Нормальные колебания первого (синфазного) типа

Пусть в начальный мо­мент оба маятника отклонены в одну и ту же сторону на равные углы (см. рис. 3):

,. (13)

Тогда (см. выражения (10) и (11)):

,. (14)

Маятники совершают синфазные гармонические колебания с час­тотой . Эта частота не зависит от положения пружины (пружина «не работает»).

Нормальные колебания второго (противофазного) типа

Пусть в начальный мо­мент маятники отклонены на равные углы, но в разные стороны (см. рис. 4):

,. (15)

Тогда (см. выражения (10) и (11)):

,. (16)

Маятники совершают противофазные гармонические колебания с частотой . Частотабольше частотыи она растет с увеличе­нием расстоянияот оси до места закрепления пружины (см. (12)):

. (17)

Таким образом, в рассматриваемой колебательной системе с дву­мя степенями свободы возможны два типа нормальных колебаний, и их мож­но возбудить, если отклонить маятники в начальный момент времени в соответствии с рис. 3 и 4.

Нормальные координаты

Вернемся к исходным уравнениям (7) и (8). Проведем замену искомых функций ина новые функциии:

,. (18)

Если эти функции будут найдены, то посредством обратного перехода мы сможем найти интересующие нас функции времени и:

,. (19)

Складывая и вычитая уравнения (7) и (8), легко придем к следующим уравнениям для функций и:

, (20а)

, (20б)

где частоты иопределяются формулами (12), т.е. являются частотами нормальных колебаний.

Новые величины иназываютсянормальными координатами колебательной системы, так как эти координаты всегда совершают гармонические колебания – нормальные колебания:

,. (21)

Введение нормальных координат для колебательных систем с двумя (и более) степенями свободы не только упрощает математическое рассмотрение колебательных процессов, но и позволяет глубже вникнуть в сущность этих процессов.

Явление биений

Всякое отклонение начальных условий от (13) или (15) (т.е. ) возбуждает оба нормальных колебания. Так что движение каждого из маятников будет представлять собой результат суперпозиции (наложения) нормальных колебаний обоих типов. (Имея в виду это, иногда говорят о сложении колебаний разных частот, но одного направления колебаний.)

Действительно, положим, например, в соотношениях (10), (11)

,. (22)

Это значит, что в начальный момент правый маятник отклонили вправо на угол, а левый маятник оставили в положе­нии равновесия. При этом выражения (10) и (11) переписываются так:

, (23)

. (24)

Преобразуем формулы (23) и (24), используя тригонометрические соотношения:

, (25)

. (26)

Видно, что движение маятников не является гармоническим колебанием. В такой записи вторые сомножители описывают колебания с частотой, равной полусумме частот нормальных колебаний:

, (27)

а первые сомножители – колебания с частотой, равной полуразности частот нормальных колебаний:

. (28)

В нашей установке имеется возможность сделать связь маятников слабой в том смысле, чтобы выполнялось неравенство , при котором частотыистановятся достаточно близки друг к дру­гу. Действительно, применяя формулу разложения функции в ряд Тейлора по малому параметру, получаем

,. (29)

При этом

,. (30)

В силу слабой связи маятников

, (31)

значит, первые сомножители в формулах (25) и (26) меняются сравнительно медленно. На этом основании величины

; (32)

(33)

можно назвать периодически изменяющимися амплитудами колебаний, опи­сываемых вторыми сомножителями ив соотношениях (25) и (26).

С какой же частотой изменяются сами амплитуды ,? Очевидно, с частотой. В самом деле, частотав выраженииилихарактеризует периодич­ность появления «горбов» (или «впадин») вдоль синусоиды (коси­нусоиды). Когда мы находим модульили, то «горбы» остаются «горбами», а «впадины» превращаются в «горбы», и в итоге «горбы» будут встре­чаться вдвое чаще. Это и означает, что амплитудыипериодичес­ки меняются с удвоенной частотой, т.е. с частотой

. (34)

Учитывая (30), получим

. (35)

В случае колебаний вида (25), (26) говорят, что происходит явление биений: маятники совершают колебательное движение с частотой )с периодически нарастающими и убывающими амплитудами колебаний. Переменные величины иназываютсяамплитуда­ми биений, а величина называетсячастотой биений.

Явление биений возникает всегда, когда одновремен­но возбуждают оба типа нормальных колебаний: движение представляет собой не­гармоническое колебание, которое является результатом суперпозиции двух нор­мальных колебаний с близкими частотами.

На рис. 5 показан характер движения маятников. Частоты биений обоих маятников одинаковы и равны разности частот нормальных колебаний: . Период биений равен

. (36)

Рис. 5

Таким образом, теоретическое рассмотрение процессов, происходящих в экспериментальной установке, приводит к следующим вы­водам.

1. Первоначальное отклонение маятников в одну и ту же сторону на равные углы возбуждает нормальные колебания первого (синфазного) типа. При­ этом частота этого нормального колебания совпадает с частотойколебаний одного отдельно взятого маятника (изолированного от другого маятника) и не зависит от положения пружины.

2. Первоначальное отклонение маятников в разные стороны на равные по величине углы возбуждает нормальные колебания второго (противофазного) типа. Частота этого нормального колебания больше частоты первого нормального колебания. Увеличение расстоянияот оси вращения до места закрепления пружины приводит к возрастанию частоты.

3. При первоначальном отклонении маятников на неравные углы (например, в ситуации рис. 5) каждый из маятников совершает сложное негармоническое движение, являющееся суперпозицией (суммой) нормальных колебаний обоих типов. При слабой связи маятников при этом наблюдается явление биений с частотой биений . С увеличением расстояниячастота биений возрастает.

В настоящей работе проводится экспериментальная проверка этих теоретических выводов.

В заключение отметим, что нормальные колебания и явление биений наблюдаются в любой колебательной системе с двумя и более степенями свободы. Такими системами являются, например, два или несколько связанных электрических колебательных контуров, цепочка атомов в кристаллах и т.д.