f (x + 1) − f (x) ≡ 0.

15. Найти рациональную функцию третьей степени: f (x) = ax3 + bx2 + cx + d,

если f (−1) = 0, f (0) = 2, f (1) = −3, f (2) = 5.

16.Найти ϕ[ϕ(x)], ψ[ψ(x)], ϕ[ψ(x)], ψ[ϕ(x)], если ϕ(x) = x2, ψ(x) = 2x.

17.Найти f [f (x)], f {f [f (x)]}, если f (x) = 1 −1 x .

18.Найти f (x), если f (x + 1) = x2 − 3x + 2.

	1			1
19.	Найти f (x), если f x +		= x2	+		(|x| ≥ 2).
		x			x2
74

Ответы

3. E = (0, + )

. 4. E =

10

"

, 10

π

б)

, k .

1.

− .

2. a)

E = (−∞, −2)

π

∞ ,

E = (2, +

∞ .

E = [ 1, 1)

k=−∞

(2, +

)

)

∞ \

− 2 + 2kπ

+ 2kπ

N

+∞

2

Z

"

+∞

π

π

5. E = {−1, −2, . . .}

[0, +∞). 6. E = k=−∞

+ kπ,

+ kπ . 7. E =

4

2

3"

"

[−1, 2], f (E) =

0,

!.

8. f (E) = (1, 3).9. f (E) = [1, 2].

10. f (0) =

2

f (1) = f (2) = f (3) = 0, f (4) = 24. 11. f (−1) = 0, f (−0,001) = −6, f (100) = 4. 12. f (−2) = −1, f (−1) = 0, f (0) = 1, f (1) = 2, f (2) =

.13.

,

−

1

− x ,

2 + x

,

1 + x ,

4

f (0) = 1

f (

x) =

1

+ x

f (x + 1) =

−x

f (x) + 1 =

2

x

1 − x .

3

2 .

x + 1

, f (x)

2x15.

−

2

− 6

f

1

=

x − 1

1

=

1 + x

f (x) =

10

x3

7

x2

29

x + 2

16. ϕ(ϕ(x)) = x4,

ψ(ψ(x)) = 2

, ϕ(ψ(x)) = 22x,

ψ(ϕ(x)) = 2x .

17.f [f (x)] = x − 1 , f {f [f (x)]} = x (x = 0, x = 1). 18. x2 − 5x + 6.

x

19. x2 − 2 |x| ≥	5	.
	2

Занятие 2. Обратные тригонометрические функции

Необходимые сведения

1. А р к с и н у с

Функция y = arcsin x определяется как обратная функции y =

sin x, если −	π		π
		≤ x ≤		.
	2		2
Основные свойства функции					y = arcsin x:
1◦. Область определения E = [−1, 1].									.
2◦. Множество значений f (E) =					− 2		,	2
						π		π

75

3◦. Функция возрастает от значения −π2 до значения π2 .

4◦. Функция нечетная, т.е. для любых x E выполняется

arcsin(−x) = − arcsin x.

Функция y = Arcsin x определяется как обратная y = sin x, если

−∞ < x < +∞.

Основные свойства функции y = Arcsin x:

1◦. Функция многозначная.

2◦. Функция y = Arcsin x выражается через y = arcsin x по формуле

Arcsin x = (−1)n arcsin x + nπ, n Z.

В этой формуле при каждом фиксированном n выделяется так называемая ветвь однозначности многозначной функции Arcsin x; при этом arcsin x называют главной ветвью однозначности.

На рис. 2.3 и 2.4 изображены графики функций y = arcsin x и y = Arcsin x. Главная ветвь многозначной функции Arcsin x выделена на рис. 2.4 жирной линией.

2. А р к к о с и н у с

Функция y = arccos x определяется как обратная функции y = cos x, если 0 ≤ x ≤ π.

Основные свойства функции y = arccos x:

1◦. Область определения E = [−1, 1].

2◦. Множество значений f (E) = [0, π].

3◦. Функция убывает от значения π до 0.

4◦. Для любых x E выполняется соотношение

arccos(−x) = π − arccos x.

76

π

π

− π − π

Рис. 2.3. График функции	Рис. 2.4. График функции
y = arcsin x	y = Arcsin x

Функция y = Arccos x определяется как обратная к функции y = cos x, если −∞ < x < +∞.

Основные свойства функции y = Arccos x:

1◦. Функция многозначная.

2◦. Функция y = Arccos x выражается через y = arccos x по формуле

Arccos x = ± arccos x + 2kπ, k Z.

В последней формуле для определенного знака и при каждом фиксированном k выделяется ветвь однозначности. Функцию y = arccos x называют главной ветвью многозначной функции Arccos x.

77

π

π

Рис. 2.5. График функции	Рис. 2.6.	График функции
y = arccos x	y	= Arccos x

3. А р к т а н г е н с

Функция y = arctg x определяется как обратная к функции y =

tg x, если −	π		π
		< x <		.
	2		2
Основные свойства функции					y = arctg x:
1◦. Область определения E = (−∞, +∞).
2◦. Множество значений f (E) =					− 2 ,		2	.
						π	π

3◦. Функция возрастающая.

4◦. Функция нечетная, т.е. для любых x E выполняется

arctg (−x) = − arctg x.

.

x +

arctg

2 ,

x

arctg

−

2 .

5◦

lim

x =

π

lim

x =

π

→ ∞

→−∞

Функция y = Arctg x определяется как обратная к функции y =

tg x, если

−∞ < x < +∞, но x =

π

+ kπ, k Z.

2

78

Основные свойства функции y = Arctg x:

1◦. Функция многозначная.

2◦. Функция y = Arctg x выражается через y = arctg x по формуле

Arctg x = arctg x + kπ,

k Z.

В этой формуле при любом фиксированном k выделяется ветвь однозначности. При k = 0 получается главная ветвь arctg x. Графики этих функций изображены на рис. 2.7 и 2.8.

π

π

Рис. 2.7. График функции y = arctg x

π

π

π

π

Рис. 2.8. График функции y = Arctg x

4. А р к к о т а н г е н с.

Функция y = arcctg x определяется как обратная к функции y = ctg x, если 0 < x < π.

Основные свойства функции y = arcctg x:

1◦. Область определения E = (−∞, +∞).

2◦. Множество значений f (E) = (0, π).

3◦. Функция убывающая.

79

4◦. Для любых x из области определения выполняется соотношение

arcctg (−x) = π − arcctg x.

5◦. lim arcctg x = 0,	lim arcctg x = π.
x→+∞	x→−∞

Функция y = Arcctg x определяется как обратная к функции y = ctg x, если −∞ < x < +∞, но x = π2 + kπ, k Z.

Основные свойства функции y = Arcctg x:

1◦. Функция многозначная.

2◦. Функция y = Arcctg x выражается через y = arcctg x по формуле

Arcctg x = arcctg x + kπ,

k Z.

В этой формуле при любом фиксированном k выделяется ветвь однозначности. При k = 0 получается главная ветвь arcctg x.

π

Рис. 2.9. График функции y = arcctg x

π

π

−π

Рис. 2.10. График функции

y = Arcctg x

80