2.2. Теорема о единственности предела. Свойства пределов
2.2.1. Теорема о единственности предела
Сформулируйте и докажите теорему о единственности предела.
2.2.2. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
Какие последовательности называются бесконечно малыми (бесконечно большими)? Приведите примеры.
Докажите, что последовательность
при
− бесконечно малая, а при
− бесконечно большая.Сформулируйте на языке “
”отрицаниетого, что
последовательность является: а)
бесконечно малой, б) бесконечно большой.Что следует из того, что все члены бесконечно малой последовательности принимают одно и то же значение?
Сформулируйте и докажите теоремы об ограниченности последовательности, о необходимом и достаточном признаке существования предела последовательности.
Пусть последовательность
является ограниченной (неограниченной).
Следует ли из этого условия, что она
сходится (расходится)?Пусть в любой окрестности точки
лежит бесконечно много членов
последовательности
.
Следует ли отсюда, что
ограничена?Каким образом вводят арифметические операции над числовыми последовательностями?
Что означают символические записи
и
?
Приведите примеры числовых
последовательностей, для которых имеют
место такие символические записи.Можно ли поставить один из символов
между последовательностями
и
,
если
а) 
,
б)
,
в)
.
Какими свойствами обладают бесконечно малые и бесконечно большие величины?
Когда бесконечно большая последовательность имеет предел
?
Дайте определение с помощью логических
знаков, соответствующее символической
записи
.Докажите, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной.
Пусть бесконечное число членов последовательности находится: а) в любой окрестности нуля, б) вне любой окрестности нуля. Следует ли из условия а) (условия б)), что последовательность является: бесконечно малой; бесконечно большой; ограниченной; неограниченной? Следует ли из условия а) (условия б)), что последовательность не является: бесконечно малой; бесконечно большой?
Известно, что в некоторой окрестности нуля находится: а) конечное число членов последовательности, б) бесконечное число членов последовательности. Следует ли отсюда, что в каждом из этих случаев последовательность является: ограниченной; бесконечно малой; бесконечно большой?
Известно, что последовательность
является: а) бесконечно малой, б)
бесконечно большой. Следует ли отсюда
(при условии
),
что последовательность
является: а) бесконечно малой, б)
бесконечно большой?а) Является ли бесконечно малая последовательность ограниченной?
б) Является ли бесконечно большая последовательность неограниченной; сходящейся?
в) Является ли любая неограниченная последовательность бесконечно большой?
Известно, что
и: а)
,
б)
.
Может ли последовательность
быть: бесконечно малой; бесконечно
большой; сходящейся; расходящейся, но
не бесконечно большой? Приведите
примеры.Докажите, что если
,
то начиная с некоторого номера
,
определена последовательность
,
причем
.Пусть
−
бесконечно малая последовательность.
Следует ли отсюда, что
и
−
бесконечно малые последовательности?Пусть
−
бесконечно малая последовательность.
Следует ли отсюда, что хотя бы одна из
последовательностей
и
бесконечно малая?Известно, что последовательность
сходится, а
бесконечно большая. Может ли
последовательность
:
а) сходится, б) расходится, но быть
ограниченной, в) быть бесконечно большой,
г) быть бесконечно малой? Ответьте на
эти вопросы, используя в качестве
примеров последовательности
