Средние значения и дисперсия

,

,

.

Из (1.22) находим

, (1.24)

,

, (1.25)

. (1.26)

Примеры

1. Для распределения Пуассона найти производящую функцию и .

Используем производящую функцию (П.1.5) для биномиального распределения и (П.1.6)

, ,

тогда

.

Учитывая и

,

где , получаемпроизводящую функцию распределения Пуассона

. (П.1.14)

Из (П.1.14) и (1.25)

с учетом

, ,

следует (1.20)

.

2. Найти распределение времен свободного пробега электрона металла.

Согласно классической теории в узлах кристаллической решетки металла находятся ионы, валентные электроны образуют идеальный газ. Любой макроскопический объем металла электрически нейтрален, поэтому на электрон не действуют электростатические силы и благодаря тепловому движению он свободно перемещается от одного столкновения с ионом до следующего.

Вероятность столкновения электрона за единицу времени а не зависит от t при термодинамическом равновесии. Вероятность столкновения за время dt равна .

Функция распределения времен свободного пробега w(t) равна вероятности того, что время свободного движения лежит в единичном интервале около значения t.

Вероятность двух независимых событий – свободного движения электрона до момента t и столкновения в следующий промежуток dt – согласно теореме о независимых событиях равна и является уменьшением вероятности обнаружения электрона при переходе от t к , т. е. равна. В результате

.

Разделяя переменные и интегрируя, получаем,

, .

Из условия нормировки

находим .Среднее время свободного пробега

(П.1.22)

обратно вероятности столкновения за единицу времени. Функция распределения времен свободного пробега равна

(П.1.23)

– вероятность свободного движения в течение времени t уменьшается экспоненциально с ростом t.

2. Найти скорость дрейфа электронов металла в электрическом полеЕ.

За время свободного пробега t электрон набирает скорость , где ускорение. Если при столкновении упорядоченная скорость теряется, то средняя скорость

.

Время свободного пробега меняется от столкновения к столкновению. Пусть электрон испытывает последовательно N столкновений с временами свободного пробега t₁, t₂,…, t_N и средними скоростями , тогда скорость дрейфа

.

Поделив числитель и знаменатель на N, и полагая , получаем

.

Используя распределение (П.1.23), находим

,

.

В результате скорость дрейфа

(П.1.24)

пропорциональна электрическому полю и среднему времени  свободного пробега электрона, где подвижность электронов

.

23