Zad-TFKP-1

§3. Комплексные числа.

1. Найти действительные решения уравнения

(3x − i)(2+ i) + (x − iy)(1+ 2i) = 5+ 6i

2. Найти модуль и главные значения аргументов комплексных чисел

а) z = 4

+ 3i;

г) z = −cos

π

+ i sin

π

;

5

5

б) z = −2+ 2√3; д) z = 4− 3i;

32π .

в) z = −7− i;

е) z = cosα − i sinα; π < α <

3. Следующие числа представить в тригонометрической форме:

а) −2;

д) i;

б) 2i;

е) −i;

в) −√2+ i√2;

ж) −1− i√3;

г) 2;

з) sinα − i cosα,

π

< α < π

2

4. В следующих задачах найти все значения корня:

а)

√4

д)

√4

−1;

1;

√

√3

б)

i;

е)

−1 + i;

в) √4

i;

ж)

p2− 2 3i;

√3

√

г) −i;

5. Найти множества точек на плоскости, удовлетворяющие условиям:

а) |z| ≥ 2;					е) 1< |z + i| < 2,	π	< argz <	π	;
						4		2
б)		1	≥ 1,z ≠ 0;		ж) 2< |z| < 3;
		z
в)	| z1|			≤ 2,z ≠ 0;	з) 1≤ |z + 2+ i| ≤ 2;
г)	z			5i 8;	и) z 1 < z i ;
		−		| =	| − | | − |
	|
д) |z − 1− i| ≤ 4;					к) 1< Rez < 2.

Какие линии определяются следующими уравнениями:

6.Imz2 = 2; 9. |z − i| + |z + i| = 4;

7.Re 1z = 1; 10. |z − i| − |z + i| = 2;

8.z2 + z2 + 1; 11. |z − z1| = |z − z2|.

Ответы. 1. x = 1712; y = −1736. 2. а) ρ = 5; ϕ = arctg 43;

б) ρ = 4; ϕ =

2πi

; в) ρ =

5√2; ϕ = arctg 71

− π; г) ρ = 1; ϕ = 45π ;

3

д) ρ = 5; ϕ = −arctg

43; е) ρ = 1; ϕ = 2π − α. 3. а) 2(cosπ + i sinπ) ;

б) 2 cosπ

π

+ i sinπ

π

;

в) 2 πcos

34π + i sinπ34π ; г) 2(cos0+πi sin0);

2

2

π

;

д) cos 2 + i sin 2 ; е) cos

− 2 + i sin

− 2

; ж) 2 cos −23

+ i sin −23

±

π

+

π

−

π

±

π2

±

2

+

−

з) cos

α −

π

i sin

α

π

. 4. а)

1ñ i

;

б)

1√+ i ;в)

21

√3

i

;

i;

2

2

г) ±1/3cos

− i sin

; ± πcos

38

+

πi sin 38

; д) ±π1; ±i;

8

8

π

; ж) ±

√3− i .

е) 42

(1+ i); 21/6 −cos 12 + i sin

12

; 121/6 sin 12 − i cos

12

11

6.	Гипербола xy				.	7. Окружность	x	1		2	y	2	1	.	8. Гипербола	x	2		y	2	1	.
								− 2		+			+ 4					−			= 2
		x2		y2= 1
9.	Эллипс		+		= 1. 10. Луч на оси Oy от −1 до −∞.
		3		4

11. Прямая, перпендикулярная отрезку z1z2, проходящая через его середину.

12

§4. Основные элементарные функции комплексного переменного

Выделить действительную и мнимую части функций.

1.	а) w = 2z − 1;	б) w = z + z2; в) w = z−1.
2.	а)w = e−z;	б) w = ez2;
	в) w = sinz;	г) w = ch(z − i).
3.	а) w = 2z2;	б) shz; в) w = tgz.

В следующих задачах найти значения модуля и главные значения аргумента функций в указанных точках.

