Рекомендуемая литература

1. Воронов А.А., Титов В.К., Новогранов Б.Н. Основы теории автоматического регулирования и управления: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 1977. – 519с.

2. Теория автоматического управления: Учебник для вузов. В двух частях. Ч.2. Теория нелинейных и специальных систем управления / Н.А. Бабанов, А.А. Воронов, А.А. Воронова и др.; под ред. А.А.Воронова. – М.: Высшая школа, 1997. – 288с.

3. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование: Учебник для втузов. – М.: Машиностроение, 1973. – 442с.

4. Топчеев Ю.И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования. – М.: Машиностроение, 1989. – 752с.

5. Программа «MatLab 6.5 / SimuLink 5»: учебное пособие / В.Н. Аносов, В.В. Наумов. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2007. – 104с.

6. Гринкевич Д.Я. Система структурного моделирования динамических объектов MATLAB 6.0: Учеб. Пособие, – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. – 79с.

7. Теория автоматического управления: Учебное пособие для вузов. Ч.2. Нелинейные системы, системы при случайных воздействиях / Под ред. А.В. Нетушила. – М.: Высшая школа, 1972. – 350 с.

8. Иванов В.А., Ющенко А.С. Теория дискретных систем автоматического управления. – М.: Наука, 1977. – 336с.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6

Исследование статических характеристик нелинейных звеньев

1. Цель работы

Методом структурного моделирования снять отдельные и найти общие статические характеристики при параллельном и последовательном соединении двух заданных нелинейных звеньев (элементов), а также при охвате одного нелинейного элемента другим с отрицательной и положительной обратной связью.

Исследовать влияние чередования нелинейных элементов на вид общей статической характеристики.

Исследовать влияние параметров нелинейных звеньев на общую статическую характеристику.

Проверить полученные результаты графическими методами нахождения обшей статической характеристики для трёх заданных соединений нелинейных элементов.

2. Общие сведения

Статической характеристикой элемента или системы называется зависимость выходной величины от входного воздействия в установившемся режиме.

По виду статические характеристики элементов САУ делятся на три типа: линейные рис.6.1,а), несущественно-нелинейные рис.6.1,б) и существенно-нелинейные рис.6.1,в).

Если все звенья системы имеют линейные статические характеристики, то САУ называются линейными. Несущественно-нелинейные статические характеристики в некоторых случаях (при малых отклонениях (± ∆Х_вх) от точки характерного режима (точка А)) можно представить линейным отрезком ab (ab – касательная к статической характеристике в точке А), т.е. линеаризовать несущественную нелинейность (рис.6,1,б)).

Если система состоит только из линейных и линеаризованных несущественно-нелинейных элементов, то она относится к классу линейных САУ. Анализ и синтез таких систем осуществляются методами теории линейных САУ.

Если в состав САУ входит хотя-бы один элемент с существенно-нелинейной статической характеристикой, то такая система называется нелинейной системой автоматического управления. Существенно-нелинейные статические характеристики элементов САУ не могут быть линеаризованы, т.к. это приводит к кардинальному искажению свойств системы. Исследование и синтез таких систем может осуществляться только методами теории нелинейных САУ.

Нелинейную систему, так же как и линейную, принято для наглядности и удобства расчётов представлять в виде структурной схемы. Нелинейные элементы представляются так же, как и линейные, прямоугольниками с подходящими и отходящими стрелками, а внутри прямоугольника изображается вид нелинейности.

Если в структурной схеме имеются несколько линейных и несколько нелинейных звеньев, соединённых между собой, то для приведения структурной схемы к расчётному виду её требуется преобразовать. Группа линейных звеньев, соединённых между собой, преобразовывается по известным из теории линейных САУ правилам к одному звену с общей передаточной функцией линейной части системы (W_лч (p)). Общую статическую характеристику нелинейных элементов, также соединённых между собой (НЭ_общ ), можно найти только графическими методами.

Рассмотрим подробнее графические методы нахождения общей статической характеристики для трёх типов соединения нелинейных элементов.

Методика нахождения общей статической характеристики при параллельном соединении нелинейных элементов.

