35. Замена переменной в неопределенном интеграле
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: а) , где– монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае:; б), гдеU– новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке:.Интегрирование по частям
Нахождение интеграла по формуленазывается интегрированием по частям. ЗдесьU=U(х),υ=υ( x) непрерывно дифференцируемые функции отх. С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла, ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен. При этом за υ берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а заdU– та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден. Так например, для интегралов вида,,, гдеP(x) – многочлен, за υ следует принятьP(x), а заdUсоответствует выражение,. Для интегралов видаза υ принимаются соответственно функции, а за– выражениеP(x)dx.
36. Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется дробь вида , гдеP(x) иQ(x) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочленаP(x) ниже степени многочленаQ(x); в противном случае дробь называется неправильной. Пусть необходимо найти интеграл от неправильной рациональной дроби. При помощи деления (по правилу деления многочленов) неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целой рациональной функции и правильной рациональной дроби. Например,. Затем знаменатель правильной дроби разлагается на множители вида, а правильная дробь разлагается на сумму элементарных дробей следующим образом:37. Для интегрирования иррациональной функции, содержащейиспользуется подстановка. Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степенейx, применяется подстановка в форме, гдеnполагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию. Рациональная функцияxпод знаком корняn-ой степени, т.е. выражение вида, интегрируется с помощью подстановки.
Универсальная тригонометрическая подстановка. Переход в подынтегральной функции к переменнойпреобразуетR(sinx, cosx) в функцию, рационально зависящую отt.Универсальная тригонометрическая подстановка всегда рационализирует подынтегральную функцию, с её помощью легко берутся интегралы вида(a,b,c- постоянные).
Универсальной тригонометрической подстановкойназываются выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.
sinx=2tgx21+tg2x2x=+2nnZ;
cosx=1+tg2x21−tg2x2x=+2nnZ;
tgx=2tgx21−tg2x2x=+2nnZx=2+nnZ;
ctgx=2tgx21−tg2x2x=nnZx=+2nnZ.
38. Определенные интегралы (интеграл Римана).
Пусть действительная функция f(x) определена и ограничена на ограниченном замкнутом интервале [a, b]. Разобъем этот интервал на n частичных интервалов точками
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.
Выберем в каждом из частичных интервалов по произвольной точке и составим сумму (интегральная сумма).
Если существует предел интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала разбиения: , то функцияf(x) называется интегрируемой в смысле Римана на интервале [a, b]. Предел этой суммы
называется определенным интегралом от f(x) по интервалу [a, b] в смысле Римана (интеграл Римана). Это определение означает, что для любого положительного числа существует такое число, что при любом разбиении интервала [a, b] на частичные интервалы, длины которых меньше .
и при любом выборе промежуточных точек выполняется неравенство
Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а a и b - пределами интегрирования.
ТЕОРЕМА 1. ( необходимое условие существования интеграла) Если существует интеграл Римана , то функцияограничена на отрезке.
39. Оценки интегралов
1. Если то
2.
3. Если то