4.	w	= cosz;	а) z1 = −			π	+ i ln2; б) z2 = −π + i ln2.
						2
5.	w = shz;		z0 = 1+ i	π	.
				2				7. w = ch2 z; z0 = i ln3.
6.	w = zez;		z0 = πi.
8.	Найти логарифмы следующих чисел
а) e;	б) − i; в) i; г) − 1− i;							д) 3− 2i;	е) ii .
9.	Найти значения
а) ii; б) i		1i ; в) 1i; г) (−1)√2; д) 1√+2i 2i ; е)								√3	+ 2i 1+i ; ж) (1− i)3−3i .
										2

10. Найти модуль ρ и аргумент ϕ комплексных чисел

а) thπi; б) 10i ; в) 32−i .

Записать в алгебраической форме следующие комплексные числа.

π

11. а) e

4

i;

б) ln(1− i).

12.

а) sinπi;

б) cosπi;

в) tg

π

i.

2

13.

а) ctgπi;

б) Arcsini;

в) Arctg 3i .

14.

а) Arccosi;

б) sh

πi

;

в) thπi.

2

Решить уравнения.

15.

e−z + 1= 0.

16. ez + i = 0.

17.

4cosz + 5= 0.

18. shiz = −i.

19.

sinz = πi.

20. eix = cosπx,

x — действительные.

21.

e2z + 2ez = 3.

22. chz = i.

23. а) ln(z + i) = 0;

б) ln(i − z) = 1.

Ответы. 1. а) u = 2x − 1, v = 2y; б) u = x2 − y2 + x, v = (2x + 1)y;

в) u 2=

2

x

,

v

= −

y

.

2. а) u = e−x cosy,

v

= −e−x siny;

б) u = ex2−y2 cos2xy,

x2 + y2

x2

+ y2

v = ex −y

sin2xy; в) u = sinxchy, v = cosxshy;

г) u = chxcos(y − 1), v = shxsin(y − 1). 3. а)

(x2

y2)

kπxy

cos2kπ x2 − y2

+ 2xy ln2

;

u

= e(x2−y2

ln2−4kπxy

·

k

Z;

v

=

e

−

)ln2−4

·

sin2kπ x2

−

y2

+

2xy ln2

,

13

sinxcosx

shy chy

3

π

б) u = chxcosy, v

= chxsiny; в )

u =

, v =

. 4. а) ρ = 4, ϕ0

=

;

ch2 y − sin2 x

ch2 y − sin2 x

2

б) ρ = 45, ϕ0 = π. 5. ρ = ch1,

ϕ0 =

π

. 6. ρ = π, ϕ0 = −

π

.

7. ρ = cos2 (ln3) ,

ϕ0 = 0.

8. а)

2

2

1+ 2kπi. Здесь и далее, если не оговорено противное, то k Z;

б) 2k − 21

πi; в)

2k + 21

πi; г) ln√2+

2k1− 43

πi; д) ln1

√13+ 2kπ − arctg 32 i;

е) − 2k + 21 π + 2mπi (m Z). 19. а) e− 2k+ 2!π;1б) e 2k+ 2

!π;

в) e−2kπ; г) e√2(2k+1)πi; д) e− 4k+ 2!π; е) e(i−1) 2k+ 6!π;

ж) 223

· e3 2kπ−

π

−3

π

+ln√2−2kπ i. 10. а) ρ = 0, ϕ не определен;

4

4

б) ρ = e−2kπ. ϕ = ln10+ 2mπ (m Z); в) ρ = 9e2kπ, ϕ = −ln3+ 2mπ.

11. а)

√1

i √1 ; б) 1 ln2

i

π

. 12. а) i shπ; б) chπ; в) i th

π

.

−

4

2 +

2

2

11 , (2k + 1) − i ln √2+

1

;

2

13. а) −i1cthπ; б)

2kπ − i ln

√2−

1

ln2

в)

2k + 2 π

− i ln

√2+

1

,

2k − 2 π − i ln √2

− 1 .

14. а) kπ + i

2

; б) i; в) 0. 15. zk = (2k1

+ 1)πi. 16. zk = 2k − 2 πi.

17. zk = (2k + 1)πi ± i ln2. 18. zk =

k − 2

π. 19. z2k = 2kπ − i ln √

π2 + 1

− π ,

z2k+1 = (2k + 1)π − i ln √1

π2 + 1

+ π . 20. x = 0. 21. z2k1

= 2kπi, z2k+1 = (2k + 1)πi + ln3. 22.

zk = ln √2+ 1 + 2k + 2 πi, zk = ln √2− 1 + 2k − 2

πi. 23. а) z = 1− i;

б) z = −e + i.