На рис.6.2,а) приведена структурная схема параллельного соединения двух нелинейных элементов НЭ1 и НЭ2, а на рис.6.2,б) показано определение общей статической характеристики.

X _вых

X _вых

X _вх

Для этого необходимо построить характеристики всех параллельно соединенных нелинейных элементов в одной координатной системе и в одном масштабе с учётом знака их выходных величин. Затем, алгебраически просуммировав их ординаты, получить общую характеристику эквивалентного нелинейного звена.

На рис.6,2,а) выходные величины обоих нелинейных элементов имеют один знак, поэтому достаточно ординаты характеристик НЭ1 и НЭ2, изображённых на рис 6,2,б) просуммировать и в результате получить общую статическую характеристику двух параллельно соединённых звеньев НЭ_общ.

Методика нахождения общей статической характеристики при последовательном соединении нелинейных элементов.

На рис.6.3,а) приведена структурная схема последовательного соединения двух нелинейных элементов НЭ1 и НЭ2, а на рис.6.3,б) показано определение общей статической характеристики.

Определение общей статической характеристики при последовательном соединении нелинейных элементов осуществляется в четырёх квадрантах.

X _{вых 1}

X _{вх 2}

НЭ_общ

В первом квадранте строится статическая характеристика первого нелинейного элемента. По оси абсцисс откладывается входная величина последовательно соединённых элементов X _вх. По оси ординат выходная величина первого элемента X _{вых 1}. Во втором квадранте при повёрнутых осях координат на 90^о строится статическая характеристика второго нелинейного элемента. По оси абсцисс этого квадранта откладывается входная величина второго нелинейного элемента X _{вх 2} = X _{вых 1}, а по оси ординат выходная величина второго нелинейного элемента и соединения в целом X _вых .

Теперь, задаваясь рядом значений X _вх можно во втором повёрнутом квадранте найти ряд выходных значений этого соединения X _вых.

Далее можно поступить двояко. Либо построить общую статическую характеристику в отдельной координатной системе X _вых = f (X _вх), используя найденные значения X _вых и соответствующие им значения X _вх, либо воспользоваться четвёртым квадрантом. Для этого необходимо найденные значения X _вых перенести из второго квадранта в четвёртый. Перенос можно сделать с помощью биссектрисы, построенной в третьем квадранте.

На рис.6.3,б) цифрами 1,2,3,4,5 и стрелками показано определение точки 5, принадлежащей общей статической характеристике двух последовательно соединённых нелинейных элементов.

Методика нахождения общей статической характеристики при охвате одного нелинейного элемента отрицательной или положительной обратной связью, включающей другой нелинейный элемент.

На рис.6.4,а) приведена структурная схема при охвате одного нелинейного элемента НЭ1 отрицательной обратной связью с другим нелинейным элементом НЭ2, а на рис.6.4,б) показано определение общей статической характеристики.

Определение общей статической характеристики контура состоящего из двух нелинейных элементов с отрицательной (положительной) обратной связью осуществляется в двух квадрантах. В первом квадранте строится нелинейная характеристика элемента НЭ1, во втором, повёрнутом на 90⁰, нелинейная характеристика элемента НЭ2.

Для нахождения общей статической характеристики с отрицательной обратной связью задаёмся рядом значений выходной величины контура Х_вых = Х_вых1 = Х_вх2. На рис.6.4,б) для иллюстрации метода взяты два значения выходной величины Х_вых11 (точка1) и Х_вых12 (точка2).Подробнее покажем нахождение точки «а^– », принадлежащей общей статической характеристике при отрицательной обратной связи.

Для этого из точки1 проводим вправо линию (пунктирную) до статической характеристики НЭ1 и опускаем перпендикуляр на ось абсцисс первого квадранта. Это позволяет найти Х_вх11 – входное значение НЭ1 при Х_вых11. Далее, из точки1 теперь влево проводим пунктирную линию до статической характеристики НЭ2 и опускаем перпендикуляр на ось Х_вых2. Отрезок «оа» соответствует выходной величине НЭ2 (Х_вых21).