14

§5. Дифференцируемые и гармонические функции

Используя условия Коши-Римана, выяснить, какие из следующих функций являются дифференцируемыми хотя бы в одной точке, а какие — нет.

1. а) w = z2 ·		;	б) w = zez;			в) w = |z|		;
	z						z
г) w = ez2;			д) w = |z| · Re		;	е) w = sin3z − i;
				z

2. Показать, что функция w = lnz дифференцируема в области Rez > 0.

3. Показать, что при переходе от декартовых координат (x,y) к полярным (ρ,ϕ)

1

1 ∂v

∂u

∂v

∂u

условия Коши-Римана

∂x

= ∂y∂v

принимают вид

∂ρ =∂uρ · ∂ϕ∂v

∂u

=

+

∂y

= −

∂x

ρ ·

∂ϕ

= −

∂ρ

4. Показать, что

если функция f(z)

u(x,y) iv(x,y) аналитична в оласти D, то

в этой области выполняется равенство ∂u∂x · ∂v∂x + ∂y∂u · ∂y∂v = 0.

5. Восстановить аналитическую функцию f(z) в окрестности точки z0 по извест-

ной действительной u(x,y) или мнимой v(x,y) части и значению f(z0).

а) u =

x

;

f(π) =

1

;

x2 y2

π

+

y

б) v = arctg

(x > 0),

f(1) = 0;

x

в) u = x2 − y2 + 2x,

f(0) = 2i − 1;

г) v = −2sin2xsh2y + y,

f(0) = 2;

д) v = 2cos2xch2y − x2 + y2, f(0) = 2.

6. Показать, что следующие функции являются гармоническими

а) u = x2 + 2x − y2;

б) u = 2ex cosy;

в) u =

x

;

x2

y2

y

y

+

г) u = −

;

д) u = arctg

;

е) u = ln

x2 + y2 .

x2 + y2

x

7. В следующих примерах даны пары гармонических функций найти среди них

сопряженные пары гармонических функций.

а) u = 3

x

−

;

v

= 3

y−

;

u

x2

y2

v

x2y

y3

б) =

;

= −

;

x2

+

y2

x2

+

y2

в) u = x;

v = −y;

г) u = ex cosy + 1;

v = 1+ ex siny.

Ответы. 1. а) да, при z = 0; б) да z; в) да, при z = 0; г) да z; д) да, при z = 0; е) да z. 5. а) f(z) = 1z ; б) f(z) = lnz;

в) f(z) = z2 + 2z; г) f(z) = 2cos2z + z;

д) f(z) = 2i(cos2z − 1) − iz2 + 2. 7. а) нет; б) да; в) нет; г) да.

15

§6. Интегрирование функции комплексного переменного

1.	Zz Imz2dz, C :|z| = 1 (−π ≤ argz ≤ 0).
	C
2.	Ze|z|2 Rezdz, C — отрезок, соединяющий точки z1 = 0; z2 = 1+ i.
	C		lnz — главное значение логарифма, C :|z| = 1.
3.	Z lnzdz,
	C
Начальная точка интегрирования а) z0 = 1; б) z0 = −1. Обход против часовой
стрелки.
4.	Zz Rezdz, C :|z| = 1. Обход против часовой стрелки.
	C
5.	Z	zzdz, C :|z| = 1. Обход против часовой стрелки.
	C		C — а) отрезок z = (2+ i)t, (0≤ t ≤ 1); б) ломаная, состоящая из
6.	Z Rezdz,

C

отрезка [0;2] действительной оси и отрезка, соединяющего точки z1 = 2 и z2 = 2+ i.

i

−1−i

(2z + 1)dz.

7.

Zzezdz.

8.

Z

1

1+i

i+1

i

3z4 − 2z3

9.

Z z3dz.

10.

Z

dz.

0

1

11. Zezdz;

C — а) дуга параболы, y = x2 соединяющая точки z1 = 0 и z2 = 1+i;

C

б) отрезок прямой, соединяющий эти же точки.

12.

Z coszdz, C : — отрезок прямой, соединяющий точки z1 =

π

и z2 = π + i.

2

C2i

z3 − z

z2

i

13.

1+i

e 2 dz. 14.

0

Z

Zz coszdz.

i

i

15.

Zz sinzdz.

16.

Z (z − i) e−zdz.

10

	i
17.	Z lnzz dz по отрезку, соединяющему точки z1 = 1 и z2 = i.
	1

1Z+i

18.(z − i)e−zdz.

	0
19.	i	1+ tgz				по отрезку, соединяющему точки z1 = 1 и z2 = i.
	Z	cos2 z		dz
20.	1Zz Im		z2			dz, C :|Imz| ≤ 1, Rez = 1.
	C
21.	Z cosz Re(sinz) dz, C :|Imz| ≤ 1, Rez =						π	.
							4

C

Ответы. 1. −π2 . 2. 14 e2 − 1 (1+ i).3. а) 2πi; б) −2πi. 4. 0. 5. 0.

16

6. а) 2+ i; б) 2+ 2i. 7. (i − 1)ei . 8. −2(1+ i). 9. −1. 10. 35(i − 1).

11. а) ecos1− 1+ ie sin1; б) e cos1− 1+ ie sin1. 12. −(1+ i sh1) . 13. −7e−2 + (3− 2i)ei . 14. e−1 − 1. 15. cos1− sin1− ie−1.

16. 1− cos1+ i(sin1− 1). 17. −π82 . 18. 14 (1− cos(2+ 2i)) . 19. − tg1+ 12 tg2 1+ 12 th2 1 + i th1. 20. −43. 21. 14 sh2+ 12 i.

17

§7. Интегральная формула Коши

С помощью интегральной формулы Коши вычислить следующие интегралы (все

окружности обходятся против часовой стрелки)

1.

Z

z2

2z .

2.

Z

z 2

i .

ezdz

eizdz

|z|=1

+

πz

dz

|z−1|=1

+

3.

Z

sin

2

.

4.

Z

sin

izdz

.

z2

+

2z

−

3

z 2

4z

+

3

|z−i|=2

|z|=2

−

5.

Z

tgzdz

6.

Z

cos(z + πi)dz

1

.

z (ez

+

2) .

z

|z|=1ze

+2

|z|=3

7.

Z

dz

.

8.

Z

dz

.

z2 + 16

z2

9 (z

9)

|z|=5

π

|z|=4

+

+

9.

Z

sh z22(z +2z .

10.

Z

sinzzsin2 (zz− 1) dz.

i)dz

|z|=1

−

|z|=2

−

11.

Z

coszzdz3 .

12.

Z

sh2zzdz3 .

|z|=1

πz

3) .

|z|=1

z z sh 2

zdz2 .

13.

Z

(z

sin1)24(zdz

14.

Z

|z−1|=1

−

−

|z|=2

1

(z

2)3(z

4) .

−

πz

15.

Z

16.

Z

chz3e

i

4z2 .

zdz

dz

|z−3|=6

−

+

|z−2|=3 −1

17.

Z

1

cos

π

dz.

18.

Z

e z dz

.

z3

z

1

z2

2

z

1

+

|z−2|=1

+ 4

|

|= 2

1−zsin2 z dz.

19.

Z

20.

Z

eiz

dz.

z2

2

z

1

z

1

1

− 1

|

|= 2

| − |= 2

Ответы. 1. πi. 2. πe−1.

3.

πi

. 4. π sh1. 5. 0. 6. 32πi chπ.

7. 0.

8. −45πi .

2

9. π. 10. 0. 11. −πi. 12. 0. 13. −

iπ(π + 2)√2

. 14. 0. 15.

πi

. 16.

π2

sh1. 17.

3

8

−27

−

2

π

i.

18. 0. 19. −2πi. 20. −

12+ i

ei.

18

§8. Степенные ряды и ряды Лорана

Найти радиусы сходимости следующих степенных рядов.

X∞

1.einzn.

n=1

3. X∞ zn ch i .

n=1 n

X∞

5.inzn.

n=0

X∞

7.(n + i)zn.

n=0

	X=
	∞	z			n
2.	n 0	1− i	.
	X=	lnzin
4.	∞				n
	n 1				.
	∞			πi
6.	nX=1zn sin					.
				n
	∞
8.	nX=0zn cosin.

В следующих задачах данные функции разложить в ряд Тейлора, используя разложения основных элементарных функций, и найти радиусы сходимости полученных

рядов.