При отрицательной обратной связи для точки1(см. рис.6.4,а):

Х_вх11 = Х_вх1 – Х_вых21.

Значения Х_вх11 и Х_вых21 найдены в предыдущих расчётах. Отсюда

Х_вх1 = Х_вх11 + Х_вых21.

Найдём эту сумму графически. Для этого продолжим линию Х_вых11 вправо и на ней отложим отрезок «оа^–» (символ минус говорит об отрицательной обратной связи). Из точки «а^–» опустим перпендикуляр и получим значение Х_вх1. Отсюда следует, что точка «а^–» принадлежит общей статической характеристике рассматриваемого контура при отрицательной обратной связи НЭ_общ(–).

На рис.6.4,б) также найдена точка «б^– » для Х_вых12.

Используя приведённую методику, можно найти любое число точек, принадлежащих НЭ_общ(–), соединив которые получим общую статическую характеристику НЭ_общ(–) при отрицательной обратной связи.

При положительной обратной связи определение общей статической характеристики производится аналогично только отрезки «оа» и «об» не складываются с Х_вх11 и Х_вх12, а вычитаются из них. На рис.6.4,б) общая статическая характеристика при положительной обратной связи НЭ_общ(+) изображена пунктиром.

Для приведения структурной схемы нелинейной САУ к расчётному виду можно также как и для линейных систем пользоваться дополнительными правилами преобразования. Однако наличие в системе нелинейных элементов несколько ограничивает возможности структурных преобразований в нелинейных системах. Это вызвано тем, что к нелинейным САУ не применимы принципы наложения и коммутативности. Невыполнение принципа наложения исключает возможность переноса нелинейного элемента через элемент суммирования, а невыполнение принципа коммутативности перенос одного нелинейного элемента через другой нелинейный элемент, а также перестановку нелинейного элемента и инерционного линейного звена. Что касается правил переноса сумматора или нелинейного элемента через точку съёма сигнала, то они не противоречат вышеназванным принципам и могут при необходимости применяться для преобразования структурных схем нелинейных САУ.

На рис.6.5 показаны эквивалентные структурные схемы при переносе нелинейного элемента через точку съёма сигнала по направлению воздействия рис.6.5,а) и перенос нелинейного элемента через точку съёма против направления воздействия рис.6.5,б).

_Х2

х₁

_Х2

х₁

=

_Х2

_Х2

а)

_Х2

х₁

_Х2

х₁

=

б)

_Х1

Рис.6.5

При переносе точки съёма сигнала через нелинейный элемент против направления воздействия необходимо в сигнале, отходящем от точки съёма, включить дополнительный нелинейный элемент с исходной статической характеристикой. При переносе точки съёма через нелинейный элемент по направлении воздействия нужно в отходящем от точки съёма сигнале включить дополнительно нелинейный элемент с обратной статической характеристикой. Взаимно обратными статическими характеристиками двух нелинейных элементов называются такие характеристики, которые при последовательном соединении этих элементов образуют общую линейную статическую характеристику с коэффициентом усиления равным единице.

Для нахождения статической характеристики одного нелинейного элемента или соединения нелинейных элементов экспериментальным путём необходимо, задаваясь рядом численных значений входного воздействия, регистрировать соответствующий ряд выходных величин. По этом данным (по точкам) можно построить характеристику Х_вых.нэ = f (Х_вх.нэ).

Если на вход нелинейного объекта подать плавно меняющийся входной сигнал (например, синусоидальный) и одновременно подать его на вход графопостроителя, а сигнал, снимаемый с выхода объекта подключить на вертикальный вход графопостроителя, то на экране этого регистрирующего прибора можно наблюдать сплошную искомую статическую характеристику.

Исследования статических характеристик нелинейных элементов и их различных соединений между собой будут проводиться в терминальном классе с использованием прикладной программы структурного моделирования динамических объектов MatLab / Simulink. Эта программа позволяет формировать и регистрировать как дискретные, так и аналоговые входные и выходные сигналы .