по степеням 2z − 1.

9. sin(2z + 1) по степеням z + 1. 10. ez

1

по степеням z + 2.

z + 1

11. 3z

+

1

12.

z2

+

4z

−

5

по степеням z.

iz

13. cos2

по степеням z.

14. ln(2

− z) по степеням z.

2

15. ln

2

+ z − z2

по степеням z.

Разложить в ряд

Лорана в проколотой окрестности нуля следующие функции.

16. sinz2z .

z

1

19. z4 cos z1.

17.

e

.

18. z3e z .

z

1

sin

2 2

ez − 1

1− e−z

20. z

z .

21.

z

.

22.

z3 .

Разложить в ряд Лорана в проколотой окрестности точки z0 следующие функции.
		z								sinz	1
23.						, z0 = −1.				24. z − 2, z0 = 2.	25. ze z + i , z0 = −i.
	(z +		1)2
Разложить функции в ряд Лорана в указанных кольцах.
26.			1						, а) 2< |z| < 3; б) 3< |z| < +∞.
	(z − 2)(z −						3)
27.		2z +			3		,		1< |z| < 2.
	z2	+	3z + 2
28.		2		,	1			< |z + 2| < 3.
	z2	−	1
29.			1				,		1< |z + 2| < 4.
	z2 + 2z − 8
30.		1		,	0			< |z − i| < 2.
	z2		1
31.	z2+− z + 3						,		а) |z| < 1; б) 1< |z| < 2; в) 2< |z| < ∞.
	z3 −		3z + 2
	Ответы. 1. R = 1. 2. R = √2. 3. R = 1. 4. R = ∞.
5. R = 1. 6. R = 1. 7. R = 1. 28. R = e−1.											3
9. −sin1+ 2(z + 1)cos1+										22! (z + 1)2 sin1−	23! (z + 1)3 cos1+ ... ; R = ∞.

10. √e h1+ 12(2z − 1) + 2!212 (2z − 1)2 + 3!213 (2z − 1)3 + ...i;

R = ∞1. 1 3 2 32 2 2 ; 5

11. −5 + 5(z + ) + 52 (z + ) + ... R = 3.

19

12.

−51 −

259 z − 12541 z2 − ... ,

R = 1.

13.

1+ 21

z2

+

z4

+ ... ,

R = ∞.

2!

4!

14.

ln2− 21

2z + 2z·24

+

3z·38 + ... ,

R = 2.

15.

z

5z2

7z3

R = 1.

ln2+ 2

− 2

·

4 +

3

·

8 − ... ,

16.

1

z

z3

z5

z

− 3!

+ 5! −

7!

+ ...

17.

1

+ 1+

z

z2

+ ...

2!

+

z

3!

18.

z

3

+ z

2

+

z

+

1

1

+ ...

2!

3!

+ 4!z

19.

z

4

−

z2

+

1

−

1

+ ...

2!

4!

6!z2

20.

42

−

44

+

46

− ...

2!

·

2z3

4!2 ·

2z53

6!

· 2z7

21.

1+ 2!z +

z

+

z

+ ...

3!

4!

1

1

22.

1

− 2!1z

+ 3!1

− 4!z

+ ...

23.

−

.

z2

z + 1

(z + 1)2

24.

zsin2− 2 − sin22!

(z − 2) − cos23!

(z −

2)2 + ...

X=1

1

(z + i)−n.

25.

n∞

(n + 1)!

−

n!

n 1

zn .

26.

а) −n

1 zn

− 3n

0

3

; б)

∞

2n−1

1

∞

z

n

∞

3n−1 − 2n−1

X=

X=

X=

(z + 2)n

∞ (

1)n−1

∞ (−1)n · zn

∞

1

∞

27.

nX=1

−zn

+ nX=0

.

28. −nX=1

− nX=0

.

2n+1

(z +

2)n

3n+1

∞

n

29.

Не разлагается. 30. −2(z1− i) + 41nX=0

((−21i))n

· (z − i)n.

X=1

X=1

X=0

31.

а) n∞

n −

(−21n)n

zn−1;

б) n∞

n

+ n∞

(2−n1+)1n

· zn;

zn+1

в) z + nX=1

zn+1 .

1

∞

n

+

(−2)n

20