На рис.6.6 изображена схема модели для снятия статических характеристик нелинейных объектов. В схеме предусмотрено два источника сигнала:

• блок “Constant” позволяет задать вектор любого ряда численных значений входного сигнала [0 1 2 5 8 10 …] или вектор, значения которого являются арифметической прогрессией численных значений входного сигнала с заданным шагом прогрессии [0:1:20]. Для изменения знака входного сигнала после блока “Constant” включен блок “Gain” с коэффициентом 1 или -1.

НЭ 2

НЭ 1

X _вх

X _вых

Рис.6.6

• блок “Sine Wave” формирует синусоидальный входной сигнал с заданной частотой и амплитудой. Этот сигнал используется для визуальной регистрации графика общей статической характеристики объекта исследования на графопостроителе “XY Graph”. Блок имеет два входа. Верхний вход предназначен

для подачи входного сигнала от “X – min” до “X – max”, нижний для подачи выходного сигнала от “Y – min” до “Y – max”.

Переход от одного входного сигнала на другой осуществляется с помощью ручных переключателей “Manual Switch”, “Manual Switch1” и “Manual Switch2”, а так же включением или отключением соединительных линий в канале численных входных сигналов и в канале синусоидального входного сигнала. На рисунке подключен канал численных значений входного сигнала. Канал синусоидального воздействия отключен разрывом соединительных линий блоков “Sine Wave” – “Gain1” и “Saturation” – “Gain2”, а так же переключателем “Manual Switch”. Блоки “Gain1” и “Gain2” введены для удобства включения и отключения соединительных линий синусоидального канала.

Кстати, для создания линии связи между блоками достаточно выделить блок - источник сигнала, затем нажать клавишу “Ctrl” и выделить блок - приёмник. Размыкание линии связи делается только одним способом: линия связи, которую нужно удалить выделяется левой клавишей мыши, затем нажатием клавиши “Delete” связь удаляется. Командой “Cup” в раскрывающемся окне при выделении объекта правой клавишей мыши следует пользоваться только для удаления линии связи со всеми ответвлениями.

Для регистрации численных значений входного и выходного сигналов используются два цифровых дисплея “Display” и “Display1”;

Заданные нелинейные элементы НЭ1 и НЭ2, для удобства изменения схемы соединения их между собой, набираются моделирующими блоками Subsystem и Subsystem1.

В теории нелинейных САУ аналогично типовым линейным звеньям введено понятие типовых нелинейных элементов. Наиболее часто встречающиеся типовые нелинейные элементы и их статические характеристики приведены в табл.1.

Таблица1

№	Вид нелинейности	Название нелинейности	Зависимость х вых = f(х вх)
1		Зона нечувствительности	х вых = 0 при │‌х вх │≤ b х вых = k ( х вх – b) при х вх ≥ b х вых = k (- х вх + b) при х вх < -b
2		Ограничение (насыщение)	х вых = k х вх при │‌х вх │≤ C/k х вых = C при х вх ≥ b х вых = -C при х вх ≤ -b
3		Сухое трение (идеальное двухпозиционное реле)	х вых = C при х вх > 0 х вых = -C при х вх < 0
4		Трёхпозиционное реле	х вых = C при х вх ≥ b х вых = 0 при -b ≤ х вх ≤ b х вых = -C при х вх ≤ -b
5	х вх	Двухпозиционное реле с гистерезисом	При увеличении х вх х вых = C при х вх ≥ b х вых = -C при х вх ≤ b При уменьшении х вх х вых = C при х вх ≥ -b х вых = -C при х вх ≤ -b
6	k = tgα х вх	Люфт (зазор)	При увеличении х вх х вых = k (х вх - b) При уменьшении х вх х вых = k (-х вх + b) d х вых /d х вх = 0 при │‌х вых / k│- │‌х вх │< b

3. ПРОГРАММА ПОДГОТОВКИ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

3.1 Ознакомиться с теоретическим материалом, относящемуся к разделу “Статические характеристики нелинейных элементов”, по рекомендуемой литературе, конспектам лекций и пункту 2 “Общие положения” данной лабораторной работы.

3.2 Подготовить основу отчёта по лабораторной работе в соответствии с вариантом заданным преподавателем, ведущим лабораторный практикум по теории нелинейных систем управления.